Преобразование Гельмерта

Преобразование Гельмерта (названное в честь Фридриха Роберта Гельмерта , 1843–1917) — метод геометрического преобразования в трёхмерном пространстве . Он часто используется в геодезии для преобразования датумов между базами данных . Преобразование Гельмерта также называется семипараметрическим преобразованием и представляет собой преобразование подобия .

Определение [ править ]

Это может быть выражено как:

X_{T}=C+\mu RX\,

где

$X T$ — преобразованный вектор
$X$ — начальный вектор

Параметры :

$C$ – вектор трансляции . Содержит три перевода по осям координат.
$μ$ – масштабный коэффициент , безразмерный; если оно указано в ppm , его необходимо разделить на 1 000 000 и прибавить к 1.
$R$ – матрица вращения . Состоит из трех осей (малых ^{[ нужны разъяснения ]} вращения вокруг каждой из трех координатных осей) $r x$ , $r y$ , $r z$ . Матрица вращения является ортогональной матрицей . Углы выражаются либо в градусах , либо в радианах .

Вариации [ править ]

Особым случаем является двумерное преобразование Гельмерта. Здесь нужны всего четыре параметра (два перевода, одно масштабирование, одно вращение). Их можно определить по двум известным точкам; если доступно больше баллов, можно провести проверки.

Иногда достаточно использовать преобразование с пятью параметрами , состоящее из трех перемещений, только одного поворота вокруг оси Z и одного изменения масштаба.

Ограничения [ править ]

Преобразование Гельмерта использует только один масштабный коэффициент, поэтому оно не подходит для:

Манипулирование обмерными рисунками и фотографиями
Сравнение деформаций бумаги при сканировании старых планов и карт.

более общее аффинное преобразование В этих случаях предпочтительнее .

Приложение [ править ]

Преобразование Гельмерта используется, помимо прочего, в геодезии для преобразования координат точки из одной системы координат в другую. С его помощью становится возможным конвертировать региональные точки съемки в местоположения WGS84 , используемые GPS .

Например, начиная с координаты Гаусса–Крюгера , $x$ и $y$ , а также высота $h$ преобразуются в трехмерные значения поэтапно:

Отменить проекцию карты : расчет эллипсоидальной широты, долготы и высоты ( $W$ , $L$ , $H$ )
Преобразование геодезических координат в геоцентрические координаты : расчет $x$ , $y$ и $z$ относительно опорного эллипсоида съемки.
7-параметрическое преобразование (где $x$ , $y$ и $z$ почти всегда изменяются максимум на несколько сотен метров, а расстояния — на несколько мм на км).
Благодаря этому наземные координаты можно сравнивать с данными GPS; затем их можно будет внести в съемку как новые точки, преобразованные в обратном порядке.

Третий шаг состоит из применения матрицы вращения , умножения намасштабный коэффициент $\mu =1+s$ (со значением около 1) и добавлением трех переводов $c x$ , $c y$ , $c z$ .

Координаты системы отсчета B получаются из системы отсчета A по следующей формуле (соглашение о преобразовании вектора положения и упрощение очень малых углов поворота): ^[1]

{\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{B}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}+(1+s\times 10^{-6})\cdot {\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{A}

или для каждого отдельного параметра координаты:

{\begin{aligned}X_{B}&=c_{x}+(1+s\times 10^{-6})\cdot (X_{A}-r_{z}\cdot Y_{A}+r_{y}\cdot Z_{A})\\Y_{B}&=c_{y}+(1+s\times 10^{-6})\cdot (r_{z}\cdot X_{A}+Y_{A}-r_{x}\cdot Z_{A})\\Z_{B}&=c_{z}+(1+s\times 10^{-6})\cdot (-r_{y}\cdot X_{A}+r_{x}\cdot Y_{A}+Z_{A}).\end{aligned}}

Для обратного преобразования каждый элемент умножается на -1.

Семь параметров определяются для каждого региона с тремя и более «идентичными точками» обеих систем. Чтобы привести их в соответствие, небольшие несоответствия (обычно всего несколько см) корректируются методом наименьших квадратов , то есть устраняются статистически правдоподобным образом.

Стандартные параметры [ править ]

Примечание: углы поворота, указанные в таблице, указаны в угловых секундах должны быть преобразованы в радианы . и перед использованием в расчетах

Кодекс EPSG	Область	Исходная дата	Целевая база данных	Точность ( метр )	$с х$ (метр)	$с у$ (метр)	$с z$ (метр)	$с$ ( частей на миллион )	$r x$ ( угловая секунда )	$r y$ ( угловая секунда )	$r z$ ( угловая секунда )
8048	Австралия	GDA94 ( EPSG:4283 )	GDA2020 ( EPSG:7844 )	0.01	0.06155	-0.01087	-0.04019	-0.009994	-0.0394924	-0.0327221	-0.0328979
9690	Австралия	WGS84 ( EPSG:4326 )	GDA2020 ( EPSG:7844 )	3	0.06155	-0.01087	-0.04019	-0.009994	-0.0394924	-0.0327221	-0.0328979
1618	Австрия	МГИ ( EPSG:4312 )	WGS84 ( EPSG:4326 )	1.5	577.326	90.129	463.919	2.4232	5.137	1.474	5.297
1776	Германия (Запад)	ДХДН ( EPSG:4314 )	ETRS89 ( EPSG:4258 )	3	598.1	73.7	418.2	6.7	0.202	0.045	-2.455
1777	Германия (Запад)	ДХДН ( EPSG:4314 )	WGS84 ( EPSG:4326 )	3	598.1	73.7	418.2	6.7	0.202	0.045	-2.455
15869	Германия (Восток)	ДХДН ( EPSG:4314 )	WGS84 ( EPSG:4326 )	2	612.4	77	440.2	2.55	-0.054	0.057	-2.797
1641	Ирландия	ТМ65 ( EPSG:4299 )	WGS84 ( EPSG:4326 )	1	482.5	-130.6	564.6	8.15	-1.042	-0.214	-0.631
1953	Ирландия	ТМ75 ( ЭПСГ:4300 )	ETRS89 ( EPSG:4258 )	1	482.5	-130.6	564.6	8.15	-1.042	-0.214	-0.631
1954	Ирландия	ТМ75 ( ЭПСГ:4300 )	WGS84 ( EPSG:4326 )	1	482.5	-130.6	564.6	8.15	-1.042	-0.214	-0.631
8689	Словения	МГИ 1901 ( EPSG: 3906 )	Словения, 1996 г. ( EPSG: 4765 )	1	476.08	125.947	417.81	9.896638	-4.610862	-2.388137	11.942335
1314	Великобритания	OSGB36 ( EPSG:4247 )	WGS84 ( EPSG:4326 )	2	446.448	-125.157	542.06	-20.489	0.15	0.247	0.842
1315	Великобритания	OSGB36 ( EPSG:4247 )	ЭД50 ( ЭПСГ:4230 )	2	535.948	-31.357	665.16	-21.689	0.15	0.247	0.998
1901	Соединенные Штаты	НАД83(МОЧА) ( EPSG:4152 )	WGS84 ( EPSG:4326 )	1	-0.991	1.9072	0.5129	0	1.250 33 × 10 ⁻⁷	4.6785 × 10 ⁻⁸	5.6529 × 10 ⁻⁸

Это стандартные наборы параметров для 7-параметрического преобразования (или преобразования данных) между двумя базами данных. Для преобразования в обратном направлении следует рассчитать параметры обратного преобразования или применить обратное преобразование (как описано в статье «О геодезических преобразованиях»). ^[2]). Переводы $c x$ , $cy,$ , $c z$ описываются $t x$ , $ty dz$ как $t z$ или $dx$ , $dy$ , $.$ иногда Вращения r _x , r _y и r _z иногда также описываются как $\omega$ , $\phi$ и $\kappa$ . ^{[ ВОЗ? ]} В Соединенном Королевстве основной интерес представляет преобразование данных OSGB36, используемых в съемке боеприпасов для привязок к сетке на картах Landranger и Explorer, в реализацию WGS84, используемую технологией GPS. Система координат Гаусса -Крюгера, используемая в Германии, обычно относится к эллипсоиду Бесселя . Еще одной системой координат, представляющей интерес, была ED50 (Европейская система координат 1950 г.), основанная на эллипсоиде Хейфорда . ED50 был частью основ координат НАТО до 1980-х годов, и многие национальные системы координат Гаусса-Крюгера определяются ED50.

Земля не имеет идеальной эллипсоидной формы, а описывается как геоид . Вместо этого геоид Земли описывается множеством эллипсоидов. В зависимости от фактического местоположения для целей съемки и картографии использовался «эллипсоид с наилучшим локальным выравниванием». Стандартный набор параметров обеспечивает точность около 7 м преобразования OSGB36/WGS84 . Это недостаточно точно для геодезической съемки, и Исследование боеприпасов дополняет эти результаты, используя справочную таблицу дальнейших переводов, чтобы достичь точности в 1 см .

Оценка параметров [ править ]

Если параметры преобразования неизвестны, их можно рассчитать с опорными точками (т. е. точками, координаты которых известны до и после преобразования. Поскольку всего необходимо определить семь параметров (три перемещения, один масштаб, три вращения), должны быть известны как минимум две точки и одна координата третьей точки (например, координата Z). Это дает систему с семью уравнениями и семью неизвестными, которую можно решить.

Для преобразований между конформными проекциями карт вблизи произвольной точки параметры преобразования Гельмерта можно точно рассчитать из матрицы Якоби функции преобразования.

На практике лучше всего использовать больше точек. За счет такого соответствия достигается большая точность и становится возможной статистическая оценка результатов. В этом случае расчет корректируется методом наименьших квадратов Гаусса .

Числовое значение точности параметров преобразования получается путем расчета значений в опорных точках и взвешивания результатов относительно центроида точек .

Хотя метод является математически строгим, он полностью зависит от точности используемых параметров. На практике эти параметры вычисляются путем включения в сети как минимум трех известных точек. Однако их точность повлияет на следующие параметры преобразования, поскольку эти точки будут содержать ошибки наблюдения. Следовательно, «реальная» трансформация будет лишь наилучшей оценкой и должна содержать статистическую меру ее качества.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ «Уравнения, используемые для преобразования данных» . Информация о земле Тойту Те Венуа Новая Зеландия . Проверено 30 июня 2022 г.
^ О геодезических преобразованиях, Бо-Гуннар Рейт, 2009 https://www.lantmateriet.se/contentassets/4a728c7e9f0145569edd5eb81fececa7/rapport_reit_eng.pdf

Внешние ссылки [ править ]

Преобразование Гельмерта в PROJ программе преобразования координат
Вычисление преобразований Гельмерта

[1] «Уравнения, используемые для преобразования данных» . Информация о земле Тойту Те Венуа Новая Зеландия . Проверено 30 июня 2022 г.

[2] О геодезических преобразованиях, Бо-Гуннар Рейт, 2009 https://www.lantmateriet.se/contentassets/4a728c7e9f0145569edd5eb81fececa7/rapport_reit_eng.pdf

[1]

[2]