Центрированная трохоида

Эпитрохоид (красный) с фиксированным радиусом катящегося круга R = 3, радиусом катящегося круга r = 1 и расстоянием d = 1/2 от центра катящегося круга до образующей точки.

Гипотрохоид (красный) с R = 5, r = 3, d = 5.

В геометрии центрированная трохоида — это рулетка , образованная кругом, катящимся по другому кругу. То есть это путь, прочерченный точкой, прикрепленной к окружности, когда круг катится без скольжения по фиксированному кругу. Этот термин охватывает как эпитрохоиду , так и гипотрохоиду . Центр этой кривой определяется как центр фиксированного круга.

Альтернативно, центрированную трохоиду можно определить как путь, прослеживаемый суммой двух векторов, каждый из которых движется с одинаковой скоростью по кругу. В частности, центрированная трохоида — это кривая, которую можно параметризовать в комплексной плоскости формулой

z=r_{1}e^{i\omega _{1}t}+r_{2}e^{i\omega _{2}t},\,

или в декартовой плоскости

x=r_{1}\cos(\omega _{1}t)+r_{2}\cos(\omega _{2}t),

y=r_{1}\sin(\omega _{1}t)+r_{2}\sin(\omega _{2}t),\,

где

r_{1},r_{2},\omega _{1},\omega _{2}\neq 0,\quad \omega _{1}\neq \omega _{2}.\,

Если $\omega _{1}/\omega _{2}$ рациональна, то кривая замкнута и алгебраична. В противном случае кривая обвивает начало координат бесконечное число раз и является плотной в кольце с внешним радиусом. $|r_{1}|+|r_{2}|$ и внутренний радиус $||r_{1}|-|r_{2}||$ .

Терминология

Большинство авторов используют эпитрохоиду для обозначения рулетки круга, катящейся по внешней стороне другого круга, гипотрохоиду для обозначения рулетки круга, катящейся по внутренней части другого круга, и трохоиду для обозначения рулетки круга, катящейся по прямой. Однако некоторые авторы (например, [1] вслед за Ф. Морли ) используют термин «трохоид» для обозначения рулетки круга, катящегося по другому кругу, хотя это не соответствует более распространенной терминологии. Термин «Центрированная трохоида» , принятый в [2], объединяет эпитрохоиду и гипотрохоиду в единую концепцию для упрощения математического изложения и остается совместимым с существующим стандартом.

Термин «трохоидальная кривая» описывает эпитрохоиды, гипотрохоиды и трохоиды (см. [3] ). Трохоидальную кривую можно определить как путь, прослеживаемый суммой двух векторов, каждый из которых движется с одинаковой скоростью по кругу или по прямой линии (но не оба движутся по прямой).

В приведенных выше параметрических уравнениях кривая является эпитрохоидой, если $\omega _{1}$ и $\omega _{2}$ имеют один и тот же знак, а гипотрохоид, если они имеют противоположные знаки.

Двойное поколение

Пусть окружность радиуса $b$ кататься по окружности радиуса $a$ , и точка $p$ прикреплен к катящемуся кругу. Фиксированную кривую можно параметризовать как $f(t)=ae^{it}$ и кривая качения может быть параметризована как $r(t)=be^{i(a/b)t}$ или $r(t)=-be^{-i(a/b)t}$ в зависимости от того, пересекает ли параметризация окружность в том же направлении или в противоположном направлении, что и параметризация фиксированной кривой. В любом случае мы можем использовать $r(t)=ce^{i(a/c)t}$ где $|c|=b$ . Позволять $p$ быть прикреплен к катящемуся кругу в $d$ . Затем, применяя формулу для рулетки , точка очерчивает кривую, определяемую следующим образом:

{\begin{aligned}f(t)+(d-r(t)){f'(t) \over r'(t)}&=ae^{it}+(d-ce^{i(a/c)t}){aie^{it} \over aie^{i(a/c)t}}\\&=(a-c)e^{it}+de^{i(1-a/c)t}.\end{aligned}}

Это параметризация, приведенная выше с помощью $r_{1}=a-c$ , $r_{2}=d$ , $\omega _{1}=1$ , $\omega _{2}=1-a/c$ .

И наоборот, учитывая $r_{1}$ , $r_{2}$ , $\omega _{1}$ , и $\omega _{2}$ , кривая $r_{1}e^{i\omega _{1}t}+r_{2}e^{i\omega _{2}t}$ может быть перепараметризовано как $r_{1}e^{it}+r_{2}e^{i(\omega _{2}/\omega _{1})t}$ и уравнения $r_{1}=a-c$ , $r_{2}=d$ , $\omega _{2}/\omega _{1}=1-a/c$ можно решить для $a$ , $c$ и $d$ получить $a=r_{1}(1-\omega _{1}/\omega _{2}),\ c=-r_{1}{\omega _{1}/\omega _{2}},\ d=r_{2}.$

Кривая $r_{1}e^{i\omega _{1}t}+r_{2}e^{i\omega _{2}t}$ остается прежним, если индексы 1 и 2 поменялись местами, но результирующие значения $a$ , $c$ и $d$ в общем нет. Это приводит к теореме двойного поколения, которая утверждает, что, за исключением особого случая, обсуждаемого ниже, любая центрированная трохоида может быть создана двумя существенно разными способами, как рулетка круга, катящегося по другому кругу.

Примеры

Кардиоида

Кардиоида параметризуется $2e^{it}-e^{2it}$ . Брать $r_{1}=2,r_{2}=-1,\omega _{1}=1,\omega _{2}=2$ получить $a=2(1-1/2)=1,c=-2(1/2)=-1,d=-1$ . Оба круга имеют радиус 1, и, поскольку c < 0, вращающийся круг катится вокруг внешней части фиксированного круга. Точка p находится на расстоянии 1 единицы от центра качения, поэтому лежит на его окружности. Это обычное определение кардиоиды. Мы также можем параметризовать кривую как $-e^{2it}+2e^{it}$ , поэтому мы также можем взять $r_{1}=-1,r_{2}=2,\omega _{1}=2,\omega _{2}=1$ получить $a=-1(1-2)=1,b=-(-1)(2)=2,d=2.$ В этом случае фиксированный круг имеет радиус 1, катящийся круг имеет радиус 2, и, поскольку c > 0, катящийся круг вращается вокруг фиксированного круга наподобие обруча . Это дает существенно другое определение той же кривой.

Эллипс

Если $\omega _{1}=-\omega _{2}$ то получим параметрическую кривую $r_{1}e^{it}+r_{2}e^{-it}$ , или $x=(r_{1}+r_{2})\cos t,y=(r_{1}-r_{2})\sin t\,\!$ . Если $|r_{1}|\neq |r_{2}|$ , это уравнение эллипса с осями $2|r_{1}+r_{2}|$ и $2|r_{1}-r_{2}|$ . Оценка $a$ , $c$ , и $d$ как прежде; или $a=2r_{1},c=r_{1},d=r_{2}\,\!$ или $a=2r_{2},c=r_{2},d=r_{1}\,\!$ . Это дает два разных способа создания эллипса, оба из которых включают в себя круг, катящийся внутри круга с двойным диаметром.

Прямая линия

Если дополнительно рядом с $\omega _{1}=-\omega _{2}$ , $r_{1}=r_{2}=r$ , затем $a=2r,b=r,c=r\,\!$ в обоих случаях оба способа построения кривой одинаковы. В этом случае кривая просто $x=2r\cos t,y=0\,\!$ или сегмент оси X.

Аналогично, если $r_{1}=r,r_{2}=-r\,\!$ , затем $a=2r,c=r,d=-r\,\!$ или $a=-2r,c=-r,d=r\,\!$ . Круг симметричен относительно начала координат, поэтому оба они дают одну и ту же пару кругов. В этом случае кривая просто $x=0,y=2r\sin t\,\!$ : сегмент оси Y.

Итак, дело $\omega _{1}=-\omega _{2},\ |r_{1}|=|r_{2}|$ является исключением (фактически единственным исключением) из сформулированной выше теоремы о двойственном порождении. Этот вырожденный случай, в котором кривая представляет собой отрезок прямой, лежит в основе пары Туси .

Ссылки

«Центрированная трохоида» на mathcurve.com
«Эпитрохоид» на mathcurve.com
«Гипотрохоид» на mathcurve.com
«Перитрохоид» на mathcurve.com
Йейтс, Р. К.: Справочник по кривым и их свойствам , Дж. Эдвардс (1952), «Трохоиды»
Трохоиды: кривые, созданные вращающимся кругом

Внешние ссылки