Эллиптическая сумма Гаусса

В математике эллиптическая сумма Гаусса — это аналог суммы Гаусса, зависящей от эллиптической кривой с комплексным умножением. Символ квадратичного вычета в сумме Гаусса заменяется более высоким символом вычета, например, символом кубического или четвертого вычета, а экспоненциальная функция в сумме Гаусса заменяется эллиптической функцией .Они были введены Эйзенштейном ( 1850 ), по крайней мере, в случае лемнискаты, когда эллиптическая кривая имеет комплексное умножение на $i$ , но, похоже, были забыты или проигнорированы до появления статьи ( Pinch 1988 ).

Пример

( Леммермейер 2000 , 9.3) приводит следующий пример эллиптической суммы Гаусса для случая эллиптической кривой с комплексным умножением на $i$ .

-\sum _{t}\chi (t)\varphi \left({\frac {t}{\pi }}\right)^{\frac {p-1}{m}}

где

Сумма ведется по остаткам по модулю $P,$ представителями которых являются целые гауссовы числа.
$n$ — положительное целое число
$m$ — целое положительное число, делящее $4 n$
$p = 4 n + 1$ — рациональное простое число, конгруэнтное 1 по модулю 4.
$φ (z) = sl((1 - i) ωz),$ где $sl$ — функция синус-лемниската , эллиптическая функция.
$χ$ — $символ вычета m-$ й степени в $K$ относительно простого числа $P$ из $K$
$K$ — поле $k [ζ]$
$k$ — поле $\mathbb {Q} [i]$
$ζ$ — примитивный $корень 4-й степени$ из 1
$π$ — основное простое число в гауссовских целых числах. $\mathbb {Z} [i]$ с нормой $р$
$P$ — простое число в кольце целых чисел $K$ , лежащих выше $π,$ со степенью инерции 1.

Ссылки

Асаи, Тецуя (2007), «Эллиптические суммы Гаусса и L -значения Гекке при s = 1», Труды симпозиума по алгебраической теории чисел и смежным темам , RIMS Kôkyûroku Bessatsu, B4, Res. Инст. Математика. наук. (RIMS), Киото, стр. 79–121, arXiv : 0707.3711 , Bibcode : 2007arXiv0707.3711A , MR 2402004
Кассу-Ногес, доктор философии; Тейлор, MJ (1991), «Квадратичный элемент Стикельбергера», Journal of Number Theory , 37 (3): 307–342, doi : 10.1016/S0022-314X(05)80046-0 , ISSN 0022-314X , MR 1096447
Эйзенштейн, Готхольд (1850 г.), «О некоторых общих свойствах уравнения, от которых зависит деление всей лемнискаты, а также о его приложениях к теории чисел» (PDF) , Журнал чистой и прикладной математики , 1850 г. (39) : 224–287, doi : 10.1515/crll.1850.39.224 , ISSN 0075-4102 , S2CID 123157985 , перепечатано в Math Works II, 556–619.
Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66957-9 , МР 1761696
Пинч, Р. (1988), «Структура модулей Галуа эллиптических функций» , Стивенс, Нельсон М.; Торн, член парламента (ред.), Компьютеры в математических исследованиях (Кардифф, 1986) , Inst. Математика. Прил. Конф. Сер. Новая сер., вып. 14, Oxford University Press , стр. 69–91 , ISBN. 978-0-19-853620-8 , МР 0960495