Список распространенных преобразований координат

Это список некоторых наиболее часто используемых преобразований координат.

2-мерный

Позволять $(x,y)$ быть стандартными декартовыми координатами , и $(r,\theta )$ стандартные полярные координаты .

В декартовых координатах

Из полярных координат

${\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\[5pt]{\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &{\phantom {-}}r\cos \theta \end{bmatrix}}\\[5pt]{\text{Jacobian}}=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}&=r\end{aligned}}$

Из логполярных координат

${\begin{aligned}x&=e^{\rho }\cos \theta ,\\y&=e^{\rho }\sin \theta .\end{aligned}}$

Используя комплексные числа $(x,y)=x+iy'$ , преобразование можно записать как $x+iy=e^{\rho +i\theta }$

То есть оно задается комплексной показательной функцией.

Из биполярных координат

${\begin{aligned}x&=a{\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\\y&=a{\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\end{aligned}}$

Из 2-центровых биполярных координат

${\begin{aligned}x&={\frac {1}{4c}}\left(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\right)\\[1ex]y&=\pm {\frac {1}{4c}}{\sqrt {16c^{2}r_{1}^{2}-\left(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+4c^{2}\right)^{2}}}\end{aligned}}$

Из уравнения Чезаро

${\begin{aligned}x&=\int \cos \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds\\y&=\int \sin \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds\end{aligned}}$

В полярные координаты

Из декартовых координат

${\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta '&=\arctan \left|{\frac {y}{x}}\right|\end{aligned}}$ Примечание: решение для $\theta '$ возвращает результирующий угол в первом квадранте ( ${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$ ). Найти $\theta ,$ необходимо обратиться к исходной декартовой координате, определить квадрант, в котором $\theta$ лежит (например, (3,−3) [декартово] лежит в QIV), затем используйте следующее, чтобы найти $\theta :$

$\theta ={\begin{cases}\theta '&{\text{for }}\theta '{\text{ in QI: }}&0<\theta '<{\frac {\pi }{2}}\\[1.2ex]\pi -\theta '&{\text{for }}\theta '{\text{ in QII: }}&{\frac {\pi }{2}}<\theta '<\pi \\[1.2ex]\pi +\theta '&{\text{for }}\theta '{\text{ in QIII: }}&\pi <\theta '<{\frac {3\pi }{2}}\\[1.2ex]2\pi -\theta '&{\text{for }}\theta '{\text{ in QIV: }}&{\frac {3\pi }{2}}<\theta '<2\pi \end{cases}}$

Значение для $\theta$ должно быть решено таким образом, поскольку для всех значений $\theta$ , $\tan \theta$ определяется только для ${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <+{\frac {\pi }{2}}}$ , и является периодическим (с периодом $\pi$ ). Это означает, что обратная функция будет давать значения только в области определения функции, но ограничена одним периодом. Следовательно, диапазон обратной функции составляет лишь половину полного круга.

Обратите внимание, что можно также использовать ${\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta '&=2\arctan {\frac {y}{x+r}}\end{aligned}}$

Из 2-центровых биполярных координат

${\begin{aligned}r&={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2}}{2}}}\\\theta &=\arctan \left[{\sqrt {{\frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}\right]\end{aligned}}$

Где 2c – расстояние между полюсами.

Для логарифмирования полярных координат из декартовых координат

${\begin{aligned}\rho &=\log {\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\theta &=\arctan {\frac {y}{x}}.\end{aligned}}$

Длина дуги и кривизна

В декартовых координатах

${\begin{aligned}\kappa &={\frac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\s&=\int _{a}^{t}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}\,dt\end{aligned}}$

В полярных координатах

${\begin{aligned}\kappa &={\frac {r^{2}+2{r'}^{2}-rr''}{(r^{2}+{r'}^{2})^{\frac {3}{2}}}}\\s&=\int _{a}^{\varphi }{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}}}\,d\varphi \end{aligned}}$

3-мерный

Пусть (x, y, z) — стандартные декартовы координаты, а (ρ, θ, φ) — сферические координаты , где θ — угол, измеренный от оси +Z (как в [1] , см. соглашения в сферических координатах ). Поскольку φ имеет диапазон 360 °, те же соображения, что и для полярных (двумерных) координат, применяются всякий раз, когда берется ее арктангенс. θ имеет диапазон 180°, от 0° до 180°, и не представляет никаких проблем при вычислении по арккосинусу, но остерегайтесь арктангенса.

Если в альтернативном определении выбрано значение θ в диапазоне от -90 ° до +90 °, в направлении, противоположном предыдущему определению, его можно найти однозначно по арксинусу, но остерегайтесь арккотангенса. В этом случае во всех приведенных ниже формулах все аргументы в θ должны иметь местами синус и косинус, а в качестве производной также поменяны местами плюс и минус.

Все деления на ноль в особых случаях представляют собой направления вдоль одной из главных осей и на практике легче всего решаются путем наблюдения.

В декартовых координатах

Из сферических координат

${\begin{aligned}x&=\rho \,\sin \theta \cos \varphi \\y&=\rho \,\sin \theta \sin \varphi \\z&=\rho \,\cos \theta \\{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}&={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Итак, для элемента объема: $dx\,dy\,dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}\,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$

Из цилиндрических координат

${\begin{aligned}x&=r\,\cos \theta \\y&=r\,\sin \theta \\z&=z\,\\{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}}&={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Итак, для элемента объема: $dV=dx\,dy\,dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}}\,dr\,d\theta \,dz=r\,dr\,d\theta \,dz$

К сферическим координатам

Из декартовых координат

${\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)=\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)\\\varphi &=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)\\{\frac {\partial \left(\rho ,\theta ,\varphi \right)}{\partial \left(x,y,z\right)}}&={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\rho }}&{\frac {y}{\rho }}&{\frac {z}{\rho }}\\{\frac {xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\rho ^{2}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

См. также статью о atan2 , чтобы узнать, как элегантно обрабатывать некоторые крайние случаи.

Итак, для элемента: $d\rho \,d\theta \,d\varphi =\det {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}{\partial (x,y,z)}}\,dx\,dy\,dz={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}\,dx\,dy\,dz$

Из цилиндрических координат

${\begin{aligned}\rho &={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\\\theta &=\arctan {\frac {r}{h}}\\\varphi &=\varphi \\{\frac {\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}{\partial (r,h,\varphi )}}&={\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}&{\frac {h}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}&0\\{\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}&{\frac {-r}{r^{2}+h^{2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\\\det {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}{\partial (r,h,\varphi )}}&={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}\end{aligned}}$

В цилиндрические координаты

Из декартовых координат

${\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=\arctan {\left({\frac {y}{x}}\right)}\\z&=z\quad \end{aligned}}$

${\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Из сферических координат

${\begin{aligned}r&=\rho \sin \varphi \\h&=\rho \cos \varphi \\\theta &=\theta \\{\frac {\partial (r,h,\theta )}{\partial (\rho ,\varphi ,\theta )}}&={\begin{pmatrix}\sin \varphi &\rho \cos \varphi &0\\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\\\det {\frac {\partial (r,h,\theta )}{\partial (\rho ,\varphi ,\theta )}}&=-\rho \end{aligned}}$

Длина дуги, кривизна и кручение по декартовым координатам

${\begin{aligned}s&=\int _{0}^{t}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,dt\\[3pt]\kappa &={\frac {\sqrt {\left(z''y'-y''z'\right)^{2}+\left(x''z'-z''x'\right)^{2}+\left(y''x'-x''y'\right)^{2}}}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\[3pt]\tau &={\frac {x'''\left(y'z''-y''z'\right)+y'''\left(x''z'-x'z''\right)+z'''\left(x'y''-x''y'\right)}{{\left(x'y''-x''y'\right)}^{2}+{\left(x''z'-x'z''\right)}^{2}+{\left(y'z''-y''z'\right)}^{2}}}\end{aligned}}$

См. также

Ссылки

Арфкен, Джордж (2013). Математические методы для физиков . Академическая пресса. ISBN 978-0123846549 .