Универсальная поперечная система координат Меркатора

Универсальный поперечный Меркатор ( UTM ) — это картографическая проекционная система для присвоения координат местам на поверхности Земли . Как и традиционный метод определения широты и долготы , это представление горизонтального положения , что означает, что он игнорирует высоту и рассматривает поверхность Земли как идеальный эллипсоид . Однако он отличается от глобальной широты/долготы тем, что делит Землю на 60 зон и проецирует каждую из них на плоскость в качестве основы для своих координат. Указание местоположения означает указание зоны и координат x , y в этой плоскости. Проекция сфероида на зону UTM является некоторой параметризацией поперечной проекции Меркатора . Параметры различаются в зависимости от страны, региона или картографической системы.

Большинство зон в UTM охватывают 6 градусов долготы , и каждая имеет определенный центральный меридиан. Масштабный коэффициент на центральном меридиане составляет 0,9996 истинного масштаба для большинства используемых систем UTM.

Зоны UTM на равноугольной карте мира с неправильными зонами красного цвета и выделенной зоной Нью-Йорка.

История

На сайте Национального управления океанических и атмосферных исследований (NOAA) указано, что система разрабатывалась Инженерным корпусом армии США начиная с начала 1940-х годов. Однако серия аэрофотоснимков, найденных в Bundesarchiv-Militärarchiv (военный отдел Федерального архива Германии ), датируемых, по-видимому, 1943–1944 годами, имеет надпись UTMREF, за которой следуют буквы и цифры сетки и проецируются в соответствии с поперечным Меркатором. Это открытие указывает на то, что нечто, называемое эталонной системой UTM, было разработано Вермахтом в 1942–43 годах . Вероятно, это было выполнено Abteilung für Luftbildwesen (Отдел аэрофотосъемки). С 1947 года армия США использовала очень похожую систему, но со стандартным теперь масштабным коэффициентом 0,9996 на центральном меридиане, а не с немецким 1,0. Для территорий на территории сопредельных Соединенных Штатов Кларка . эллипсоид 1866 года был использован. Для остальных областей Земли, включая Гавайи , Международный Эллипсоид был использован. Эллипсоид Всемирной геодезической системы WGS84 теперь обычно используется для моделирования Земли в системе координат UTM, что означает, что текущее северное положение UTM в данной точке может отличаться до 200 метров от старого. Для разных географических регионов отсчета могут использоваться другие системы .

До разработки универсальной поперечной системы координат Меркатора несколько европейских стран продемонстрировали полезность конформных карт на основе сетки, составив карту своей территории в межвоенный период . Вычисление расстояния между двумя точками на этих картах можно было легче выполнить в полевых условиях (с использованием теоремы Пифагора ), чем это было возможно с использованием тригонометрических формул, необходимых в системе широты и долготы , основанной на координатной сетке . В послевоенные годы эти концепции были расширены до системы координат Universal Transverse Mercator/ Universal Polar Stereographic (UTM/UPS), которая представляет собой глобальную (или универсальную) систему карт на основе сетки.

Поперечная проекция Меркатора — это вариант проекции Меркатора , которая была первоначально разработана фламандским географом и картографом Герардом Меркатором в 1570 году. Эта проекция является конформной , что означает, что она сохраняет углы и, следовательно, формы в небольших регионах. Однако это искажает расстояние и площадь.

Определения

UTM-зона

Упрощенное представление смежных зон UTM в США , проецируемых с помощью равноугольной конусы Ламберта.

Система UTM делит Землю на 60 зон, каждая шириной 6° долготы. Зона 1 охватывает долготу от 180° до 174° з.д.; нумерация зон увеличивается в восточном направлении до зоны 60, которая охватывает от 174 ° до 180 ° восточной долготы. Полярные регионы южнее 80° ю.ш. и севернее 84° с.ш. исключены.

Каждая из 60 зон использует поперечную проекцию Меркатора , которая может отображать регион большой протяженности с севера на юг с низкими искажениями. За счет использования узких зон шириной 6° долготы (до 668 км) и уменьшения масштабного коэффициента вдоль центрального меридиана до 0,9996 (уменьшение 1:2500) величина искажений удерживается ниже 1 части на 1000 внутри. каждая зона. Искажение масштаба увеличивается до 1,0010 на границах зон вдоль экватора .

В каждой зоне масштабный коэффициент центрального меридиана уменьшает диаметр поперечного цилиндра для получения секущей проекции с двумя стандартными линиями или линиями истинного масштаба примерно по 180 км с каждой стороны и примерно параллельно центральному меридиану ( Arc cos 0,9996 = 1,62° на экваторе). Масштаб меньше 1 внутри стандартных линий и больше 1 вне их, но общее искажение минимально.

Исключения

Зоны UTM одинаковы по всему миру, за исключением двух областей. На юго-западном побережье Норвегии зона 32 расширена на 3° дальше на запад, а зона 31 соответственно сужена и охватывает только открытую воду. Кроме того, в районе Шпицбергена зоны 32, 34 и 36 не используются, а зоны 31 (ширина 9°), 33 (ширина 12°), 35 (ширина 12°) и 37 (ширина 9°) расширен, чтобы закрыть пробелы.

Перекрывающиеся сетки

Зоны сетки универсального поперечного Меркатора (UTM) с 31 по 37 северной широты отличаются от стандартной зоны шириной 6 ° и шириной 84 ° для северного полушария, отчасти для размещения западной части Королевства Норвегия. Дополнительную информацию об истории см. в статье Клиффорда Дж. Мунье о сетках и базах данных Королевства Норвегия, опубликованной в октябрьском номере журнала PE&RS за 1999 г. http://www.asprs.org/a/resources/grids/10-99- Норвегия.pdf

Искажение масштаба увеличивается в каждой зоне UTM по мере приближения к границам между зонами UTM. Однако часто бывает удобно или необходимо измерить несколько точек на одной сетке, если некоторые из них расположены в двух соседних зонах. Вокруг границ крупномасштабных карт (1:100 000 или больше) координаты обеих соседних зон UTM обычно печатаются на расстоянии не менее 40 км по обе стороны от границы зоны. В идеале координаты каждой позиции должны измеряться на сетке для зоны, в которой они расположены, но поскольку масштабный коэффициент вблизи границ зоны все еще относительно мал, при необходимости можно перекрывать измерения в соседней зоне на некотором расстоянии. .

Диапазоны широты

Полосы широты не являются частью UTM. а скорее часть военной системы координат (MGRS). Однако иногда они включаются в нотацию UTM. Включение диапазонов широт в обозначение UTM может привести к неоднозначным координатам, поскольку буква «S» относится либо к южному полушарию, либо к диапазону широт в северном полушарии, и поэтому его следует избегать.

Определение позиции по координатам UTM

Положение на Земле определяется номером зоны UTM и обозначением полушария, а также парой плоских координат восточного и северного направления в этой зоне.

Точкой происхождения каждой зоны UTM является пересечение экватора и центрального меридиана зоны. ложное восточное смещение -500 000 Чтобы избежать работы с отрицательными числами, к центральному меридиану добавляется метров. Таким образом, точка, имеющая восточное направление 400 000 метров, находится примерно в 100 км к западу от центрального меридиана. Для большинства таких точек истинное расстояние будет чуть больше 100 км, измеренное на поверхности Земли из-за искажения проекции. Высота UTM на востоке варьируется от 166 000 метров до 834 000 метров на экваторе.

В северном полушарии положения отсчитываются к северу от нуля на экваторе. Максимальное значение «север» составляет около 9 300 000 метров на широте 84 градуса северной широты, северной оконечности зон UTM. Северное положение южного полушария по экватору установлено на высоте 10 000 000 метров. Северные значения уменьшаются к югу от этих 10 000 000 метров примерно до 1 100 000 метров на 80 градусах южной широты, южной оконечности зон UTM. Следовательно, ни одна точка не имеет отрицательного значения северного направления.

Например, Си-Эн Тауэр находится по адресу 43 ° 38'33,24 дюйма с.ш. 79 ° 23'13,7 дюйма з.д. , которая находится в зоне UTM 17, а положение сетки составляет 630 084 м к востоку, 4 833 438 м к северу. Эти координаты имеют две точки в Зоне 17: одна в северном полушарии и одна в южном; однозначный формат заключается в указании полного обозначения зоны и полушария, то есть «17N 630084 4833438».

Упрощенные формулы

Эти формулы представляют собой усеченную версию поперечного ряда Меркатора: сглаживающего ряда , который первоначально был выведен Иоганном Генрихом Луи Крюгером в 1912 году. Они имеют точность около миллиметра в пределах 3000 км от центрального меридиана. Также были даны краткие комментарии к их выводу.

WGS 84 Пространственная система отсчета описывает Землю как сплюснутый сфероид вдоль оси север-юг с радиусом экваториальным $a=6378.137$ км и уплощение обратное $1/f=298.257\,223\,563$. Возьмем точку широты $\,\varphi$ и долготы $\,\lambda$ и вычислить его координаты UTM, а также коэффициент масштабирования точки $k\,\!$ и схождение меридианов $\gamma \,\!$ используя опорный меридиан долготы $\lambda _{0}$. По условию, в северном полушарии $N_{0}=0$ км и в южном полушарии $N_{0}=10000$ км. По соглашению также $k_{0}=0.9996$ и $E_{0}=500$ км.

В следующих формулах расстояния указаны в километрах . Во-первых, вот некоторые предварительные значения:

${\begin{aligned}n&={\frac {f}{2-f}},&A&={\frac {a}{1+n}}\left(1+{\frac {n^{2}}{4}}+{\frac {n^{4}}{64}}+\cdots \right),\\{}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {1}{2}}n-{\frac {2}{3}}n^{2}+{\frac {5}{16}}n^{3},&\alpha _{2}&={\frac {13}{48}}n^{2}-{\frac {3}{5}}n^{3},&\alpha _{3}&={\frac {61}{240}}n^{3},\\[12pt]\beta _{1}&={\frac {1}{2}}n-{\frac {2}{3}}n^{2}+{\frac {37}{96}}n^{3},&\beta _{2}&={\frac {1}{48}}n^{2}+{\frac {1}{15}}n^{3},&\beta _{3}&={\frac {17}{480}}n^{3},\\[12pt]\delta _{1}&=2n-{\frac {2}{3}}n^{2}-2n^{3},&\delta _{2}&={\frac {7}{3}}n^{2}-{\frac {8}{5}}n^{3},&\delta _{3}&={\frac {56}{15}}n^{3}.\end{aligned}}$

От широты и долготы ( φ , λ ) до координат UTM (E, N)

Сначала мы вычисляем некоторые промежуточные значения:

$t=\sinh \left(\tanh ^{-1}\left(\sin \varphi \right)-{\frac {2{\sqrt {n}}}{1+n}}\tanh ^{-1}\left({\frac {2{\sqrt {n}}}{1+n}}\sin \varphi \right)\right),$

$\xi '=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{\cos(\lambda -\lambda _{0})}}\right),\,\,\,\eta '=\tanh ^{-1}\left({\frac {\sin(\lambda -\lambda _{0})}{\sqrt {1+t^{2}}}}\right),$

$\sigma =1+\sum _{j=1}^{3}2j\alpha _{j}\cos(2j\xi ')\cosh(2j\eta '),\,\,\,\tau =\sum _{j=1}^{3}2j\alpha _{j}\sin(2j\xi ')\sinh(2j\eta ').$

Окончательные формулы:

$E=E_{0}+k_{0}A\left(\eta '+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}\cos(2j\xi ')\sinh(2j\eta ')\right),$

$N=N_{0}+k_{0}A\left(\xi '+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}\sin(2j\xi ')\cosh(2j\eta ')\right),$

$k={\frac {k_{0}A}{a}}{\sqrt {\left\{1+\left({\frac {1-n}{1+n}}\tan \varphi \right)^{2}\right\}{\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{t^{2}+\cos ^{2}(\lambda -\lambda _{0})}}}},$

$\gamma =\tan ^{-1}\left({\frac {\tau {\sqrt {1+t^{2}}}+\sigma t\tan(\lambda -\lambda _{0})}{\sigma {\sqrt {1+t^{2}}}-\tau t\tan(\lambda -\lambda _{0})}}\right).$

где $E$ это Восток, $N$ Нортинг, $k$ - масштабный коэффициент, а $\gamma$ это конвергенция сетки.

От координат UTM (E, N, Zone, Hemi) до широты и долготы ( φ , λ )

Примечание: Hemi = +1 для севера, Hemi = −1 для юга.

Сначала давайте вычислим некоторые промежуточные значения:

$\xi ={\frac {N-N_{0}}{k_{0}A}},\,\,\,\eta ={\frac {E-E_{0}}{k_{0}A}},$

$\xi '=\xi -\sum _{j=1}^{3}\beta _{j}\sin \left(2j\xi \right)\cosh \left(2j\eta \right),\,\,\,\eta '=\eta -\sum _{j=1}^{3}\beta _{j}\cos \left(2j\xi \right)\sinh \left(2j\eta \right),$

$\sigma '=1-\sum _{j=1}^{3}2j\beta _{j}\cos \left(2j\xi \right)\cosh \left(2j\eta \right),\,\,\,\tau '=\sum _{j=1}^{3}2j\beta _{j}\sin \left(2j\xi \right)\sinh \left(2j\eta \right),$

$\chi =\sin ^{-1}\left({\frac {\sin \xi '}{\cosh \eta '}}\right).$

Окончательные формулы:

$\varphi =\chi +\sum _{j=1}^{3}\delta _{j}\sin \left(2j\chi \right),$

$\lambda _{0}=\mathrm {Z} \mathrm {o} \mathrm {n} \mathrm {e} \times 6^{\circ }-183^{\circ }\,$

$\lambda =\lambda _{0}+\tan ^{-1}\left({\frac {\sinh \eta '}{\cos \xi '}}\right),$

$k={\frac {k_{0}A}{a}}{\sqrt {\left\{1+\left({\frac {1-n}{1+n}}\tan \varphi \right)^{2}\right\}{\frac {\cos ^{2}\xi '+\sinh ^{2}\eta '}{\sigma '^{2}+\tau '^{2}}}}},$

$\gamma =\mathrm {H} \mathrm {e} \mathrm {m} \mathrm {i} \times \tan ^{-1}\left({\frac {\tau '+\sigma '\tan \xi '\tanh \eta '}{\sigma '-\tau '\tan \xi '\tanh \eta '}}\right).$

См. также

• Европейская наземная система отсчета 1989 г. (ETRS89)
• Система отсчета военной сетки — вариант UTM, предназначенный для упрощения передачи координат.
• Модифицированный поперечный Меркатор , вариант UTM, используемый в Канаде, с зонами, расположенными на расстоянии 3 ° по долготе друг от друга, в отличие от 6 ° UTM.
• Поперечная проекция Меркатора — картографическая проекция, используемая UTM.
• Универсальная полярная стереографическая система координат , используемая на Северном и Южном полюсах.
• Открытый код местоположения , иерархическая зонированная система
• MapCode — иерархическая зонированная система.

Внешние ссылки

• Координаты UTM в Google Maps.
• Понимание проекции UTM.

Дальнейшее чтение

• Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции – Рабочее руководство. Профессиональный документ Геологической службы США 1395 . Типография правительства США, Вашингтон, округ Колумбия