Преобразование географических координат

В геодезии преобразование между различными географическими системами координат становится необходимым из-за того, что различные географические системы координат используются во всем мире и с течением времени. Преобразование координат состоит из нескольких различных типов преобразования: изменение формата географических координат, преобразование систем координат или преобразование в различные геодезические данные . Преобразование географических координат находит применение в картографии , геодезии , навигации и географических информационных системах .

В геодезии преобразование географических координат определяется как перевод между различными форматами координат или картографическими проекциями, которые все привязаны к одной и той же геодезической базе данных. географических координат Преобразование — это преобразование различных геодезических данных. В этой статье будут рассмотрены как преобразование, так и преобразование географических координат.

В этой статье предполагается, что читатели уже знакомы с содержанием статей «Географическая система координат и геодезические данные» .

Изменение единиц измерения и формата

Неофициально указание географического местоположения обычно означает указание его широты и долготы . Числовые значения широты и долготы могут иметь различные единицы или форматы:

• шестидесятеричный градус : градусы , минуты и секунды : 40° 26′ 46″ северной широты, 79° 58′ 56″ з.д.
• градусы и десятичные минуты: 40° 26,767′ с.ш., 79° 58,933′ з.д.
• десятичные градусы: +40,446 -79,982

В градусе 60 минут, в минуте 60 секунд. Поэтому для преобразования формата градусов, минут и секунд в формат десятичных градусов можно использовать формулу

${\rm {{decimal\ degrees}={\rm {{degrees}+{\frac {\rm {minutes}}{60}}+{\frac {\rm {seconds}}{3600}}}}}}$.

Чтобы преобразовать формат десятичных градусов в градусы, минуты, секунды,

${\begin{aligned}{\rm {absDegrees}}&=|{\rm {{decimal\ degrees}|}}\\{\rm {floorAbsDegrees}}&=\lfloor {\rm {{absDegrees}\rfloor }}\\{\rm {degrees}}&=\operatorname {sgn}({\rm {{decimal\ degrees})\times {\rm {floorAbsDegrees}}}}\\{\rm {minutes}}&=\lfloor 60\times ({\rm {{absDegrees}-{\rm {{floorAbsDegrees})\rfloor }}}}\\{\rm {seconds}}&=3600\times ({\rm {{absDegrees}-{\rm {{floorAbsDegrees})-60\times {\rm {minutes}}}}}}\\\end{aligned}}$

где ${\rm {absDegrees}}$ и ${\rm {floorAbsDegrees}}$ являются всего лишь временными переменными для правильной обработки как положительных, так и отрицательных значений.

Преобразование системы координат

Преобразование системы координат — это преобразование из одной системы координат в другую, при этом обе системы координат основаны на одной и той же геодезической базе данных. Общие задачи преобразования включают преобразование между геодезическими и геоцентрическими координатами ( ECEF ) и преобразование из одного типа картографической проекции в другой.

От геодезических координат к координатам ECEF

Длина PQ, называемая простым вертикальным радиусом , равна $N(\phi )$. Длина IQ равна $\,e^{2}N(\phi )$. $R=(X,\,Y,\,Z)$.

Геодезические координаты (широта $\ \phi$, долгота $\ \lambda$, высота $h$) можно преобразовать в координаты ECEF с помощью следующего уравнения:

${\begin{aligned}X&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\cos {\lambda }\\Y&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\sin {\lambda }\\Z&=\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\\&=\left((1-e^{2})N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\\&=\left((1-f)^{2}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\end{aligned}}$

где

$N(\phi )={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi }}}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}={\frac {a}{\sqrt {1-{\frac {e^{2}}{1+\cot ^{2}\phi }}}}},$

и $a$ и $b$ — экваториальный радиус ( большая полуось ) и полярный радиус ( малая полуось ) соответственно. $e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}$ - квадрат первого числового эксцентриситета эллипсоида. $f=1-{\frac {b}{a}}$ это уплощение эллипсоида. Основной вертикальный радиус кривизны $\,N(\phi )$ — расстояние от поверхности до оси Z по нормали эллипсоида.

Характеристики

Для долготы так же, как и в геоцентрической системе координат, выполняется следующее условие:

${\frac {X}{\cos \lambda }}-{\frac {Y}{\sin \lambda }}=0.$

Для широты справедливо следующее:

${\frac {p}{\cos \phi }}-{\frac {Z}{\sin \phi }}-e^{2}N(\phi )=0,$

где $p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$, как параметр $h$ устраняется вычитанием

${\frac {p}{\cos \phi }}=N+h$

и

${\frac {Z}{\sin \phi }}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}N+h.$

Кроме того, справедливо следующее, полученное в результате деления приведенных выше уравнений:

${\frac {Z}{p}}\cot \phi =1-{\frac {e^{2}N}{N+h}}.$

Ортогональность

Ортогональность : координат подтверждается дифференцированием

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}dX\\dY\\dZ\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \phi \cos \lambda \\\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \\0&\cos \phi &\sin \phi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}},\\[3pt]{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\left(N(\phi )+h\right)\cos \phi &0&0\\0&M(\phi )+h&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\lambda \\d\phi \\dh\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

где

$M(\phi )={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}=N(\phi ){\frac {1-e^{2}}{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}$

(см. также « Дуга меридиана на эллипсоиде »).

От ECEF к геодезическим координатам

Преобразование долготы

Преобразование координат ECEF в долготу:

$\lambda =\operatorname {atan2} (Y,X)$.

где atan2 — арктангенсальная функция, разрешающая квадранты.Геоцентрическая долгота и геодезическая долгота имеют одинаковое значение; это верно для Земли и других планет подобной формы, потому что они имеют большую вращательную симметрию вокруг своей оси вращения ( см. Трехосную эллипсоидную долготу для обобщения ).

Простой метод преобразования широты и высоты.

Преобразование широты и высоты включает в себя круговое соотношение, включающее N , которое является функцией широты:

${\frac {Z}{p}}\cot \phi =1-{\frac {e^{2}N}{N+h}}$,

$h={\frac {p}{\cos \phi }}-N$.

Ее можно решить итеративно, например, начиная с первого предположения h ≈0, а затем обновляя N .Более сложные методы показаны ниже. Однако эта процедура чувствительна к небольшой точности из-за $N$ и $h$ мне может быть 10 ⁶ отдельно.

Метод Ньютона – Рафсона

Следующее иррациональное уравнение геодезической широты Боуринга: выведенный просто из приведенных выше свойств, эффективно решать итерационным методом Ньютона – Рафсона :

$\kappa -1-{\frac {e^{2}a\kappa }{\sqrt {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa ^{2}}}}=0,$

где $\kappa ={\frac {p}{Z}}\tan \phi$ и $p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$ как раньше. Высота рассчитывается как:

${\begin{aligned}h&=e^{-2}\left(\kappa ^{-1}-{\kappa _{0}}^{-1}\right){\sqrt {p^{2}+Z^{2}\kappa ^{2}}},\\\kappa _{0}&\triangleq \left(1-e^{2}\right)^{-1}.\end{aligned}}$

Итерацию можно преобразовать в следующий расчет:

$\kappa _{i+1}={\frac {c_{i}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}}=1+{\frac {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}},$

где $c_{i}={\frac {\left(p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{ae^{2}}}.$

Константа $\,\kappa _{0}$ является хорошим стартовым значением для итерации, когда $h\approx 0$. Боуринг показал, что единственная итерация дает достаточно точное решение. В своей первоначальной формулировке он использовал дополнительные тригонометрические функции.

Решение Феррари

Уравнение четвертой степени $\kappa$, полученная из вышеизложенного, может быть решена с помощью решения Феррари чтобы дать:

${\begin{aligned}\zeta &=\left(1-e^{2}\right){\frac {z^{2}}{a^{2}}},\\[4pt]\rho &={\frac {1}{6}}\left({\frac {p^{2}}{a^{2}}}+\zeta -e^{4}\right),\\[4pt]s&={\frac {e^{4}\zeta p^{2}}{4\rho ^{3}a^{2}}},\\[4pt]t&={\sqrt[{3}]{1+s+{\sqrt {s(s+2)}}}},\\[4pt]u&=\rho \left(t+1+{\frac {1}{t}}\right),\\[4pt]v&={\sqrt {u^{2}+e^{4}\zeta }},\\[4pt]w&=e^{2}{\frac {u+v-\zeta }{2v}},\\[4pt]\kappa &=1+e^{2}{\frac {{\sqrt {u+v+w^{2}}}+w}{u+v}}.\end{aligned}}$

Применение решения Феррари

Доступен ряд методов и алгоритмов, но наиболее точный, по словам Чжу, это следующая процедура, установленная Хейккиненом: как цитирует Чжу. Это пересекается с вышеизложенным. Предполагается, что геодезические параметры $\{a,\,b,\,e\}$ известны

${\begin{aligned}a&=6378137.0{\text{ m. Earth Equatorial Radius}}\\[3pt]b&=6356752.3142{\text{ m. Earth Polar Radius}}\\[3pt]e^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}\\[3pt]e'^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\\[3pt]p&={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\\[3pt]F&=54b^{2}Z^{2}\\[3pt]G&=p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}-e^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\\[3pt]c&={\frac {e^{4}Fp^{2}}{G^{3}}}\\[3pt]s&={\sqrt[{3}]{1+c+{\sqrt {c^{2}+2c}}}}\\[3pt]k&=s+1+{\frac {1}{s}}\\[3pt]P&={\frac {F}{3k^{2}G^{2}}}\\[3pt]Q&={\sqrt {1+2e^{4}P}}\\[3pt]r_{0}&={\frac {-Pe^{2}p}{1+Q}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}\left(1+{\frac {1}{Q}}\right)-{\frac {P\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}{Q(1+Q)}}-{\frac {1}{2}}Pp^{2}}}\\[3pt]U&={\sqrt {\left(p-e^{2}r_{0}\right)^{2}+Z^{2}}}\\[3pt]V&={\sqrt {\left(p-e^{2}r_{0}\right)^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}}\\[3pt]z_{0}&={\frac {b^{2}Z}{aV}}\\[3pt]h&=U\left(1-{\frac {b^{2}}{aV}}\right)\\[3pt]\phi &=\arctan \left[{\frac {Z+e'^{2}z_{0}}{p}}\right]\\[3pt]\lambda &=\operatorname {arctan2} [Y,\,X]\end{aligned}}$

Примечание. arctan2 [Y, X] — это четырехквадрантная функция обратного тангенса.

Силовая серия

Для маленького е ² степенной ряд

$\kappa =\sum _{i\geq 0}\alpha _{i}e^{2i}$

начинается с

${\begin{aligned}\alpha _{0}&=1;\\\alpha _{1}&={\frac {a}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}};\\\alpha _{2}&={\frac {aZ^{2}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}+2a^{2}p^{2}}{2\left(Z^{2}+p^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

Геодезические в/из координат ЕНУ

Преобразование геодезических координат в координаты местной касательной плоскости ( ENU ) представляет собой двухэтапный процесс:

1. Преобразование геодезических координат в координаты ECEF
2. Преобразование координат ECEF в локальные координаты ENU

От ECEF до ЕНУ

Для преобразования координат ECEF в локальные координаты нам нужна локальная контрольная точка. Обычно это может быть местоположение радара. Если радар расположен в $\left\{X_{r},\,Y_{r},\,Z_{r}\right\}$ и самолет в $\left\{X_{p},\,Y_{p},\,Z_{p}\right\}$, то вектор, направленный от радара к самолету в кадре ENU, равен

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&\cos \lambda _{r}&0\\-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\\\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{p}-X_{r}\\Y_{p}-Y_{r}\\Z_{p}-Z_{r}\end{bmatrix}}$

Примечание: $\ \phi$ – геодезическая широта ; геоцентрическая широта не подходит для представления вертикального направления местной касательной плоскости и должна быть преобразована при необходимости .

От ЕНУ до ECEF

Это просто инверсия преобразования ECEF в ENU, поэтому

${\begin{bmatrix}X_{p}\\Y_{p}\\Z_{p}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}\\\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}\\0&\cos \phi _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{r}\\Y_{r}\\Z_{r}\end{bmatrix}}$

Преобразование между картографическими проекциями

Преобразование координат и положений карты между различными картографическими проекциями, привязанными к одной и той же системе координат, может быть выполнено либо с помощью формул прямого перевода из одной проекции в другую, либо путем предварительного преобразования из проекции. $A$ в промежуточную систему координат, например ECEF, с последующим преобразованием из ECEF в проекцию. $B$. Используемые формулы могут быть сложными, и в некоторых случаях, например, в приведенном выше преобразовании ECEF в геодезические, преобразование не имеет решения в замкнутой форме, и необходимо использовать приближенные методы. Ссылки, такие как Техническое руководство DMA 8358.1. и документ Геологической службы США «Картографические проекции: рабочее руководство». содержат формулы для преобразования картографических проекций. Для выполнения задач преобразования координат обычно используются компьютерные программы, например, с помощью программы GEOTRANS, поддерживаемой Министерством обороны и NGA.

Преобразования датума

Дополнительная информация: Геодезические данные.

The different possible paths for transforming geographic coordinates from datum $A$ to datum $B$

Преобразования между данными могут быть выполнены несколькими способами. Существуют преобразования, которые напрямую преобразуют геодезические координаты из одной системы отсчета в другую. Существуют и другие косвенные преобразования, которые преобразуют геодезические координаты в координаты ECEF, преобразуют координаты ECEF из одной базы данных в другую, а затем преобразуют координаты ECEF новой базы данных обратно в геодезические координаты. Существуют также преобразования на основе сетки, которые напрямую преобразуют одну пару (база данных, картографическая проекция) в другую пару (база данных, картографическая проекция).

Преобразование Гельмерта

Основная статья: Преобразование Гельмерта

Использование преобразования Гельмерта при преобразовании геодезических координат датума. $A$ к геодезическим координатам исходной точки $B$ происходит в контексте трехэтапного процесса:

1. Преобразование геодезических координат в координаты ECEF для исходной точки. $A$
2. Примените преобразование Гельмерта с соответствующим $A\to B$ преобразовать параметры, чтобы преобразовать исходные данные $A$ Координаты ECEF относительно исходной точки $B$ Координаты ECEF
3. Преобразование координат ECEF в геодезические координаты для исходной точки. $B$

С точки зрения векторов ECEF XYZ преобразование Гельмерта имеет форму (соглашение о преобразовании вектора положения и упрощение очень малых углов поворота)

${\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}+\left(1+s\times 10^{-6}\right){\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix}}.$

Преобразование Гельмерта представляет собой семипараметрическое преобразование с тремя параметрами перевода (сдвига). $c_{x},\,c_{y},\,c_{z}$, три параметра вращения $r_{x},\,r_{y},\,r_{z}$ и один параметр масштабирования (расширения) $s$. Преобразование Гельмерта — это приближенный метод, который точен, когда параметры преобразования малы по сравнению с величинами векторов ECEF. В этих условиях преобразование считается обратимым.

Преобразование Гельмерта с четырнадцатью параметрами с линейной зависимостью от времени для каждого параметра: может использоваться для фиксации временной эволюции географических координат из-за геоморфических процессов, таких как дрейф континентов. и землетрясения. Это было включено в программное обеспечение, такое как инструмент горизонтального позиционирования в зависимости от времени (HTDP) от NGS США.

Преобразование Молоденского-Бадеки

Чтобы устранить связь между вращениями и перемещениями преобразования Гельмерта, можно ввести три дополнительных параметра, чтобы задать новый центр вращения XYZ ближе к преобразуемым координатам. Эта десятипараметрическая модель называется преобразованием Молоденского-Бадекаса , и ее не следует путать с более простым преобразованием Молоденского.

Как и преобразование Гельмерта, использование преобразования Молоденского-Бадекаса представляет собой трехэтапный процесс:

1. Преобразование геодезических координат в координаты ECEF для исходной точки. $A$
2. Примените преобразование Молоденского-Бадекаса с соответствующим $A\to B$ преобразовать параметры, чтобы преобразовать исходные данные $A$ Координаты ECEF относительно исходной точки $B$ Координаты ECEF
3. Преобразование координат ECEF в геодезические координаты для исходной точки. $B$

Преобразование имеет вид

${\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Delta X_{A}\\\Delta Y_{A}\\\Delta Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}+\Delta S{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}.$

где $\left(X_{A}^{0},\,Y_{A}^{0},\,Z_{A}^{0}\right)$ является источником преобразований вращения и масштабирования и $\Delta S$ является коэффициентом масштабирования.

Преобразование Молоденского-Бадекаса используется для преобразования локальных геодезических данных в глобальные геодезические данные, такие как WGS 84. В отличие от преобразования Гельмерта, преобразование Молоденского-Бадекаса не является обратимым, поскольку начало вращения связано с исходным датумом.

Molodensky transformation

Преобразование Молоденского осуществляет прямое преобразование между геодезическими системами координат различных баз без промежуточного этапа преобразования в геоцентрические координаты (ECEF). Для этого необходимы три смещения между базовыми центрами и различия между большими полуосями опорного эллипсоида и параметрами уплощения.

Преобразование Молоденского используется Национальным агентством геопространственной разведки (NGA) в их стандарте TR8350.2 и в программе GEOTRANS, поддерживаемой NGA. Метод Молоденского был популярен до появления современных компьютеров и входит в состав многих геодезических программ.

Сеточный метод

Величина смещения положения между датумами NAD27 и NAD83 в зависимости от местоположения.

Преобразования на основе сетки напрямую преобразуют координаты карты из одной пары (карта-проекция, геодезические данные) в координаты карты другой пары (карта-проекция, геодезические данные). Примером может служить метод NADCON для преобразования данных из североамериканского датума (NAD) 1927 года в датум NAD 1983 года. Эталонная сеть высокой точности (HARN), высокоточная версия преобразований NADCON, имеет точность около 5 сантиметров. Национальная версия преобразования 2 ( NTv2 ) — это канадская версия NADCON для преобразования между NAD 1927 и NAD 1983. HARN также известны как NAD 83/91 и High Precision Grid Networks (HPGN). Впоследствии Австралия и Новая Зеландия приняли формат NTv2 для создания методов на основе сетки для преобразования своих собственных локальных данных.

Подобно преобразованию уравнения множественной регрессии, методы на основе сетки используют метод интерполяции низкого порядка для преобразования координат карты, но в двух измерениях вместо трех. NOAA предоставляет программный инструмент (как часть набора геодезических инструментов NGS) для выполнения преобразований NADCON.

Уравнения множественной регрессии

Преобразования данных с использованием эмпирических методов множественной регрессии были созданы для достижения более точных результатов в небольших географических регионах, чем стандартные преобразования Молоденского. Преобразования MRE используются для преобразования локальных датумов в регионах размером с континент или меньших по размеру в глобальные датумы, такие как WGS 84. Стандарт NIMA TM 8350.2, Приложение D, перечисляет преобразования MRE из нескольких локальных датумов в WGS 84 с точностью около 2 метров.

MRE представляют собой прямое преобразование геодезических координат без промежуточного этапа ECEF. Геодезические координаты $\phi _{B},\,\lambda _{B},\,h_{B}$ в новых данных $B$ моделируются полиномами до девятой степени в геодезических координатах $\phi _{A},\,\lambda _{A},\,h_{A}$ исходных данных $A$. Например, изменение в $\phi _{B}$ может быть параметризовано как (показаны только квадратичные члены)

$\Delta \phi =a_{0}+a_{1}U+a_{2}V+a_{3}U^{2}+a_{4}UV+a_{5}V^{2}+\cdots$

где

$a_{i},$ параметры, подобранные с помощью множественной регрессии

${\begin{aligned}U&=K(\phi _{A}-\phi _{m})\\V&=K(\lambda _{A}-\lambda _{m})\\\end{aligned}}$

$K,$ масштабный коэффициент

$\phi _{m},\,\lambda _{m},$ происхождение данных, $A.$

с аналогичными уравнениями для $\Delta \lambda$ и $\Delta h$. При наличии достаточного количества $(A,\,B)$ пары координат для ориентиров в обеих базах данных для получения хорошей статистики используются методы множественной регрессии для подбора параметров этих полиномов. Полиномы вместе с подобранными коэффициентами образуют уравнения множественной регрессии.

См. также

• Система координат Гаусса – Крюгера
• Список картографических проекций
• Пространственная система отсчета
• Топоцентрическая система координат
• Универсальная полярная стереографическая система координат.
• Универсальная поперечная система координат Меркатора
• Географическое расстояние