Лемнискатные эллиптические функции

Лемнискатный синус (красный) и лемнискатный косинус (фиолетовый) применяются к вещественному аргументу по сравнению с тригонометрическим синусом y = sin( πx / ϖ ) (бледно-пунктирный красный).

В математике лемнискатные эллиптические функции — это эллиптические функции, связанные с длиной дуги лемнискаты Бернулли . Впервые они были изучены Джулио Фаньяно в 1718 году, а затем, среди других, Леонардом Эйлером и Карлом Фридрихом Гауссом .

Функции лемниската синус и лемниската косинус , обычно обозначаемые символами sl и cl символы sinlem и coslem или sin lemn и cos lemn ), (иногда вместо них используются аналогичны тригонометрическим функциям синус и косинус. В то время как тригонометрический синус связывает длину дуги с длиной хорды в единичного диаметра . круге $x^{2}+y^{2}=x,$ лемнискатный синус связывает длину дуги с длиной хорды лемнискаты. ${\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr )}{}^{2}=x^{2}-y^{2}.$

Лемнискатные функции имеют периоды, связанные с числом. $\varpi =$ 2,622057... называется константой лемнискаты и представляет собой отношение периметра лемнискаты к ее диаметру. Это число является четвертой степени . аналогом ( квадратичного ) $\pi =$ 3,141592... , отношение периметра к диаметру круга .

Как комплексные функции , sl и cl имеют квадратную решетку периодов (кратных гауссовским целым числам ) с фундаментальными периодами. $\{(1+i)\varpi ,(1-i)\varpi \},$ и являются частным случаем двух эллиптических функций Якоби на этой решетке: $\operatorname {sl} z=\operatorname {sn} (z;i),$ $\operatorname {cl} z=\operatorname {cd} (z;i)$.

Точно так же гиперболическая лемниската sine slh и гиперболическая лемниската cosine clh имеют квадратную решетку периодов с фундаментальными периодами. ${\bigl \{}{\sqrt {2}}\varpi ,{\sqrt {2}}\varpi i{\bigr \}}.$

Функции лемнискат и гиперболические функции лемнискат связаны с эллиптической функцией Вейерштрасса. $\wp (z;a,0)$.

Лемнискатные функции синуса и косинуса

Определения

Лемнискатные функции sl и cl можно определить как решение проблемы начального значения :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sl} z={\bigl (}1+\operatorname {sl} ^{2}z{\bigr )}\operatorname {cl} z,\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cl} z=-{\bigl (}1+\operatorname {cl} ^{2}z{\bigr )}\operatorname {sl} z,\ \operatorname {sl} 0=0,\ \operatorname {cl} 0=1,$

или, что то же самое, как обратный эллиптический интеграл , отображение Шварца – Кристоффеля из комплексного единичного диска в квадрат с углами. ${\big \{}{\tfrac {1}{2}}\varpi ,{\tfrac {1}{2}}\varpi i,-{\tfrac {1}{2}}\varpi ,-{\tfrac {1}{2}}\varpi i{\big \}}\colon$

$z=\int _{0}^{\operatorname {sl} z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=\int _{\operatorname {cl} z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.$

За пределами этого квадрата функции можно аналитически продолжить на всю комплексную плоскость с помощью серии отражений .

Для сравнения, круговой синус и косинус можно определить как решение задачи начального значения:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\sin z=\cos z,\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\cos z=-\sin z,\ \sin 0=0,\ \cos 0=1,$

или как инверсию отображения верхней полуплоскости в полубесконечную полосу с вещественной частью между $-{\tfrac {1}{2}}\pi ,{\tfrac {1}{2}}\pi$ и положительная мнимая часть:

$z=\int _{0}^{\sin z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}=\int _{\cos z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}.$

Связь с постоянной лемнискатой

Основная статья: константа лемнискаты

Функция лемнискатного синуса и гиперболические функции лемнискатного синуса определяются как обратные эллиптическим интегралам. Полные интегралы связаны с константой лемнискаты ϖ .

Функции лемнискат имеют минимальный действительный период 2 ϖ , минимальный мнимый период 2 ϖ i и фундаментальные комплексные периоды. $(1+i)\varpi$ и $(1-i)\varpi$ для постоянной ϖ, называемой константой лемнискаты ,

$\varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=2.62205\ldots$

Лемнискатные функции удовлетворяют основному соотношению $\operatorname {cl} z={\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )},$ аналогично отношению $\cos z={\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi -z{\bigr )}.$

Константа лемнискаты ϖ является близким аналогом константы окружности π , и многие тождества, включающие π, имеют аналоги, включающие ϖ , поскольку тождества, включающие тригонометрические функции, имеют аналоги, включающие функции лемнискаты. Например, формулу Вьета для π можно записать:

$${\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots$$

Аналогичная формула для ϖ :

$${\frac {2}{\varpi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\!{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\Bigg /}\!{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\!{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots$$

Формула Мачина для π : ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\arctan {\tfrac {1}{5}}-\arctan {\tfrac {1}{239}},}$ и несколько подобных формул для π можно получить, используя тождества суммы тригонометрических углов, например, формулу Эйлера ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =\arctan {\tfrac {1}{2}}+\arctan {\tfrac {1}{3}}}$. Аналогичные формулы могут быть разработаны для ϖ , включая следующие, найденные Гауссом: ${\tfrac {1}{2}}\varpi =2\operatorname {arcsl} {\tfrac {1}{2}}+\operatorname {arcsl} {\tfrac {7}{23}}.$

Гаусс обнаружил, что константы лемнискаты и окружности связаны друг с другом средним арифметико-геометрическим M :

$${\frac {\pi }{\varpi }}=M{\left(1,{\sqrt {2}}\!~\right)}$$

Идентификаторы аргументов

Нули, полюса и симметрии

$\operatorname {sl}$ в комплексной плоскости. На рисунке видно, что фундаментальные периоды $(1+i)\varpi$ и $(1-i)\varpi$ «минимальны» в том смысле, что они имеют наименьшее абсолютное значение из всех периодов, действительная часть которых неотрицательна.

Лемнискатные функции cl и sl — четные и нечетные функции соответственно:

${\begin{aligned}\operatorname {cl} (-z)&=\operatorname {cl} z\\[6mu]\operatorname {sl} (-z)&=-\operatorname {sl} z\end{aligned}}$

При переводах ${\tfrac {1}{2}}\varpi ,$ cl и sl меняются местами, а при трансляциях ${\tfrac {1}{2}}i\varpi$ они дополнительно вращаются и совершают возвратно-поступательные движения :

${\begin{aligned}{\operatorname {cl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi {\bigr )}&=\mp \operatorname {sl} z,&{\operatorname {cl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}i\varpi {\bigr )}&={\frac {\mp i}{\operatorname {sl} z}}\\[6mu]{\operatorname {sl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi {\bigr )}&=\pm \operatorname {cl} z,&{\operatorname {sl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}i\varpi {\bigr )}&={\frac {\pm i}{\operatorname {cl} z}}\end{aligned}}$

Удвоение этих переводов на единицу - целое число по Гауссу, кратное $\varpi$ (то есть, $\pm \varpi$ или $\pm i\varpi$), отрицает каждую функцию, инволюцию :

${\begin{aligned}\operatorname {cl} (z+\varpi )&=\operatorname {cl} (z+i\varpi )=-\operatorname {cl} z\\[4mu]\operatorname {sl} (z+\varpi )&=\operatorname {sl} (z+i\varpi )=-\operatorname {sl} z\end{aligned}}$

В результате обе функции инвариантны относительно перевода на четное целое число Гаусса, кратное $\varpi$. То есть смещение $(a+bi)\varpi ,$ с $a+b=2k$ для целых чисел a , b и k .

${\begin{aligned}{\operatorname {cl} }{\bigl (}z+(1+i)\varpi {\bigr )}&={\operatorname {cl} }{\bigl (}z+(1-i)\varpi {\bigr )}=\operatorname {cl} z\\[4mu]{\operatorname {sl} }{\bigl (}z+(1+i)\varpi {\bigr )}&={\operatorname {sl} }{\bigl (}z+(1-i)\varpi {\bigr )}=\operatorname {sl} z\end{aligned}}$

Это делает их эллиптическими функциями (двоякопериодическими мероморфными функциями в комплексной плоскости) с диагональной квадратной решеткой периодов фундаментальных периодов. $(1+i)\varpi$ и $(1-i)\varpi$. Эллиптические функции с квадратной решеткой периодов более симметричны, чем произвольные эллиптические функции, следуя симметрии квадрата.

Отражения и повороты на четверть оборота аргументов функции лемнискаты имеют простые выражения:

${\begin{aligned}\operatorname {cl} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {cl} z}}\\[6mu]\operatorname {sl} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {sl} z}}\\[4mu]\operatorname {cl} iz&={\frac {1}{\operatorname {cl} z}}\\[6mu]\operatorname {sl} iz&=i\operatorname {sl} z\end{aligned}}$

Функция sl имеет простые нули в гауссовских целых кратных ϖ , комплексных числах вида $a\varpi +b\varpi i$ для целых чисел a и b . Он имеет простые полюса в гауссовских полуцелых кратных ϖ , комплексные числа вида ${\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi i$, с остатками $(-1)^{a-b+1}i$. Функция cl отражается и смещается от функции sl , $\operatorname {cl} z={\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )}$. Имеет нули для аргументов ${\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi +b\varpi i$ и столбы для аргументов $a\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi i,$ с остатками $(-1)^{a-b}i.$

Также

$\operatorname {sl} z=\operatorname {sl} w\leftrightarrow z=(-1)^{m+n}w+(m+ni)\varpi$

для некоторых $m,n\in \mathbb {Z}$ и

$\operatorname {sl} ((1\pm i)z)=(1\pm i){\frac {\operatorname {sl} z}{\operatorname {sl} 'z}}.$

Последняя формула представляет собой частный случай комплексного умножения . Аналогичные формулы можно привести для $\operatorname {sl} ((n+mi)z)$ где $n+mi$ любое гауссово целое число – функция $\operatorname {sl}$ имеет комплексное умножение на $\mathbb {Z} [i]$.

Существуют также бесконечные ряды, отражающие распределение нулей и полюсов sl :

${\frac {1}{\operatorname {sl} z}}=\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+n\varpi +k\varpi i}}$

$\operatorname {sl} z=-i\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+(n+1/2)\varpi +(k+1/2)\varpi i}}.$

Пифагорейская идентичность

Кривые x² ⊕ y² = a для различных значений a . Отрицательный a зеленым, положительный a синим, a = ±1 красным, a = ∞ черным.

Функции лемнискаты удовлетворяют пифагорейскому тождеству:

$\operatorname {cl^{2}} z+\operatorname {sl^{2}} z+\operatorname {cl^{2}} z\,\operatorname {sl^{2}} z=1$

В результате параметрическое уравнение $(x,y)=(\operatorname {cl} t,\operatorname {sl} t)$ параметризует кривую четвертой степени $x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}=1.$

Это тождество можно альтернативно переписать:

${\bigl (}1+\operatorname {cl^{2}} z{\bigr )}{\bigl (}1+\operatorname {sl^{2}} z{\bigr )}=2$

$\operatorname {cl^{2}} z={\frac {1-\operatorname {sl^{2}} z}{1+\operatorname {sl^{2}} z}},\quad \operatorname {sl^{2}} z={\frac {1-\operatorname {cl^{2}} z}{1+\operatorname {cl^{2}} z}}$

Определение оператора касательной суммы как $a\oplus b\mathrel {:=} \tan(\arctan a+\arctan b)={\frac {a+b}{1-ab}},$ дает:

$\operatorname {cl^{2}} z\oplus \operatorname {sl^{2}} z=1.$

Функции ${\tilde {\operatorname {cl} }}$ и ${\tilde {\operatorname {sl} }}$ удовлетворить еще одно тождество Пифагора:

$\left(\int _{0}^{x}{\tilde {\operatorname {cl} }}\,t\,\mathrm {d} t\right)^{2}+\left(1-\int _{0}^{x}{\tilde {\operatorname {sl} }}\,t\,\mathrm {d} t\right)^{2}=1.$

Производные и интегралы

Производные следующие:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cl} z=\operatorname {cl'} z&=-{\bigl (}1+\operatorname {cl^{2}} z{\bigr )}\operatorname {sl} z=-{\frac {2\operatorname {sl} z}{\operatorname {sl} ^{2}z+1}}\\\operatorname {cl'^{2}} z&=1-\operatorname {cl^{4}} z\\[5mu]{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sl} z=\operatorname {sl'} z&={\bigl (}1+\operatorname {sl^{2}} z{\bigr )}\operatorname {cl} z={\frac {2\operatorname {cl} z}{\operatorname {cl} ^{2}z+1}}\\\operatorname {sl'^{2}} z&=1-\operatorname {sl^{4}} z\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z&=-2\,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z\,\operatorname {cl} z-{\frac {{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z&=2\,{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z\,\operatorname {cl} z-{\frac {{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}\end{aligned}}$

Вторые производные лемнискатного синуса и лемнискатного косинуса представляют собой их отрицательные дублированные кубы:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\operatorname {cl} z=-2\operatorname {cl^{3}} z$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\operatorname {sl} z=-2\operatorname {sl^{3}} z$

Функции лемнискаты можно интегрировать с помощью функции обратного тангенса:

${\begin{aligned}\int \operatorname {cl} z\mathop {\mathrm {d} z} &=\arctan \operatorname {sl} z+C\\\int \operatorname {sl} z\mathop {\mathrm {d} z} &=-\arctan \operatorname {cl} z+C\\\int {\tilde {\operatorname {cl} }}\,z\,\mathrm {d} z&={\frac {{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}+C\\\int {\tilde {\operatorname {sl} }}\,z\,\mathrm {d} z&=-{\frac {{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}+C\end{aligned}}$

Сумма аргументов и множественные тождества

Подобно тригонометрическим функциям, лемнискатные функции удовлетворяют тождествам суммы аргументов и разностей. Первоначальное обозначение, использованное Фаньяно для разделения лемнискаты пополам, было:

$\operatorname {sl} (u+v)={\frac {\operatorname {sl} u\,\operatorname {sl'} v+\operatorname {sl} v\,\operatorname {sl'} u}{1+\operatorname {sl^{2}} u\,\operatorname {sl^{2}} v}}$

Производные и пифагорейские тождества могут быть использованы для переработки тождества, используемого Фагано, в терминах sl и cl . Определение касательной суммы оператора $a\oplus b\mathrel {:=} \tan(\arctan a+\arctan b)$ и оператор касательной-разности $a\ominus b\mathrel {:=} a\oplus (-b),$ тождества суммы аргументов и разностей могут быть выражены как:

${\begin{aligned}\operatorname {cl} (u+v)&=\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v-\operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v}{1+\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\,\operatorname {cl} v}}\\[2mu]\operatorname {cl} (u-v)&=\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v\\[2mu]\operatorname {sl} (u+v)&=\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v+\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v}{1-\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\,\operatorname {cl} v}}\\[2mu]\operatorname {sl} (u-v)&=\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\end{aligned}}$

Они напоминают свои тригонометрические аналоги :

${\begin{aligned}\cos(u\pm v)&=\cos u\,\cos v\mp \sin u\,\sin v\\[6mu]\sin(u\pm v)&=\sin u\,\cos v\pm \cos u\,\sin v\end{aligned}}$

В частности, для вычисления комплекснозначных функций в реальных компонентах,

${\begin{aligned}\operatorname {cl} (x+iy)&={\frac {\operatorname {cl} x-i\operatorname {sl} x\,\operatorname {sl} y\,\operatorname {cl} y}{\operatorname {cl} y+i\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {cl} x\,\operatorname {cl} y\left(1-\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}-i{\frac {\operatorname {sl} x\,\operatorname {sl} y\left(\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}\\[12mu]\operatorname {sl} (x+iy)&={\frac {\operatorname {sl} x+i\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y\,\operatorname {cl} y}{\operatorname {cl} y-i\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} y\left(1-\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}+i{\frac {\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y\left(\operatorname {sl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}\end{aligned}}$

Гаусс обнаружил, что

${\frac {\operatorname {sl} (u-v)}{\operatorname {sl} (u+v)}}={\frac {\operatorname {sl} ((1+i)u)-\operatorname {sl} ((1+i)v)}{\operatorname {sl} ((1+i)u)+\operatorname {sl} ((1+i)v)}}$

где $u,v\in \mathbb {C}$ так, что обе стороны четко определены.

Также

$\operatorname {sl} (u+v)\operatorname {sl} (u-v)={\frac {\operatorname {sl} ^{2}u-\operatorname {sl} ^{2}v}{1+\operatorname {sl} ^{2}u\operatorname {sl} ^{2}v}}$

где $u,v\in \mathbb {C}$ так, что обе стороны четко определены; это похоже на тригонометрический аналог

$\sin(u+v)\sin(u-v)=\sin ^{2}u-\sin ^{2}v.$

Формулы биссектрисы:

$\operatorname {cl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1+\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}+1}}$

$\operatorname {sl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1-\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}+1}}$

Формулы дублирования:

$\operatorname {cl} 2x={\frac {-1+2\,\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{4}x}{1+2\,\operatorname {cl} ^{2}x-\operatorname {cl} ^{4}x}}$

$\operatorname {sl} 2x=2\,\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x{\frac {1+\operatorname {sl} ^{2}x}{1+\operatorname {sl} ^{4}x}}$

Формулы трипликации:

$\operatorname {cl} 3x={\frac {-3\,\operatorname {cl} x+6\,\operatorname {cl} ^{5}x+\operatorname {cl} ^{9}x}{1+6\,\operatorname {cl} ^{4}x-3\,\operatorname {cl} ^{8}x}}$

$\operatorname {sl} 3x={\frac {\color {red}{3}\,\color {black}{\operatorname {sl} x-\,}\color {green}{6}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{5}x-\,}\color {blue}{1}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{9}x}}{\color {blue}{1}\,\color {black}{+\,}\,\color {green}{6}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{4}x-\,}\color {red}{3}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{8}x}}}$

Обратите внимание на «обратную симметрию» коэффициентов числителя и знаменателя $\operatorname {sl} 3x$. Это явление можно наблюдать в формулах умножения для $\operatorname {sl} \beta x$ где $\beta =m+ni$ в любое время $m,n\in \mathbb {Z}$ и $m+n$ странно.

Лемнатомические полиномы

Позволять $L$ быть решеткой

$L=\mathbb {Z} (1+i)\varpi +\mathbb {Z} (1-i)\varpi .$

Кроме того, пусть $K=\mathbb {Q} (i)$, ${\mathcal {O}}=\mathbb {Z} [i]$, $z\in \mathbb {C}$, $\beta =m+in$, $\gamma =m'+in'$ (где $m,n,m',n'\in \mathbb {Z}$), $m+n$ быть странным, $m'+n'$ быть странным, $\gamma \equiv 1\,\operatorname {mod} \,2(1+i)$ и $\operatorname {sl} \beta z=M_{\beta }(\operatorname {sl} z)$. Затем

$M_{\beta }(x)=i^{\varepsilon }x{\frac {P_{\beta }(x^{4})}{Q_{\beta }(x^{4})}}$

для некоторых взаимно простых многочленов $P_{\beta }(x),Q_{\beta }(x)\in {\mathcal {O}}[x]$ и некоторые $\varepsilon \in \{0,1,2,3\}$ где

$xP_{\beta }(x^{4})=\prod _{\gamma |\beta }\Lambda _{\gamma }(x)$

и

$\Lambda _{\beta }(x)=\prod _{[\alpha ]\in ({\mathcal {O}}/\beta {\mathcal {O}})^{\times }}(x-\operatorname {sl} \alpha \delta _{\beta })$

где $\delta _{\beta }$ есть ли какой-нибудь $\beta$- торсионный генератор (т.е. $\delta _{\beta }\in (1/\beta )L$ и $[\delta _{\beta }]\in (1/\beta )L/L$ генерирует $(1/\beta )L/L$ как ${\mathcal {O}}$- модуль ). Примеры $\beta$-торсионные генераторы включают в себя $2\varpi /\beta$ и $(1+i)\varpi /\beta$. Полином $\Lambda _{\beta }(x)\in {\mathcal {O}}[x]$ называется $\beta$-й лемнатомный полином . Оно монично и неприводимо $K$. Лемнатомные полиномы являются «лемнискатными аналогами» круговых полиномов .

$\Phi _{k}(x)=\prod _{[a]\in (\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{\times }}(x-\zeta _{k}^{a}).$

The $\beta$-й лемнатомный полином $\Lambda _{\beta }(x)$ является минимальным многочленом $\operatorname {sl} \delta _{\beta }$ в $K[x]$. Для удобства пусть $\omega _{\beta }=\operatorname {sl} (2\varpi /\beta )$ и ${\tilde {\omega }}_{\beta }=\operatorname {sl} ((1+i)\varpi /\beta )$. Так, например, минимальный полином $\omega _{5}$ (а также из ${\tilde {\omega }}_{5}$) в $K[x]$ является

$\Lambda _{5}(x)=x^{16}+52x^{12}-26x^{8}-12x^{4}+1,$

и

$\omega _{5}={\sqrt[{4}]{-13+6{\sqrt {5}}+2{\sqrt {85-38{\sqrt {5}}}}}}$

${\tilde {\omega }}_{5}={\sqrt[{4}]{-13-6{\sqrt {5}}+2{\sqrt {85+38{\sqrt {5}}}}}}$

(эквивалентное выражение приведено в таблице ниже). Другой пример:

$\Lambda _{-1+2i}(x)=x^{4}-1+2i$

который является минимальным полиномом $\omega _{-1+2i}$ (а также из ${\tilde {\omega }}_{-1+2i}$) в $K[x].$

Если $p$ является простым и $\beta$ положительный и странный, затем

$\operatorname {deg} \Lambda _{\beta }=\beta ^{2}\prod _{p|\beta }\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1-{\frac {(-1)^{(p-1)/2}}{p}}\right)$

который можно сравнить с круговым аналогом

$\operatorname {deg} \Phi _{k}=k\prod _{p|k}\left(1-{\frac {1}{p}}\right).$

Конкретные значения

Как и в случае тригонометрических функций, значения функций лемнискаты можно вычислить для разделения лемнискаты на n частей одинаковой длины, используя только базовую арифметику и квадратные корни, тогда и только тогда, когда n имеет вид $n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}$ где k — неотрицательное целое число , а каждое p _i (если есть) — отдельное простое число Ферма .

$n$	$\operatorname {cl} n\varpi$	$\operatorname {sl} n\varpi$
$1$	$-1$	$0$
${\tfrac {5}{6}}$	$-{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}$	${\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}$
${\tfrac {3}{4}}$	$-{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$	${\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$
${\tfrac {2}{3}}$	$-{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}$	${\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}$
${\tfrac {1}{2}}$	$0$	$1$
${\tfrac {1}{3}}$	${\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}$	${\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}$
${\tfrac {1}{4}}$	${\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$	${\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$
${\tfrac {1}{6}}$	${\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}$	${\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}$

Отношение к геометрическим фигурам

Длина дуги лемнискаты Бернулли

Лемнискатный синус и косинус связывают длину дуги лемнискаты с расстоянием одной конечной точки от начала координат.

Тригонометрический синус и косинус аналогичным образом связывают длину дуги окружности единичного диаметра с расстоянием одной конечной точки от начала координат.

${\mathcal {L}}$, лемниската Бернулли с единичным расстоянием от центра до самой дальней точки (т. е. с единичной «полушириной»), важна в теории лемнискатных эллиптических функций. Его можно охарактеризовать как минимум тремя способами:

Угловая характеристика: Учитывая два момента $A$ и $B$ которые находятся на единичном расстоянии друг от друга, пусть $B'$ быть отражением ​ $B$ о $A$. Затем ${\mathcal {L}}$ – это замыкание геометрического положения точек $P$ такой, что $|APB-APB'|$ это прямой угол .

Фокальная характеристика: ${\mathcal {L}}$ - это геометрическое место точек на плоскости, такое что произведение их расстояний от двух фокальных точек $F_{1}={\bigl (}{-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}},0{\bigr )}$ и $F_{2}={\bigl (}{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},0{\bigr )}$ константа ${\tfrac {1}{2}}$.

Явная координатная характеристика: ${\mathcal {L}}$ представляет собой кривую четвертой степени, удовлетворяющую полярному уравнению $r^{2}=\cos 2\theta$ или декартово уравнение ${\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr )}{}^{2}=x^{2}-y^{2}.$

Периметр ​ ​ ${\mathcal {L}}$ является $2\varpi$.

Точки на ${\mathcal {L}}$ на расстоянии $r$ от начала координат являются пересечениями круга $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ и гипербола $x^{2}-y^{2}=r^{4}$. Пересечение в положительном квадранте имеет декартовы координаты:

${\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}\!{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\bigl (}1+r^{2}{\bigr )}}},\,{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}}}\,{\biggr )}.$

Используя эту параметризацию с $r\in [0,1]$ за четверть ${\mathcal {L}}$, длина дуги от начала координат до точки ${\big (}x(r),y(r){\big )}$ является:

${\begin{aligned}&\int _{0}^{r}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\&\quad {}=\int _{0}^{r}{\sqrt {{\frac {(1+2t^{2})^{2}}{2(1+t^{2})}}+{\frac {(1-2t^{2})^{2}}{2(1-t^{2})}}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\[6mu]&\quad {}=\int _{0}^{r}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}\\[6mu]&\quad {}=\operatorname {arcsl} r.\end{aligned}}$

Аналогично, длина дуги от $(1,0)$ к ${\big (}x(r),y(r){\big )}$ является:

${\begin{aligned}&\int _{r}^{1}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\&\quad {}=\int _{r}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}\\[6mu]&\quad {}=\operatorname {arccl} r={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} r.\end{aligned}}$

Или в обратном направлении функции лемнискатного синуса и косинуса определяют расстояние от начала координат как функции длины дуги от начала координат и точки. $(1,0)$, соответственно.

Аналогично, функции кругового синуса и косинуса связывают длину хорды с длиной дуги для окружности единичного диаметра с помощью полярного уравнения $r=\cos \theta$ или декартово уравнение $x^{2}+y^{2}=x,$ используя тот же аргумент, что и выше, но с параметризацией:

${\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}r^{2},\,{\sqrt {r^{2}{\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}}}\,{\biggr )}.$

Альтернативно, так же, как единичный круг $x^{2}+y^{2}=1$ параметризуется через длину дуги $s$ с точки $(1,0)$ к

$(x(s),y(s))=(\cos s,\sin s),$

${\mathcal {L}}$ параметризуется через длину дуги $s$ с точки $(1,0)$ к

$(x(s),y(s))=\left({\frac {\operatorname {cl} s}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}},{\frac {\operatorname {sl} s\operatorname {cl} s}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}}\right)=\left({\tilde {\operatorname {cl} }}\,s,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,s\right).$

Обозначения ${\tilde {\operatorname {cl} }},\,{\tilde {\operatorname {sl} }}$ используется исключительно для целей настоящей статьи; в ссылках вместо этого используются обозначения для общих эллиптических функций Якоби.

Интеграл лемнискаты и функции лемнискаты удовлетворяют тождеству дублирования аргументов, открытому Фаньяно в 1718 году:

$\int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=2\int _{0}^{u}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}},\quad {\text{if }}z={\frac {2u{\sqrt {1-u^{4}}}}{1+u^{4}}}{\text{ and }}0\leq u\leq {\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}.$

Лемниската разделена на 15 секций одинаковой длины дуги (красные кривые). Поскольку простые делители 15 (3 и 5) являются простыми числами Ферма, этот многоугольник (черный) можно построить с помощью линейки и циркуля.

Позднее математики обобщили этот результат. Аналогично строящимся многоугольникам в круге, лемнискату можно разделить на n частей одинаковой длины дуги, используя только линейку и циркуль тогда и только тогда, когда n имеет вид $n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}$ где k — неотрицательное целое число , а каждое p _i (если есть) — отдельное простое число Ферма . Часть теоремы «если» была доказана Нильсом Абелем в 1827–1828 годах, а часть «только если» была доказана Майклом Розеном в 1981 году. Аналогично, лемнискату можно разделить на n частей одинаковой длины дуги, используя только линейку и циркуль тогда и только тогда, когда $\varphi (n)$ является степенью двойки (где $\varphi$ — полная функция Эйлера ). лемниската Не предполагается, что уже нарисована; теорема относится только к построению точек деления.

Позволять $r_{j}=\operatorname {sl} {\dfrac {2j\varpi }{n}}$. Тогда n - точек деления для ${\mathcal {L}}$ точки

$\left(r_{j}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+r_{j}^{2}{\bigr )}}},\ (-1)^{\left\lfloor 4j/n\right\rfloor }{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r_{j}^{2}{\bigl (}1-r_{j}^{2}{\bigr )}}}\right),\quad j\in \{1,2,\ldots ,n\}$

где $\lfloor \cdot \rfloor$ это функция пола . приведены Ниже некоторые конкретные значения $\operatorname {sl} {\dfrac {2\varpi }{n}}$.

Длина дуги прямоугольной резинки

Лемнискатный синус связывает длину дуги с координатой x в прямоугольной эластике.

Обратный лемнискатный синус также описывает длину дуги s относительно координаты x прямоугольной эластики . Эта кривая имеет координату y и длину дуги:

$y=\int _{x}^{1}{\frac {t^{2}\mathop {\mathrm {d} t} }{\sqrt {1-t^{4}}}},\quad s=\operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}$

Прямоугольная эластика решает задачу, поставленную Якобом Бернулли в 1691 году для описания формы идеализированного гибкого стержня, закрепленного в вертикальном положении на нижнем конце и притягиваемого вниз под действием веса с дальнего конца до тех пор, пока он не согнется горизонтально. Предложенное Бернулли решение положило начало теории пучка Эйлера-Бернулли , получившей дальнейшее развитие Эйлера в 18 веке.

Эллиптическая характеристика

Лемнискатные эллиптические функции и эллипс

Позволять $C$ быть точкой на эллипсе $x^{2}+2y^{2}=1$ в первом квадранте и пусть $D$ быть проекцией $C$ на единичном круге $x^{2}+y^{2}=1$. Расстояние $r$ между источником $A$ и точка $C$ является функцией $\varphi$ (угол $BAC$ где $B=(1,0)$; эквивалентно длине дуги окружности $BD$). Параметр $u$ дается

$u=\int _{0}^{\varphi }r(\theta )\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1+\sin ^{2}\theta }}}.$

Если $E$ это проекция $D$ по оси X, и если $F$ это проекция $C$ на оси x, то лемнискатные эллиптические функции имеют вид

$\operatorname {cl} u={\overline {AF}},\quad \operatorname {sl} u={\overline {DE}},$

${\tilde {\operatorname {cl} }}\,u={\overline {AF}}{\overline {AC}},\quad {\tilde {\operatorname {sl} }}\,u={\overline {AF}}{\overline {FC}}.$

Личности серий

Силовая серия

в степенной ряд равно Разложение лемнискатного синуса в начале координат

$\operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=z-12{\frac {z^{5}}{5!}}+3024{\frac {z^{9}}{9!}}-4390848{\frac {z^{13}}{13!}}+\cdots ,\quad |z|<{\tfrac {\varpi }{\sqrt {2}}}$

где коэффициенты $a_{n}$ определяются следующим образом:

$n\not \equiv 1{\pmod {4}}\implies a_{n}=0,$

$a_{1}=1,\,\forall n\in \mathbb {N} _{0}:\,a_{n+2}=-{\frac {2}{(n+1)(n+2)}}\sum _{i+j+k=n}a_{i}a_{j}a_{k}$

где $i+j+k=n$ трехчленные композиции обозначает все $n$. Например, чтобы оценить $a_{13}$, видно, что композиций всего шесть $13-2=11$ которые дают ненулевой вклад в сумму: $11=9+1+1=1+9+1=1+1+9$ и $11=5+5+1=5+1+5=1+5+5$, так

$a_{13}=-{\tfrac {2}{12\cdot 13}}(a_{9}a_{1}a_{1}+a_{1}a_{9}a_{1}+a_{1}a_{1}a_{9}+a_{5}a_{5}a_{1}+a_{5}a_{1}a_{5}+a_{1}a_{5}a_{5})=-{\tfrac {11}{15600}}.$

Разложение можно эквивалентно записать как

$\operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }p_{2n}{\frac {z^{4n+1}}{(4n+1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}$

где

$p_{n+2}=-12\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}p_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}p_{k}p_{j-k},\quad p_{0}=1,\,p_{1}=0.$

Разложение в степенной ряд ${\tilde {\operatorname {sl} }}$ в начале находится

${\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }\alpha _{n}z^{n}=z-9{\frac {z^{3}}{3!}}+153{\frac {z^{5}}{5!}}-4977{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}$

где $\alpha _{n}=0$ если $n$ четный и

$\alpha _{n}={\sqrt {2}}{\frac {\pi }{\varpi }}{\frac {(-1)^{(n-1)/2}}{n!}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k\pi /\varpi )^{n+1}}{\cosh k\pi }},\quad \left|\alpha _{n}\right|\sim 2^{n+5/2}{\frac {n+1}{\varpi ^{n+2}}}$

если $n$ странно.

Разложение можно эквивалентно записать как

${\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}}}\left(\sum _{l=0}^{n}2^{l}{\binom {2n+2}{2l+1}}s_{l}t_{n-l}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}$

где

$s_{n+2}=3s_{n+1}+24\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}s_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}s_{k}s_{j-k},\quad s_{0}=1,\,s_{1}=3,$

$t_{n+2}=3t_{n+1}+3\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}t_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}t_{k}t_{j-k},\quad t_{0}=1,\,t_{1}=3.$

Для лемнискатного косинуса

$\operatorname {cl} {z}=1-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\left(\sum _{l=0}^{n}2^{l}{\binom {2n+2}{2l+1}}q_{l}r_{n-l}\right){\frac {z^{2n+2}}{(2n+2)!}}=1-2{\frac {z^{2}}{2!}}+12{\frac {z^{4}}{4!}}-216{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}},$

${\tilde {\operatorname {cl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}2^{n}q_{n}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}=1-3{\frac {z^{2}}{2!}}+33{\frac {z^{4}}{4!}}-819{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}$

где

$r_{n+2}=3\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}r_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}r_{k}r_{j-k},\quad r_{0}=1,\,r_{1}=0,$

$q_{n+2}={\tfrac {3}{2}}q_{n+1}+6\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}q_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}q_{k}q_{j-k},\quad q_{0}=1,\,q_{1}={\tfrac {3}{2}}.$

Личность Рамануджана cos/cosh

Знаменитая идентичность cos/cosh Рамануджана гласит, что если

$R(s)={\frac {\pi }{\varpi {\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {\cos(2n\pi s/\varpi )}{\cosh n\pi }},$

затем

$R(s)^{-2}+R(is)^{-2}=2,\quad \left|\operatorname {Re} s\right|<{\frac {\varpi }{2}},\left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}.$

Существует тесная связь между лемнискатными функциями и $R(s)$. Действительно,

${\tilde {\operatorname {sl} }}\,s=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}R(s)\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}$

${\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\sqrt {1-R(s)^{2}}},\quad \left|\operatorname {Re} s-{\frac {\varpi }{2}}\right|<{\frac {\varpi }{2}},\,\left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}$

и

$R(s)={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}.$

Непрерывные дроби

Для $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$:

$\int _{0}^{\infty }e^{-tz{\sqrt {2}}}\operatorname {cl} t\,\mathrm {d} t={\cfrac {1/{\sqrt {2}}}{z+{\cfrac {a_{1}}{z+{\cfrac {a_{2}}{z+{\cfrac {a_{3}}{z+\ddots }}}}}}}},\quad a_{n}={\frac {n^{2}}{4}}((-1)^{n+1}+3)$

$\int _{0}^{\infty }e^{-tz{\sqrt {2}}}\operatorname {sl} t\operatorname {cl} t\,\mathrm {d} t={\cfrac {1/2}{z^{2}+b_{1}-{\cfrac {a_{1}}{z^{2}+b_{2}-{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+b_{3}-\ddots }}}}}},\quad a_{n}=n^{2}(4n^{2}-1),\,b_{n}=3(2n-1)^{2}$

Методы расчета

Быстрый алгоритм, возвращающий приближения к $\operatorname {sl} x$ (которые приближаются к $\operatorname {sl} x$ с увеличением $N$), заключается в следующем:

• $a_{0}\leftarrow 1;$ $b_{0}\leftarrow {\tfrac {1}{\sqrt {2}}};$ $c_{0}\leftarrow {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$
• для каждого $n\geq 1$ делать
  • $a_{n}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}+b_{n-1});$ $b_{n}\leftarrow {\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}};$ $c_{n}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}-b_{n-1})$
  • если $c_{n}<{\textrm {tolerance}}$ затем
    • $N\leftarrow n;$ перерыв
• $\phi _{N}\leftarrow 2^{N}a_{N}{\sqrt {2}}x$
• для каждого n от N до 0 сделать
  • $\phi _{n-1}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}\left(\phi _{n}+{\arcsin }{\left({\frac {c_{n}}{a_{n}}}\sin \phi _{n}\right)}\right)$
• возвращаться ${\frac {\sin \phi _{0}}{\sqrt {2-\sin ^{2}\phi _{0}}}}$

Это эффективно использует среднее арифметико-геометрическое и основано на преобразованиях Ландена .

Несколько методов расчета $\operatorname {sl} x$ сначала необходимо произвести замену переменных $\pi x=\varpi {\tilde {x}}$ а затем вычисляем $\operatorname {sl} (\varpi {\tilde {x}}/\pi ).$

рядов Метод гиперболических :

$\operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\cosh(x-(n+1/2)\pi )}},\quad x\in \mathbb {C}$

${\frac {1}{\operatorname {sl} (\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{{\sinh }{\left(x-n\pi \right)}}}={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\sin(x-n\pi i)}},\quad x\in \mathbb {C}$

Метод рядов Фурье :

$\operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}={\frac {2\pi }{\varpi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\sin((2n+1)x)}{\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)={\frac {2\pi }{\varpi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\cos((2n+1)x)}{\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

${\frac {1}{\operatorname {sl} (\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi }{\varpi }}\left({\frac {1}{\sin x}}-4\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin((2n+1)x)}{e^{(2n+1)\pi }+1}}\right),\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi$

Лемнискатные функции можно вычислить быстрее, если

${\begin{aligned}\operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}&={\frac {{\theta _{1}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}{{\theta _{3}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}},\quad x\in \mathbb {C} \\\operatorname {cl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}&={\frac {{\theta _{2}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}{{\theta _{4}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}},\quad x\in \mathbb {C} \end{aligned}}$

где

${\begin{aligned}\theta _{1}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n+1}e^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi (n+1/2)^{2}}\sin((2n+1)x),\\\theta _{2}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+1/2)^{2}}\cos((2n+1)x),\\\theta _{3}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi n^{2}}\cos 2nx,\\\theta _{4}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi n^{2}}\cos 2nx\end{aligned}}$

— тэта-функции Якоби .

Ряд Фурье для логарифма лемнискатного синуса:

$\ln \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)=\ln 2-{\frac {\pi }{4}}+\ln \sin x+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cos 2nx}{n(e^{n\pi }+(-1)^{n})}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

Следующие серии личностей были обнаружены Рамануджаном :

${\frac {\varpi ^{2}}{\pi ^{2}\operatorname {sl} ^{2}(\varpi x/\pi )}}={\frac {1}{\sin ^{2}x}}-{\frac {1}{\pi }}-8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\cos 2nx}{e^{2n\pi }-1}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi$

$\arctan \operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin((2n+1)x)}{(2n+1)\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

Функции ${\tilde {\operatorname {sl} }}$ и ${\tilde {\operatorname {cl} }}$ аналогичный $\sin$ и $\cos$ на единичной окружности имеют следующие разложения в ряд Фурье и гиперболический ряд:

${\tilde {\operatorname {sl} }}\,s=2{\sqrt {2}}{\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\sin(2n\pi s/\varpi )}{\cosh n\pi }},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}$

${\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\sqrt {2}}{\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)\cos((2n+1)\pi s/\varpi )}{\sinh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}$

${\tilde {\operatorname {sl} }}\,s={\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}{\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {\sinh(\pi (n+s/\varpi ))}{\cosh ^{2}(\pi (n+s/\varpi ))}},\quad s\in \mathbb {C}$

${\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}{\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\cosh ^{2}(\pi (n+s/\varpi ))}},\quad s\in \mathbb {C}$

Следующие тождества происходят из представлений произведений тэта-функций:

$\mathrm {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2e^{-\pi /4}\sin x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2e^{-2n\pi }\cos 2x+e^{-4n\pi }}{1+2e^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+e^{-(4n-2)\pi }}},\quad x\in \mathbb {C}$

$\mathrm {cl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2e^{-\pi /4}\cos x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2e^{-2n\pi }\cos 2x+e^{-4n\pi }}{1-2e^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+e^{-(4n-2)\pi }}},\quad x\in \mathbb {C}$

Аналогичная формула, включающая $\operatorname {sn}$ можно задать функцию.

Лемниската функционирует как отношение целых функций.

Поскольку лемнискатный синус является мероморфной функцией во всей комплексной плоскости, его можно записать как отношение целых функций . Гаусс показал, что sl имеет следующее разложение произведения, отражающее распределение его нулей и полюсов:

$\operatorname {sl} z={\frac {M(z)}{N(z)}}$

где

$M(z)=z\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {z^{4}}{\alpha ^{4}}}\right),\quad N(z)=\prod _{\beta }\left(1-{\frac {z^{4}}{\beta ^{4}}}\right).$

Здесь, $\alpha$ и $\beta$ обозначим соответственно нули и полюса sl , находящиеся в квадранте $\operatorname {Re} z>0,\operatorname {Im} z\geq 0$. Доказательство можно найти в. Важно отметить, что бесконечные произведения сходятся к одному и тому же значению для всех возможных порядков, в которых их члены могут быть умножены, как следствие равномерной сходимости .

show Доказательство бесконечного произведения лемнискатного синуса.

It can be easily seen (using uniform and absolute convergence arguments to justify interchanging of limiting operations) that ${\frac {M'(z)}{M(z)}}=-\sum _{n=0}^{\infty }2^{4n}\mathrm {H} _{4n}{\frac {z^{4n-1}}{(4n)!}},\quad \left|z\right|<\varpi$ (where $\mathrm {H} _{n}$ are the Hurwitz numbers defined in Lemniscate elliptic functions § Hurwitz numbers) and ${\frac {N'(z)}{N(z)}}=(1+i){\frac {M'((1+i)z)}{M((1+i)z)}}-{\frac {M'(z)}{M(z)}}.$ Therefore ${\frac {N'(z)}{N(z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{4n}(1-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}{\frac {z^{4n-1}}{(4n)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}.$ It is known that ${\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}z}}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{4n}(4n-1)\mathrm {H} _{4n}{\frac {z^{4n-2}}{(4n)!}},\quad \left|z\right|<\varpi .$ Then from ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\operatorname {sl} 'z}{\operatorname {sl} z}}=-{\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}z}}-\operatorname {sl} ^{2}z$ and $\operatorname {sl} ^{2}z={\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}z}}-{\frac {(1+i)^{2}}{\operatorname {sl} ^{2}((1+i)z)}}$ we get ${\frac {\operatorname {sl} 'z}{\operatorname {sl} z}}=-\sum _{n=0}^{\infty }2^{4n}(2-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}{\frac {z^{4n-1}}{(4n)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}.$ Hence ${\frac {\operatorname {sl} 'z}{\operatorname {sl} z}}={\frac {M'(z)}{M(z)}}-{\frac {N'(z)}{N(z)}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}.$ Therefore $\operatorname {sl} z=C{\frac {M(z)}{N(z)}}$ for some constant $C$ for $\left|z\right|<\varpi /{\sqrt {2}}$ but this result holds for all $z\in \mathbb {C}$ by analytic continuation. Using $\lim _{z\to 0}{\frac {\operatorname {sl} z}{z}}=1$ gives $C=1$ which completes the proof. $\blacksquare$

Гаусс предположил, что $\ln N(\varpi )=\pi /2$ (впоследствии это оказалось правдой) и отметил, что это «самое замечательное и доказательство этого свойства обещает самый серьезный рост анализа». Gauss расширил ассортимент продукции для $M$ и $N$ как бесконечный ряд (см. ниже). Он также открыл несколько тождеств, связанных с функциями $M$ и $N$, такой как

The $M$ функция в комплексной плоскости. Сложный аргумент представлен различным оттенком.

The $N$ функция в комплексной плоскости. Сложный аргумент представлен различным оттенком.

$N(z)={\frac {M((1+i)z)}{(1+i)M(z)}},\quad z\notin \varpi \mathbb {Z} [i]$

и

$N(2z)=M(z)^{4}+N(z)^{4}.$

Благодаря некоторой теореме о расщеплении пределов нам разрешено умножать бесконечные произведения и собирать одинаковые степени $z$. Это дает следующие разложения в степенные ряды, сходящиеся всюду в комплексной плоскости:

$M(z)=z-2{\frac {z^{5}}{5!}}-36{\frac {z^{9}}{9!}}+552{\frac {z^{13}}{13!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C}$

$N(z)=1+2{\frac {z^{4}}{4!}}-4{\frac {z^{8}}{8!}}+408{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} .$

Это можно сравнить со степенным рядом $\operatorname {sl}$ который имеет только конечный радиус сходимости (поскольку он не целый).

Мы определяем $S$ и $T$ к

$S(z)=N\left({\frac {z}{1+i}}\right)^{2}-iM\left({\frac {z}{1+i}}\right)^{2},\quad T(z)=S(iz).$

Тогда лемнискатный косинус можно записать как

$\operatorname {cl} z={\frac {S(z)}{T(z)}}$

где

$S(z)=1-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {z^{4}}{4!}}-3{\frac {z^{6}}{6!}}+17{\frac {z^{8}}{8!}}-9{\frac {z^{10}}{10!}}+111{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C}$

$T(z)=1+{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {z^{4}}{4!}}+3{\frac {z^{6}}{6!}}+17{\frac {z^{8}}{8!}}+9{\frac {z^{10}}{10!}}+111{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} .$

Кроме того, тождества

$M(2z)=2M(z)N(z)S(z)T(z),$

$S(2z)=S(z)^{4}-2M(z)^{4},$

$T(2z)=T(z)^{4}-2M(z)^{4}$

и пифагорейские идентичности

$M(z)^{2}+S(z)^{2}=N(z)^{2},$

$M(z)^{2}+N(z)^{2}=T(z)^{2}$

держись за всех $z\in \mathbb {C}$.

Альтернативный способ выражения лемнискатных функций как отношения целых функций включает в себя тета-функции (см. Лемнискатные эллиптические функции § Методы вычислений ; тета-функции и вышеуказанные функции не равны).

Связь с другими функциями

Связь с эллиптическими функциями Вейерштрасса и Якоби.

Функции лемнискат тесно связаны с эллиптической функцией Вейерштрасса. $\wp (z;1,0)$ («лемнискатический случай») с инвариантами g ₂ = 1 и g ₃ = 0 . Эта решетка имеет фундаментальные периоды $\omega _{1}={\sqrt {2}}\varpi ,$ и $\omega _{2}=i\omega _{1}$. Соответствующие константы функции Вейерштрасса: $e_{1}={\tfrac {1}{2}},\ e_{2}=0,\ e_{3}=-{\tfrac {1}{2}}.$

Связанный случай эллиптической функции Вейерштрасса с g ₂ = a , g ₃ = 0 может быть обработан с помощью масштабирующего преобразования. Однако это может включать комплексные числа. Если желательно оставаться в пределах действительных чисел, следует рассмотреть два случая: a > 0 и a < 0 . периода Параллелограмм представляет собой либо квадрат , либо ромб . Эллиптическая функция Вейерштрасса $\wp (z;-1,0)$ называется «псевдолемнискатическим случаем».

Квадрат лемнискатного синуса можно представить как

$\operatorname {sl} ^{2}z={\frac {1}{\wp (z;4,0)}}={\frac {i}{2\wp ((1-i)z;-1,0)}}={-2\wp }{\left({\sqrt {2}}z+(i-1){\frac {\varpi }{\sqrt {2}}};1,0\right)}$

где второй и третий аргумент $\wp$ обозначим решёточные инварианты g ₂ и g ₃ . Лемнискатный синус - это рациональная функция в эллиптической функции Вейерштрасса и ее производной:

$\operatorname {sl} z=-2{\frac {\wp (z;-1,0)}{\wp '(z;-1,0)}}.$

Лемнискатные функции также можно записать через эллиптические функции Якоби . Эллиптические функции Якоби $\operatorname {sn}$ и $\operatorname {cd}$ с положительным действительным эллиптическим модулем имеют «вертикальную» прямоугольную решетку, ориентированную по действительным и мнимым осям. Альтернативно, функции $\operatorname {sn}$ и $\operatorname {cd}$ с модулем i (и $\operatorname {sd}$ и $\operatorname {cn}$ с модулем $1/{\sqrt {2}}$) имеют квадратную решетку периодов, повернутую на 1/8 оборота.

$\operatorname {sl} z=\operatorname {sn} (z;i)=\operatorname {sc} (z;{\sqrt {2}})={{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {sd} }\left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)$

$\operatorname {cl} z=\operatorname {cd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})={\operatorname {cn} }\left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)$

где вторые аргументы обозначают эллиптический модуль $k$.

Функции ${\tilde {\operatorname {sl} }}$ и ${\tilde {\operatorname {cl} }}$ также может быть выражено через эллиптические функции Якоби:

${\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\operatorname {cd} (z;i)\operatorname {sd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})\operatorname {sn} (z;{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {cn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\operatorname {sn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),$

${\tilde {\operatorname {cl} }}\,z=\operatorname {cd} (z;i)\operatorname {nd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})\operatorname {cn} (z;{\sqrt {2}})=\operatorname {cn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\operatorname {dn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right).$

Связь с модульной лямбда-функцией

Лемнискатный синус можно использовать для вычисления значений модульной лямбда-функции :

$\prod _{k=1}^{n}\;{\operatorname {sl} }{\left({\frac {2k-1}{2n+1}}{\frac {\varpi }{2}}\right)}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda ((2n+1)i)}{1-\lambda ((2n+1)i)}}}$

Например:

${\begin{aligned}&{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{14}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {3}{14}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {5}{14}}\varpi {\bigr )}\\[7mu]&\quad {}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda (7i)}{1-\lambda (7i)}}}={\tan }{\Bigl (}{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arccsc} }{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {8{\sqrt {7}}+21}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {7}}+1{\Bigr )}{\Bigr )}\\[7mu]&\quad {}={\frac {2}{2+{\sqrt {7}}+{\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {2{14+6{\sqrt {7}}+{\sqrt {455+172{\sqrt {7}}}}}}}}}\\[18mu]&{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {3}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {5}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {7}{18}}\varpi {\bigr )}\\[-3mu]&\quad {}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda (9i)}{1-\lambda (9i)}}}={\tan }{\Biggl (}{\frac {\pi }{4}}-{\arctan }{\Biggl (}{\frac {2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt {3}}-2}}-2{\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {3}}}}+{\sqrt {3}}-1}{\sqrt[{4}]{12}}}{\Biggr )}{\Biggr )}\end{aligned}}$

Обратные функции

Обратная функция лемнискатного синуса - это лемнискатный арксинус, определяемый как

$\operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.$

Его также можно представить гипергеометрической функцией :

$\operatorname {arcsl} x=x\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}};{\tfrac {5}{4}};x^{4}\right).$

Обратная функция лемнискатного косинуса — это лемнискатный арккосинус. Эта функция определяется следующим выражением:

$\operatorname {arccl} x=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} x$

Для x в интервале $-1\leq x\leq 1$, $\operatorname {sl} \operatorname {arcsl} x=x$ и $\operatorname {cl} \operatorname {arccl} x=x$

Для уменьшения вдвое длины дуги лемнискаты справедливы следующие формулы:

${\begin{aligned}{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr )}&={\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\arcsin x{\bigr )}\,{\operatorname {sech} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} x{\bigr )}\\{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr )}^{2}&={\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\arcsin x^{2}{\bigr )}\end{aligned}}$

Кроме того, существуют так называемые функции площади гиперболической лемнискаты:

$\operatorname {aslh} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}}\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}F{\bigl [}2\arctan(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}$

$\operatorname {aclh} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}}\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}F{\bigl [}2\operatorname {arccot}(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}$

$\operatorname {aclh} (x)={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}-\operatorname {aslh} (x)$

$\operatorname {aslh} (x)={\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} {\bigl [}x({\sqrt {x^{4}+1}}+1)^{-1/2}{\bigr ]}$

$\operatorname {arcsl} (x)={\sqrt {2}}\operatorname {aslh} {\bigl [}x(1+{\sqrt {1-x^{4}}})^{-1/2}{\bigr ]}$

Выражение с использованием эллиптических интегралов

Лежниската-арксинус и лемниската-аркосинус также могут быть выражены формой Лежандра:

Эти функции можно отобразить непосредственно, используя неполный эллиптический интеграл первого рода:

$\operatorname {arcsl} x={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left({\arcsin }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}};{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)$

$\operatorname {arcsl} x=2({\sqrt {2}}-1)F\left({\arcsin }{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}};({\sqrt {2}}-1)^{2}\right)$

Длины дуг лемнискаты также можно выразить, используя только длины дуг эллипсов (вычисленные с помощью эллиптических интегралов второго рода):

${\begin{aligned}\operatorname {arcsl} x={}&{\frac {2+{\sqrt {2}}}{2}}E\left({\arcsin }{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}};({\sqrt {2}}-1)^{2}\right)\\[5mu]&\ \ -E\left({\arcsin }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}};{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{{\sqrt {2}}(1+x^{2}+{\sqrt {1+x^{2}}})}}\end{aligned}}$

Лемниската арккосинус имеет следующее выражение:

$\operatorname {arccl} x={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left(\arccos x;{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)$

Использование в интеграции

Лемниската-арксинус можно использовать для объединения многих функций. Вот список важных интегралов (константы интегрирования опущены):

$\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {arcsl} x$

$\int {\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+1)(2x^{2}+1)}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

$\int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}+x^{2}+1}}}$

$\int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}\,\mathrm {d} x={{\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}}$

$\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(1-x^{4})^{3}}}}\,\mathrm {d} x={{\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {1+{\sqrt {1-x^{4}}}}}}$

$\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{4}+1)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}$

$\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(1-x^{2})^{3}}}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

$\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{2}+1)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}$

$\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(ax^{2}+bx+c)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={{\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt[{4}]{4a^{2}c-ab^{2}}}}\operatorname {arcsl} }{\frac {2ax+b}{{\sqrt {4a(ax^{2}+bx+c)}}+{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}$

$\int {\sqrt {\operatorname {sech} x}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }\tanh {\tfrac {1}{2}}x$

$\int {\sqrt {\sec x}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }\tan {\tfrac {1}{2}}x$

Гиперболические лемнискатные функции

Основная информация

Гиперболический лемнискатный синус (красный) и гиперболический лемнискатный косинус (фиолетовый) применяются к вещественному аргументу по сравнению с тригонометрическим тангенсом (бледно-пунктирный красный).

Гиперболический лемнискатный синус в комплексной плоскости. Темные области представляют собой нули, а светлые области представляют собой полюса. Сложный аргумент представлен различным оттенком.

Для удобства пусть $\sigma ={\sqrt {2}}\varpi$. $\sigma$ является «квадратным» аналогом $\pi$ (см. ниже). Десятичное разложение $\sigma$ (т.е. $3.7081\ldots$) появляется в записи 34e главы 11 второй записной книжки Рамануджана.

Гиперболический лемнискатный синус ( slh ) и косинус ( clh ) можно определить как обратные эллиптическим интегралам следующим образом:

$z\mathrel {\overset {*}{=}} \int _{0}^{\operatorname {slh} z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}=\int _{\operatorname {clh} z}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}$

где в $(*)$, $z$ находится в квадрате с углами $\{\sigma /2,\sigma i/2,-\sigma /2,-\sigma i/2\}$. За пределами этого квадрата функции можно аналитически продолжить до мероморфных функций во всей комплексной плоскости.

Полный интеграл имеет значение:

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {t^{4}+1}}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}={\frac {\sigma }{2}}=1.85407\;46773\;01371\ldots$

Таким образом, две определенные функции имеют следующее отношение друг к другу:

$\operatorname {slh} z={\operatorname {clh} }{{\Bigl (}{\frac {\sigma }{2}}-z{\Bigr )}}$

Произведение гиперболического лемнискатного синуса и гиперболического лемнискатного косинуса равно единице:

$\operatorname {slh} z\,\operatorname {clh} z=1$

Функции $\operatorname {slh}$ и $\operatorname {clh}$ иметь квадратную решетку периодов с фундаментальными периодами $\{\sigma ,\sigma i\}$.

Гиперболические лемнискатные функции можно выразить через лемнискатный синус и лемнискатный косинус:

$\operatorname {slh} {\bigl (}{\sqrt {2}}z{\bigr )}={\frac {(1+\operatorname {cl} ^{2}z)\operatorname {sl} z}{{\sqrt {2}}\operatorname {cl} z}}$

$\operatorname {clh} {\bigl (}{\sqrt {2}}z{\bigr )}={\frac {(1+\operatorname {sl} ^{2}z)\operatorname {cl} z}{{\sqrt {2}}\operatorname {sl} z}}$

Но существует также связь с эллиптическими функциями Якоби с эллиптическим модулем, равным квадратному корню из двух:

$\operatorname {slh} z={\frac {\operatorname {sn} (z;1/{\sqrt {2}})}{\operatorname {cd} (z;1/{\sqrt {2}})}}$

$\operatorname {clh} z={\frac {\operatorname {cd} (z;1/{\sqrt {2}})}{\operatorname {sn} (z;1/{\sqrt {2}})}}$

Гиперболический лемнискатный синус имеет следующее мнимое отношение к лемнискатному синусу:

$\operatorname {slh} z={\frac {1-i}{\sqrt {2}}}\operatorname {sl} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)={\frac {\operatorname {sl} \left({\sqrt[{4}]{-1}}z\right)}{\sqrt[{4}]{-1}}}$

Это аналогично взаимосвязи между гиперболическим и тригонометрическим синусом:

$\sinh z=-i\sin(iz)={\frac {\sin \left({\sqrt[{2}]{-1}}z\right)}{\sqrt[{2}]{-1}}}$

Связь с кривой Ферма четвертой степени

Гиперболическая лемниската Тангенс и Котангенс

На этом изображении показана стандартизированная суперэллиптическая прямоугольная кривая Ферма четвертой степени:

Суперэллипс с соотношением $x^{4}+y^{4}=1$

В кривой Ферма четвертой степени $x^{4}+y^{4}=1$ (иногда называемый белочкой ) гиперболические лемнискатные синус и косинус аналогичны функциям тангенса и котангенса в единичном круге. $x^{2}+y^{2}=1$ (квадратичная кривая Ферма). Если начало координат и точка на кривой соединены друг с другом линией L , гиперболический лемнискатный синус удвоенной площади между этой линией и осью x является координатой y пересечения L с линией. $x=1$. Так же, как $\pi$ это площадь, заключенная в круг $x^{2}+y^{2}=1$, область, окруженная белкой $x^{4}+y^{4}=1$ является $\sigma$. Более того,

$M(1,1/{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\sigma }}$

где $M$ – среднее арифметико-геометрическое .

Гиперболический лемнискатный синус удовлетворяет тождеству сложения аргументов:

$\operatorname {slh} (a+b)={\frac {\operatorname {slh} a\operatorname {slh} 'b+\operatorname {slh} b\operatorname {slh} 'a}{1-\operatorname {slh} ^{2}a\,\operatorname {slh} ^{2}b}}$

Когда $u$ действительна, производная и первоначальная первообразная $\operatorname {slh}$ и $\operatorname {clh}$ можно выразить так:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {slh} (u)={\sqrt {1+\operatorname {slh} (u)^{4}}}$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {clh} (u)=-{\sqrt {1+\operatorname {clh} (u)^{4}}}$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\,{\frac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}\operatorname {slh} (u)^{2}{\bigr ]}=\operatorname {slh} (u)$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-\,{\frac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}\operatorname {clh} (u)^{2}{\bigr ]}=\operatorname {clh} (u)$

Существуют также гиперболический лемнискатный тангенс и гиперболический лемнискатный тангенс, а также дополнительные функции:

Функции tlh и ctlh удовлетворяют тождествам, описанным в упомянутом дифференциальном уравнении:

${\text{tlh}}({\sqrt {2}}\,u)=\sin _{4}({\sqrt {2}}\,u)=\operatorname {sl} (u){\sqrt {\frac {\operatorname {cl} ^{2}u+1}{\operatorname {sl} ^{2}u+\operatorname {cl} ^{2}u}}}$

${\text{ctlh}}({\sqrt {2}}\,u)=\cos _{4}({\sqrt {2}}\,u)=\operatorname {cl} (u){\sqrt {\frac {\operatorname {sl} ^{2}u+1}{\operatorname {sl} ^{2}u+\operatorname {cl} ^{2}u}}}$

Функциональное обозначение sl обозначает лемнискатический синус, а обозначение cl — лемнискатический косинус. Кроме того, эти отношения к эллиптическим функциям Якоби справедливы:

${\text{tlh}}(u)={\frac {{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}{\sqrt[{4}]{{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}+{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}}}}$

${\text{ctlh}}(u)={\frac {{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}{\sqrt[{4}]{{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}+{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}}}}$

Когда $u$ действительно, производная и интеграл четверти периода $\operatorname {tlh}$ и $\operatorname {ctlh}$ можно выразить так:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {tlh} (u)=\operatorname {ctlh} (u)^{3}$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {ctlh} (u)=-\operatorname {tlh} (u)^{3}$ $\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}\operatorname {tlh} (u)\,\mathrm {d} u={\frac {\varpi }{2}}$ $\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}\operatorname {ctlh} (u)\,\mathrm {d} u={\frac {\varpi }{2}}$

Вывод гиперболических лемнискатных функций.

По отношению к кривой Ферма четвертой степени $x^{4}+y^{4}=1$, гиперболический лемнискатный синус аналогичен тригонометрической функции тангенса. В отличие от $\operatorname {slh}$ и $\operatorname {clh}$, функции $\sin _{4}$ и $\cos _{4}$ не может быть аналитически продолжено на мероморфные функции во всей комплексной плоскости.

Горизонтальные и вертикальные координаты этого суперэллипса зависят от удвоенной замкнутой площади w = 2A, поэтому должны быть выполнены следующие условия:

$x(w)^{4}+y(w)^{4}=1$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}x(w)=-y(w)^{3}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}y(w)=x(w)^{3}$

$x(w=0)=1$

$y(w=0)=0$

Решения этой системы уравнений следующие:

$x(w)=\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}]^{-1/2}$

$y(w)=\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}]^{-1/2}$

Таким образом, к фактору применимо следующее:

${\frac {y(w)}{x(w)}}={\frac {\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}}{\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}}}=\operatorname {slh} (w)$

Функции x(w) и y(w) называются котангенсным гиперболическим лемнискатом и гиперболическим тангенсом .

$x(w)={\text{ctlh}}(w)$

$y(w)={\text{tlh}}(w)$

На эскизе также показано, что вывод гиперболической лемнискатной функции Areasinus равен обратной величине квадратного корня из наследника четвертой степенной функции.

Первое доказательство: сравнение с производной арктангенса

На эскизе, показанном справа, есть черная диагональ. Длину отрезка, идущего перпендикулярно от пересечения этой черной диагонали с красной вертикальной осью до точки (1|0), следует назвать s. А длина участка черной диагонали от точки начала координат до точки пересечения этой диагонали с голубой изогнутой линией суперэллипса имеет следующее значение в зависимости от значения slh:

$D(s)={\sqrt {{\biggl (}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {s}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}}}={\frac {\sqrt {s^{2}+1}}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}$

Эта связь описывается теоремой Пифагора .

Аналогичный единичный круг дает арктангенс тригонометрического круга с описанным распределением площади.

Для этого применяется следующий вывод:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\arctan(s)={\frac {1}{s^{2}+1}}$

Чтобы определить вывод площадей sinus lemniscatus Hyperbolicus, ниже приведено сравнение бесконечно малых треугольных площадей для одной и той же диагонали в суперэллипсе и единичном круге. Потому что сумма бесконечно малых треугольных площадей описывает размеры площади. В случае суперэллипса на рисунке половина рассматриваемой области показана зеленым цветом. Из-за квадратичного отношения площадей к длинам треугольников с одинаковым бесконечно малым углом в начале координат применима следующая формула:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\text{aslh}}(s)={\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\arctan(s){\biggr ]}D(s)^{2}={\frac {1}{s^{2}+1}}D(s)^{2}={\frac {1}{s^{2}+1}}{\biggl (}{\frac {\sqrt {s^{2}+1}}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}={\frac {1}{\sqrt {s^{4}+1}}}$

Второе доказательство: формирование интеграла и вычитание площади.

На изображении, касательно площади lemniscatus Hyperbolicus, высота пересечения диагонали и изогнутой линии соответствует удвоенной зеленой области. Сама зеленая область создается как разностный интеграл функции суперэллипса от нуля до соответствующего значения высоты минус площадь соседнего треугольника:

${\text{atlh}}(v)=2{\biggl (}\int _{0}^{v}{\sqrt[{4}]{1-w^{4}}}\mathrm {d} w{\biggr )}-v{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}{\text{atlh}}(v)=2{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}-{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}v{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}{\biggr )}={\frac {1}{(1-v^{4})^{3/4}}}$

Применяется следующее преобразование:

${\text{aslh}}(x)={\text{atlh}}{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}$

Итак, согласно правилу цепочки , этот вывод имеет место:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\text{aslh}}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\text{atlh}}{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}={\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}{\biggl [}1-{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}^{4}{\biggr ]}^{-3/4}=$

$={\frac {1}{(x^{4}+1)^{5/4}}}{\biggl [}1-{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}^{4}{\biggr ]}^{-3/4}={\frac {1}{(x^{4}+1)^{5/4}}}{\biggl (}{\frac {1}{x^{4}+1}}{\biggr )}^{-3/4}={\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}$

Конкретные значения

В этом списке точно показаны значения гиперболического лемнискатного синуса . Напомним,

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {d} t}{\sqrt {t^{4}+1}}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}={\frac {\sigma }{2}}=1.85407\ldots$

тогда как ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={\tfrac {\pi }{2}},$ поэтому значения ниже, такие как ${\operatorname {slh} }{\bigl (}{\tfrac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}{\bigr )}={\operatorname {slh} }{\bigl (}{\tfrac {\sigma }{4}}{\bigr )}=1$ аналогичны тригонометрическим ${\sin }{\bigl (}{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}=1$.

$\operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}\right)=1$

$\operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{3{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}$

$\operatorname {slh} \,\left({\frac {2\varpi }{3{\sqrt {2}}}}\right)={\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}+3}}$

$\operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}({\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}-1)$

$\operatorname {slh} \,\left({\frac {3\varpi }{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}({\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}+1)$

$\operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{8}}}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}{\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}{\sqrt {\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )}}$

$\operatorname {slh} \,\left({\frac {2\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{2}}}}({\sqrt {5}}+1){\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}+2}}{\sqrt {\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )}}$

$\operatorname {slh} \,\left({\frac {3\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{8}}}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}{\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos({\tfrac {3}{20}}\pi )}}$

$\operatorname {slh} \,\left({\frac {4\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{2}}}}({\sqrt {5}}+1){\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}+2}}{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos({\tfrac {3}{20}}\pi )}}$

$\operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{6{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2}}({\sqrt {2{\sqrt {3}}+3}}+1)(1-{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}})$

$\operatorname {slh} \,\left({\frac {5\varpi }{6{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2}}({\sqrt {2{\sqrt {3}}+3}}+1)(1+{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}})$

В этой таблице показаны наиболее важные значения функций гиперболического лемнискатного тангенса и котангенса :

$z$	$\operatorname {clh} z$	$\operatorname {slh} z$	$\operatorname {ctlh} z=\cos _{4}z$	$\operatorname {tlh} z=\sin _{4}z$
$0$	$\infty$	$0$	$1$	$0$
${\tfrac {1}{4}}\sigma$	$1$	$1$	$1{\big /}{\sqrt[{4}]{2}}$	$1{\big /}{\sqrt[{4}]{2}}$
${\tfrac {1}{2}}\sigma$	$0$	$\infty$	$0$	$1$
${\tfrac {3}{4}}\sigma$	$-1$	$-1$	$-1{\big /}{\sqrt[{4}]{2}}$	$1{\big /}{\sqrt[{4}]{2}}$
$\sigma$	$\infty$	$0$	$-1$	$0$

Теоремы комбинирования и деления пополам

В сочетании с гиперболическим лемнискатным ареазином можно установить следующие тождества:

${\text{tlh}}{\bigl [}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}$

${\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\text{tlh}}{\bigl [}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}$

Квадрат гиперболического лемнискатного касательного является пифагорейским аналогом квадрата гиперболического лемнискатного котангенса, поскольку сумма четвертых степеней $\operatorname {tlh}$ и $\operatorname {ctlh}$ всегда равно значению единице.

Теорема о биссектрисе гиперболического синуса lemniscatus гласит:

${\text{slh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\frac {{\sqrt {2}}x}{{\sqrt {x^{2}+1+{\sqrt {x^{4}+1}}}}+{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1}}}}$

Эту формулу можно представить как комбинацию следующих двух формул:

$\mathrm {aslh} (x)={\sqrt {2}}\,{\text{arcsl}}{\bigl [}x({\sqrt {x^{4}+1}}+1)^{-1/2}{\bigr ]}$

${\text{arcsl}}(x)={\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}{\bigl (}{\frac {{\sqrt {2}}x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+{\sqrt {1-x^{2}}}}}{\bigr )}$

Кроме того, следующие формулы справедливы для всех действительных значений $x\in \mathbb {R}$:

${\text{slh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}-{\sqrt {2}}x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}}}}}={\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}-x{\bigr )}$

${\text{clh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}+{\sqrt {2}}x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}}}}}={\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}+x{\bigr )}$

Эти тождества следуют из последней упомянутой формулы:

${\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-2{\sqrt {2}}\,x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}}}={\bigl (}2x^{2}+2+2{\sqrt {x^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}-x{\bigr )}$

${\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2{\sqrt {2}}\,x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}}}={\bigl (}2x^{2}+2+2{\sqrt {x^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}+x{\bigr )}$

Следующие формулы для лемнискатического синуса и лемнискатического косинуса тесно связаны между собой:

${\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}(x)]={\text{cl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(x)]={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}$

${\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(x)]={\text{cl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}(x)]=x{\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}+1{\bigr )}^{-1/2}$

Координатные преобразования

Аналогично определению несобственного интеграла в функции колоколообразной кривой Гаусса , преобразование координат общего цилиндра можно использовать для вычисления интеграла от 0 до положительной бесконечности в функции $f(x)=\exp(-x^{4})$ интегрировано по x. Далее доказательства обоих интегралов приводятся в параллельном виде.

Это преобразование цилиндрических координат в функции колоколообразной кривой Гаусса:

${\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y^{2}-z^{2})\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=$

$=\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }\det {\begin{bmatrix}\partial /\partial r\,\,r\cos(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\cos(\phi )\\\partial /\partial r\,\,r\sin(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\sin(\phi )\end{bmatrix}}\exp {\bigl \{}-{\bigl [}r\cos(\phi ){\bigr ]}^{2}-{\bigl [}r\sin(\phi ){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =$

$=\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }r\exp(-r^{2})\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} \phi ={\frac {\pi }{4}}$

А это аналогичное преобразование координат для лемнискатного случая:

${\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y^{4}-z^{4})\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=$

$=\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}\int _{0}^{\infty }\det {\begin{bmatrix}\partial /\partial r\,\,r\,{\text{ctlh}}(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\,{\text{ctlh}}(\phi )\\\partial /\partial r\,\,r\,{\text{tlh}}(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\,{\text{tlh}}(\phi )\end{bmatrix}}\exp {\bigl \{}-{\bigl [}r\,{\text{ctlh}}(\phi ){\bigr ]}^{4}-{\bigl [}r\,{\text{tlh}}(\phi ){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =$

$=\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}\int _{0}^{\infty }r\exp(-r^{4})\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}{\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\,\mathrm {d} \phi ={\frac {\varpi {\sqrt {\pi }}}{4{\sqrt {2}}}}$

В последней строке этой эллиптически аналогичной цепочки уравнений снова находится исходная колоколообразная кривая Гаусса, интегрированная с квадратичной функцией в качестве внутренней замены в соответствии с Цепным правилом инфинитезимальной аналитики (анализа).

В обоих случаях определитель матрицы Якоби умножается на исходную функцию в области интегрирования.

Полученные в результате новые функции в области интеграции затем интегрируются в соответствии с новыми параметрами.

Теория чисел

В алгебраической теории чисел каждое конечное абелево расширение гауссовых рациональных чисел $\mathbb {Q} (i)$ является подполем ​ $\mathbb {Q} (i,\omega _{n})$ для некоторого положительного целого числа $n$. Это аналогично теореме Кронекера–Вебера для рациональных чисел. $\mathbb {Q}$ который основан на делении круга - в частности, каждое конечное абелева расширение $\mathbb {Q}$ является подполем $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ для некоторого положительного целого числа $n$. Обе проблемы являются частными случаями «Югендтраума» Кронекера, ставшего двенадцатой проблемой Гильберта .

Поле ​ $\mathbb {Q} (i,\operatorname {sl} (\varpi /n))$ (для положительного нечетного $n$) является продолжением $\mathbb {Q} (i)$ созданный $x$- и $y$-координаты г. $(1+i)n$- точки кручения на эллиптической кривой $y^{2}=4x^{3}+x$.

Числа Гурвица

Числа Бернулли $\mathrm {B} _{n}$ может быть определен

$\mathrm {B} _{n}=\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}{\frac {z}{e^{z}-1}},\quad n\geq 0$

и появиться в

$\sum _{k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}{\frac {1}{k^{2n}}}=(-1)^{n-1}\mathrm {B} _{2n}{\frac {(2\pi )^{2n}}{(2n)!}}=2\zeta (2n),\quad n\geq 1$

где $\zeta$ — дзета-функция Римана .

Числа Гурвица $\mathrm {H} _{n},$ названные в честь Адольфа Гурвица , являются «лемнискатными аналогами» чисел Бернулли. Они могут быть определены по

$\mathrm {H} _{n}=-\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}z\zeta (z;1/4,0),\quad n\geq 0$

где $\zeta (\cdot ;1/4,0)$ — дзета-функция Вейерштрасса с инвариантами решетки $1/4$ и $0$. Они появляются в

$\sum _{z\in \mathbb {Z} [i]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4n}}}=\mathrm {H} _{4n}{\frac {(2\varpi )^{4n}}{(4n)!}}=G_{4n}(i),\quad n\geq 1$

где $\mathbb {Z} [i]$ являются гауссовскими целыми числами и $G_{4n}$ представляют собой ряд Эйзенштейна по весу $4n$и в

$\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\dfrac {n^{k}}{e^{2\pi n}-1}}={\begin{cases}{\dfrac {1}{24}}-{\dfrac {1}{8\pi }}&{\text{if}}\ k=1\\{\dfrac {\mathrm {B} _{k+1}}{2k+2}}&{\text{if}}\ k\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)\ {\text{and}}\ k\geq 5\\{\dfrac {\mathrm {B} _{k+1}}{2k+2}}+{\dfrac {\mathrm {H} _{k+1}}{2k+2}}\left({\dfrac {\varpi }{\pi }}\right)^{k+1}&{\text{if}}\ k\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)\ {\text{and}}\ k\geq 3.\\\end{cases}}\end{array}}$

Числа Гурвица также можно определить следующим образом: $\mathrm {H} _{4}=1/10$,

$\mathrm {H} _{4n}={\frac {3}{(2n-3)(16n^{2}-1)}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {4n}{4k}}(4k-1)(4(n-k)-1)\mathrm {H} _{4k}\mathrm {H} _{4(n-k)},\quad n\geq 2$

и $\mathrm {H} _{n}=0$ если $n$ не кратно $4$. Это дает

$\mathrm {H} _{8}={\frac {3}{10}},\,\mathrm {H} _{12}={\frac {567}{130}},\,\mathrm {H} _{16}={\frac {43\,659}{170}},\,\ldots$

Также

$\operatorname {denom} \mathrm {H} _{4n}=2\prod _{(p-1)|4n}p$

где $p\in \mathbb {P}$ такой, что $p\equiv 1\,({\text{mod}}\,4),$ так же, как

$\operatorname {denom} \mathrm {B} _{2n}=\prod _{(p-1)|2n}p$

где $p\in \mathbb {P}$ (по теореме фон Штаудта–Клаузена ).

Фактически, теорема фон Штаудта – Клаузена утверждает, что

$\mathrm {B} _{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z} ,\quad n\geq 1$

(последовательность A000146 в OEIS ), где $p$ — любое простое число, и аналогичная теорема верна для чисел Гурвица: предположим, что $a\in \mathbb {Z}$ странно, $b\in \mathbb {Z}$ даже, $p$ является простым таким, что $p\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)$, $p=a^{2}+b^{2}$ (см. теорему Ферма о суммах двух квадратов ) и $a\equiv b+1\,(\mathrm {mod} \,4)$. Тогда для любого заданного $p$, $a=a_{p}$ однозначно определяется и

$\mathrm {H} _{4n}-{\frac {1}{2}}-\sum _{(p-1)|4n}{\frac {(2a_{p})^{4n/(p-1)}}{p}}\mathrel {\overset {\text{def}}{=}} \mathrm {G} _{n}\in \mathbb {Z} ,\quad n\geq 1,$

$\operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }k_{4n+1}{\frac {z^{4n+1}}{(4n+1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}\implies k_{p}\equiv 2a_{p}\,({\text{mod}}\,p).$

Последовательность целых чисел $\mathrm {G} _{n}$ начинается с $0,-1,5,253,\ldots .$

Позволять $n\geq 2$. Если $4n+1$ является простым числом, то $\mathrm {G} _{n}\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)$. Если $4n+1$ не является простым, то $\mathrm {G} _{n}\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)$.

Вместо этого некоторые авторы определяют числа Гурвица как $\mathrm {H} _{n}'=\mathrm {H} _{4n}$.

Появления в сериале Лорана

Числа Гурвица появляются в нескольких разложениях рядов Лорана, связанных с функциями лемнискат:

${\begin{aligned}\operatorname {sl} ^{2}z&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}(1-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-2}}{(4n-2)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}\\{\frac {\operatorname {sl} 'z}{\operatorname {sl} {z}}}&={\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}(2-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-1}}{(4n-1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\operatorname {sl} z}}&={\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}((-1)^{n}2-2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-1}}{(4n-1)!}},\quad \left|z\right|<\varpi \\{\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}z}}&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-2}}{(4n-2)!}},\quad \left|z\right|<\varpi \end{aligned}}$

Аналогично, в терминах чисел Бернулли:

${\frac {1}{\sinh ^{2}z}}={\frac {1}{z^{2}}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}\mathrm {B} _{2n}}{2n}}{\frac {z^{2n-2}}{(2n-2)!}},\quad \left|z\right|<\pi .$

Квартичный аналог символа Лежандра.

Позволять $p$ быть простым таким, что $p\equiv 1\,({\text{mod}}\,4)$. Четвертичный остаток (мод. $p$) — любое число, соответствующее четвертой степени целого числа. Определять $\left({\tfrac {a}{p}}\right)_{4}$ быть $1$ если $a$ – вычет четвертой степени (mod $p$) и определим его как $-1$ если $a$ не является четвертым вычетом (mod $p$).

Если $a$ и $p$ взаимно просты, то существуют числа $p'\in \mathbb {Z} [i]$ (видеть для этих чисел) такая, что

$\left({\frac {a}{p}}\right)_{4}=\prod _{p'}{\frac {\operatorname {sl} (2\varpi ap'/p)}{\operatorname {sl} (2\varpi p'/p)}}.$

Эта теорема аналогична

$\left({\frac {a}{p}}\right)=\prod _{n=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {\sin(2\pi an/p)}{\sin(2\pi n/p)}}$

where $\left({\tfrac {\cdot }{\cdot }}\right)$ is the Legendre symbol.

World map projections

"The World on a Quincuncial Projection", from Peirce (1879).

The Peirce quincuncial projection, designed by Charles Sanders Peirce of the US Coast Survey in the 1870s, is a world map projection based on the inverse lemniscate sine of stereographically projected points (treated as complex numbers).

When lines of constant real or imaginary part are projected onto the complex plane via the hyperbolic lemniscate sine, and thence stereographically projected onto the sphere (see Riemann sphere), the resulting curves are spherical conics, the spherical analog of planar ellipses and hyperbolas. Thus the lemniscate functions (and more generally, the Jacobi elliptic functions) provide a parametrization for spherical conics.

A conformal map projection from the globe onto the 6 square faces of a cube can also be defined using the lemniscate functions. Because many partial differential equations can be effectively solved by conformal mapping, this map from sphere to cube is convenient for atmospheric modeling.

See also

• Elliptic function
  • Abel elliptic functions
  • Dixon elliptic functions
  • Jacobi elliptic functions
  • Weierstrass elliptic function
• Elliptic Gauss sum
• Lemniscate constant
• Peirce quincuncial projection
• Schwarz–Christoffel mapping

External links

• Parker, Matt (2021). "What is the area of a Squircle?". Stand-up Maths. YouTube. Archived from the original on 2021-12-19.

References

• Abel, Niels Henrik (1827–1828) "Recherches sur les fonctions elliptiques" [Research on elliptic functions] (in French). Crelle's Journal.
  Part 1. 1827. 2 (2): 101–181. doi:10.1515/crll.1827.2.101.
  Part 2. 1828. 3 (3): 160–190. doi:10.1515/crll.1828.3.160.
• Adams, Oscar S. (1925). Elliptic functions applied to conformal world maps (PDF). US Government Printing Office.
• Ayoub, Raymond (1984). "The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals". Archive for History of Exact Sciences. 29 (2): 131–149. doi:10.1007/BF00348244.
• Berndt, Bruce C. (1994). Ramanujan's Notebooks Part IV (First ed.). Springer. ISBN 978-1-4612-6932-8.
• Borwein, Jonatham M.; Borwein, Peter B. (1987). "2.7 The Landen Transformation". Pi and the AGM. Wiley-Interscience. p. 60.
• Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013). Hidden Harmony – Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory. Springer. doi:10.1007/978-1-4614-5725-1.
• Carlson, Billie C. (2010). "19. Elliptic Integrals". In Olver, Frank; et al. (eds.). NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge.
• Cox, David Archibald (January 1984). "The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss". L'Enseignement Mathématique. 30 (2): 275–330.
• Cox, David Archibald; Shurman, Jerry (2005). "Geometry and number theory on clovers" (PDF). The American Mathematical Monthly. 112 (8): 682–704. doi:10.1080/00029890.2005.11920241.
• Cox, David Archibald (2012). "The Lemniscate". Galois Theory. Wiley. pp. 463–514. doi:10.1002/9781118218457.ch15.
• Cox, David Archibald (2013). Primes of the Form x² + ny² (Second ed.). Wiley.
• Cox, David Archibald; Hyde, Trevor (2014). "The Galois theory of the lemniscate" (PDF). Journal of Number Theory. 135: 43–59. arXiv:1208.2653. doi:10.1016/j.jnt.2013.08.006.
• Enneper, Alfred (1890) [1st ed. 1876]. "Note III: Historische Notizen über geometrische Anwendungen elliptischer Integrale." [Historical notes on geometric applications of elliptic integrals]. Elliptische Functionen, Theorie und Geschichte (in German). Nebert. pp. 524–547.
• Euler, Leonhard (1761). "Observationes de comparatione arcuum curvarum irrectificibilium" [Observations on the comparison of arcs of irrectifiable curves]. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (in Latin). 6: 58–84. E252. (Figures)
• Euler, Leonhard (1786). "De miris proprietatibus curvae elasticae sub aequatione ${\textstyle y=\int xx\mathop {\mathrm {d} x} {\big /}{\sqrt {1-x^{4}}}}$ contentae" [On the amazing properties of elastic curves contained in equation ${\textstyle y=\int xx\mathop {\mathrm {d} x} {\big /}{\sqrt {1-x^{4}}}}$]. Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (in Latin). 1782 (2): 34–61. E 605.
• Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (2004). The Number Pi. Translated by Wilson, Stephen. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3246-8.
• Fagnano, Giulio Carlo (1718–1723) "Metodo per misurare la lemniscata" [Method for measuring the lemniscate]. Giornale de' letterati d'Italia (in Italian).
  "Schediasma primo" [Part 1]. 1718. 29: 258–269.
  "Giunte al primo schediasma" [Addendum to part 1]. 1723. 34: 197–207.
  "Schediasma secondo" [Part 2]. 1718. 30: 87–111.
  Reprinted as Fagnano (1850). "32–34. Metodo per misurare la lemniscata". Opere Matematiche, vol. 2. Allerighi e Segati. pp. 293–313. (Figures)
• Gauss, Carl Friedrich (1917). Werke (Band X, Abteilung I) (in Latin and German). Herausgegeben der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.
• Gómez-Molleda, M. A.; Lario, Joan-C. (2019). "Ruler and Compass Constructions of the Equilateral Triangle and Pentagon in the Lemniscate Curve". The Mathematical Intelligencer. 41 (4): 17–21. doi:10.1007/s00283-019-09892-w.
• Greenhill, Alfred George (1892). The Applications of Elliptic Functions. MacMillan.
• Guyou, Émile (1887). "Nouveau système de projection de la sphère: Généralisation de la projection de Mercator" [New system of projection of the sphere]. Annales Hydrographiques. Série 2 (in French). 9: 16–35.
• Houzel, Christian (1978). "Fonctions elliptiques et intégrales abéliennes" [Elliptic functions and Abelian integrals]. In Dieudonné, Jean (ed.). Abrégé d'histoire des mathématiques, 1700–1900. II (in French). Hermann. pp. 1–113.
• Hyde, Trevor (2014). "A Wallis product on clovers" (PDF). The American Mathematical Monthly. 121 (3): 237–243. doi:10.4169/amer.math.monthly.121.03.237.
• Kubota, Tomio (1964). "Some arithmetical applications of an elliptic function". Crelle's Journal. 214/215: 141–145. doi:10.1515/crll.1964.214-215.141.
• Langer, Joel C.; Singer, David A. (2010). "Reflections on the Lemniscate of Bernoulli: The Forty-Eight Faces of a Mathematical Gem" (PDF). Milan Journal of Mathematics. 78 (2): 643–682. doi:10.1007/s00032-010-0124-5.
• Langer, Joel C.; Singer, David A. (2011). "The lemniscatic chessboard". Forum Geometricorum. 11: 183–199.
• Lawden, Derek Frank (1989). Elliptic Functions and Applications. Applied Mathematical Sciences. Vol. 80. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3980-0.
• Lee, L. P. (1976). Conformal Projections Based on Elliptic Functions. Cartographica Monographs. Vol. 16. Toronto: B. V. Gutsell, York University. ISBN 0-919870-16-3. Supplement No. 1 to The Canadian Cartographer 13.
• Lemmermeyer, Franz (2000). Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein. Springer. ISBN 3-540-66957-4.
• Levien, Raph (2008). The elastica: a mathematical history (PDF) (Technical report). University of California at Berkeley. UCB/EECS-2008-103.
• Levin, Aaron (2006). "A Geometric Interpretation of an Infinite Product for the Lemniscate Constant". The American Mathematical Monthly. 113 (6): 510–520. doi:10.2307/27641976.
• Lindqvist, Peter; Peetre, Jaak (2001). "Two Remarkable Identities, Called Twos, for Inverses to Some Abelian Integrals" (PDF). The American Mathematical Monthly. 108 (5): 403–410. doi:10.1080/00029890.2001.11919766.
• Markushevich, Aleksei Ivanovich (1966). The Remarkable Sine Functions. Elsevier.
• Markushevich, Aleksei Ivanovich (1992). Introduction to the Classical Theory of Abelian Functions. Translations of Mathematical Monographs. Vol. 96. American Mathematical Society. doi:10.1090/mmono/096.
• McGregor, John L. (2005). C-CAM: Geometric Aspects and Dynamical Formulation (Technical report). CSIRO Atmospheric Research. 70.
• McKean, Henry; Moll, Victor (1999). Elliptic Curves: Function Theory, Geometry, Arithmetic. Cambridge. ISBN 9780521582285.
• Milne-Thomson, Louis Melville (1964). "16. Jacobian Elliptic Functions and Theta Functions". In Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann (eds.). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards. pp. 567–585.
• Neuman, Edward (2007). "On Gauss lemniscate functions and lemniscatic mean" (PDF). Mathematica Pannonica. 18 (1): 77–94.
• Nishimura, Ryo (2015). "New properties of the lemniscate function and its transformation". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 427 (1): 460–468. doi:10.1016/j.jmaa.2015.02.066.
• Ogawa, Takuma (2005). "Similarities between the trigonometric function and the lemniscate function from arithmetic view point". Tsukuba Journal of Mathematics. 29 (1).
• Peirce, Charles Sanders (1879). "A Quincuncial Projection of the Sphere". American Journal of Mathematics. 2 (4): 394–397. doi:10.2307/2369491.
• Popescu-Pampu, Patrick (2016). What is the Genus?. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 2162. Springer. doi:10.1007/978-3-319-42312-8.
• Prasolov, Viktor; Solovyev, Yuri (1997). "4. Abel's Theorem on Division of Lemniscate". Elliptic functions and elliptic integrals. Translations of Mathematical Monographs. Vol. 170. American Mathematical Society. doi:10.1090/mmono/170.
• Rančić, Miodrag; Purser, R. James; Mesinger, Fedor (1996). "A global shallow-water model using an expanded spherical cube: Gnomonic versus conformal coordinates". Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 122 (532): 959–982. doi:10.1002/qj.49712253209.
• Reinhardt, William P.; Walker, Peter L. (2010a). "22. Jacobian Elliptic Functions". In Olver, Frank; et al. (eds.). NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge.
• Reinhardt, William P.; Walker, Peter L. (2010b). "23. Weierstrass Elliptic and Modular Functions". In Olver, Frank; et al. (eds.). NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge.
• Robinson, Paul L. (2019a). "The Lemniscatic Functions". arXiv:1902.08614.
• Robinson, Paul L. (2019b). "The Elliptic Functions in a First-Order System". arXiv:1903.07147.
• Rosen, Michael (1981). "Abel's Theorem on the Lemniscate". The American Mathematical Monthly. 88 (6): 387–395. doi:10.2307/2321821.
• Roy, Ranjan (2017). Elliptic and Modular Functions from Gauss to Dedekind to Hecke. Cambridge University Press. p. 28. ISBN 978-1-107-15938-9.
• Schappacher, Norbert (1997). "Some milestones of lemniscatomy" (PDF). In Sertöz, S. (ed.). Algebraic Geometry (Proceedings of Bilkent Summer School, August 7–19, 1995, Ankara, Turkey). Marcel Dekker. pp. 257–290.
• Schneider, Theodor (1937). "Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale" [Arithmetic investigations of elliptic integrals]. Mathematische Annalen (in German). 113 (1): 1–13. doi:10.1007/BF01571618.
• Schwarz, Hermann Amandus (1869). "Ueber einige Abbildungsaufgaben" [About some mapping problems]. Crelle's Journal (in German). 70: 105–120. doi:10.1515/crll.1869.70.105.
• Сигел, Карл Людвиг (1969). «1. Эллиптические функции». Темы теории комплексных функций, Vol. Я. ​Уайли-Интерсайенс. стр. 1–89. ISBN  0-471-60844-0 .
• Снейп, Джейми (2004). «Лемниската Бернулли» . Приложения эллиптических функций в классической и алгебраической геометрии (Диссертация). Университет Дарема. стр. 50–56.
• Саутард, Томас Х. (1964). «18. Эллиптические и родственные функции Вейерштрасса» . В Абрамовице, Милтон ; Стегун, Ирен Энн (ред.). Справочник по математическим функциям . Национальное бюро стандартов. стр. 627–683.
• Шридхаран, Рамайенгар (2004) «Физика к математике: от Линтеарии до лемнискаты». Резонанс .
  «Часть I» . 9 (4): 21–29. дои : 10.1007/BF02834853 .
  «Часть II: Работа Гаусса и Ландена» . 9 (6): 11–20. дои : 10.1007/BF02839214 .
• Тодд, Джон (1975). «Лемнискатные константы» . Коммуникации АКМ . 18 (1): 14–19. дои : 10.1145/360569.360580 .
• Уиттакер, Эдмунд Тейлор ; Уотсон, Джордж Невилл (1920) [1-е изд. 1902]. «22.8 Функции лемнискат» . Курс современного анализа (3-е изд.). Кембридж. стр. 524–528.
• Уиттакер, Эдмунд Тейлор ; Уотсон, Джордж Невилл (1927) [4-е изд. 1927]. «21 Тета-функция». Курс современного анализа (4-е изд.). Кембридж. стр. 469–470.