Равномерная абсолютная сходимость

В математике . абсолютная сходимость тип сходимости рядов равномерная функций это — Как и абсолютная конвергенция , она имеет то полезное свойство, что сохраняется при изменении порядка суммирования.

Мотивация

Сходящийся ряд чисел часто можно переупорядочить таким образом, чтобы новый ряд расходился. Однако это невозможно для рядов неотрицательных чисел, поэтому понятие абсолютной сходимости исключает это явление. Когда мы имеем дело с равномерно сходящимся рядом функций, происходит то же самое явление: потенциально этот ряд может быть переупорядочен в неравномерно сходящийся ряд или в ряд, который даже не сходится поточечно. Это невозможно для рядов неотрицательных функций, поэтому понятие равномерной абсолютной сходимости можно использовать, чтобы исключить эти возможности.

Определение

Учитывая множество X и функции $f_{n}:X\to \mathbb {C}$ (или любому нормированному векторному пространству ), ряд

$\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)$

называется равномерно абсолютно сходящимся, если ряд неотрицательных функций

$\sum _{n=0}^{\infty }|f_{n}(x)|$

равномерно сходится.

Отличия

Ряд может быть равномерно сходящимся и абсолютно сходящимся, но не быть равномерно абсолютно сходящимся. Например, если ƒ _n ( x ) = x ^н / n на открытом интервале (−1,0), то ряд Σ f _n ( x ) сходится равномерно при сравнении частичных сумм с суммами Σ(−1) ^н / n и ряд Σ| ж _п ( Икс )| сходится абсолютно в каждой точке по критерию геометрической прогрессии, но Σ| ж _п ( Икс )| не сходится равномерно. Интуитивно это происходит потому, что абсолютная сходимость становится все медленнее и медленнее по мере того, как x приближается к −1, при этом сходимость сохраняется, но абсолютная сходимость терпит неудачу.

Обобщения

Если ряд функций равномерно абсолютно-сходится в некоторой окрестности каждой точки топологического пространства, то он локально равномерно абсолютно-сходится . Если ряд равномерно абсолютно сходится на всех компактных подмножествах топологического пространства, то он компактно (равномерно) абсолютно сходится . Если топологическое пространство локально компактно , эти понятия эквивалентны.

Характеристики

• Если ряд функций в C (или любое банахово пространство ) равномерно абсолютно сходится, то он сходится равномерно.
• Равномерная абсолютная сходимость не зависит от порядка ряда. Это связано с тем, что для ряда неотрицательных функций равномерная сходимость эквивалентна тому свойству, что для любого ε > 0 существует конечное число членов ряда таких, что исключение этих членов приводит к получению ряда с общей суммой, меньшей, чем константа функция ε, и это свойство не относится к упорядочению.

См. также

• Способы конвергенции (аннотированный указатель)