Преобразование Кельвина

— Преобразование Кельвина это устройство, используемое в классической теории потенциала для расширения понятия гармонической функции , позволяя определить функцию, которая «гармонична на бесконечности». Этот метод также используется при изучении субгармонических и супергармонических функций.

Чтобы определить преобразование Кельвина f ^* функции f необходимо сначала рассмотреть понятие инверсии сферы в R ^н следующее.

Инверсию можно использовать в любой сфере, но идеи становятся наиболее ясными, если рассматривать сферу с центром в начале координат.

Учитывая неподвижную сферу S (0, R ) с центром 0 и радиусом R , инверсия точки x в R ^н определяется как $x^{*}={\frac {R^{2}}{|x|^{2}}}x.$

Полезный эффект этой инверсии состоит в том, что начало координат 0 является образом $\infty$ , и $\infty$ является образом 0. При такой инверсии сферы преобразуются в сферы, а внешняя часть сферы превращается во внутреннюю, и наоборот.

Преобразование Кельвина функции тогда определяется следующим образом:

Если D — открытое подмножество R ^н который не содержит 0, то для любой функции f, определенной на D , преобразование Кельвина f ^* функции f относительно сферы S (0, R ) есть $f^{*}(x^{*})={\frac {|x|^{n-2}}{R^{2n-4}}}f(x)={\frac {1}{|x^{*}|^{n-2}}}f(x)={\frac {1}{|x^{*}|^{n-2}}}f\left({\frac {R^{2}}{|x^{*}|^{2}}}x^{*}\right).$

Одним из важных свойств преобразования Кельвина и основной причиной его создания является следующий результат:

Пусть D — открытое подмножество в R ^н не содержащее начало координат 0. Тогда функция u является гармонической, субгармонической или супергармонической в D тогда и только тогда, когда преобразование Кельвина u ^* относительно сферы S (0, R ) является гармоническим, субгармоническим или супергармоническим в D ^*.

Это следует из формулы $\Delta u^{*}(x^{*})={\frac {R^{4}}{|x^{*}|^{n+2}}}(\Delta u)\left({\frac {R^{2}}{|x^{*}|^{2}}}x^{*}\right).$

См. также

Ссылки

Уильям Томсон, лорд Кельвин (1845) «Отрывок из письма г-на Уильяма Томсона г-ну Лиувиллю», Журнал чистой и прикладной математики 10: 364–7
Уильям Томпсон (1847) «Выдержки из двух писем г-на Уильяма Томсона, адресованных г-ну Лиувиллю», Журнал чистой и прикладной математики 12: 556–64
Дж. Л. Дуб (2001). Классическая теория потенциала и ее вероятностный аналог . Спрингер-Верлаг. п. 26. ISBN 3-540-41206-9 .
Л. Л. Хелмс (1975). Введение в теорию потенциала . РЭ Кригер. ISBN 0-88275-224-3 .
О. Д. Келлог (1953). Основы теории потенциала . Дувр. ISBN 0-486-60144-7 .
Джон Вермер (1981) Теория потенциала, 2-е издание, стр. 84, Конспекты лекций по математике № 408. ISBN 3-540-10276-0