Поперечная проекция Меркатора

Поперечная проекция Меркатора

Поперечная Меркатора картографическая проекция ( TM , TMP ) является адаптацией стандартной проекции Меркатора . Поперечная версия широко используется в национальных и международных картографических системах по всему миру, включая Universal Transverse Mercator . В сочетании с подходящей геодезической базой данных поперечный Меркатор обеспечивает высокую точность в зонах с отклонением менее нескольких градусов с востока на запад.

Стандартные и поперечные аспекты

Сравнение касательных и секущих форм нормальной, косой и поперечной проекций Меркатора со стандартными параллелями, выделенными красным цветом.

Поперечная проекция Меркатора является поперечным аспектом стандартной (или нормальной ) проекции Меркатора. Они имеют одну и ту же математическую конструкцию, и, следовательно, поперечный Меркатор наследует многие черты нормального Меркатора:

• Обе проекции цилиндрические . : для нормального Меркатора ось цилиндра совпадает с полярной осью, а линия касания с экватором Для поперечного Меркатора ось цилиндра лежит в экваториальной плоскости, а линией касания является любой выбранный меридиан, обозначенный тем самым центральным меридианом .
• Обе проекции могут быть преобразованы в секущую форму, что означает, что масштаб уменьшен так, что цилиндр прорезает земной шар модели.
• Оба существуют в сферической и эллипсоидной версиях.
• Обе проекции конформны , так что масштаб точки не зависит от направления и локальные формы хорошо сохраняются;
• Обе проекции имеют постоянный масштаб на линии касания (экватор для нормального Меркатора и центральный меридиан для поперечного).

Поскольку центральный меридиан поперечного Меркатора можно выбрать произвольно, его можно использовать для построения высокоточных карт (узкой ширины) в любой точке земного шара. Секущая эллипсоидная форма поперечного Меркатора является наиболее широко применяемой из всех проекций для точных крупномасштабных карт.

Сферический поперечный Меркатор

При построении карты в любой проекции сфера для моделирования Земли обычно выбирается, когда протяженность отображаемой области превышает несколько сотен километров в длину в обоих измерениях. Для карт небольших регионов необходимо выбирать эллипсоидную модель , если требуется большая точность; см. следующий раздел. Сферическая форма поперечной проекции Меркатора была одной из семи новых проекций, представленных в 1772 году Иоганном Генрихом Ламбертом . (Текст также доступен в современном английском переводе. ) Ламберт не назвал своих прогнозов; название поперечного Меркатора датируется второй половиной XIX века. Здесь представлены основные свойства поперечной проекции в сравнении со свойствами нормальной проекции.

Нормальная и поперечная сферические проекции

	Нормальный Меркатор			Поперечный Меркатор
	Сферическая нормаль (экваториальная) Меркатора (усеченная при y = ±π, что соответствует примерно 85 градусам).			Сферический поперечный Меркатор (усеченный в точке x = ± π в единицах радиуса Земли).
•	Центральный меридиан проецируется на прямую линию x = 0. Другие меридианы проецируются на прямые линии с x постоянным .		•	Центральный меридиан проецируется на прямую линию x = 0. Меридианы на 90 градусов к востоку и западу от центрального меридиана проецируются на линии постоянного y, проходящие через проецируемые полюса. Все остальные меридианы представляют собой сложные кривые.
•	Экватор проецируется на прямую линию y = 0, а параллельные круги проецируются на прямые линии постоянной y .		•	Экватор проецируется на прямую y = 0, но все остальные параллели представляют собой сложные замкнутые кривые.
•	Проекции меридианов и параллелей пересекаются под прямым углом.		•	Проекции меридианов и параллелей пересекаются под прямым углом.
•	Проекция неограничена в направлении y . Полюса лежат в бесконечности.		•	Проекция неограничена в направлении x . Точки на экваторе, находящиеся на расстоянии девяноста градусов от центрального меридиана, проецируются на бесконечность.
•	Проекция конформная. Формы мелких элементов хорошо сохранились.		•	Проекция конформная. Формы мелких элементов хорошо сохранились.
•	Искажение увеличивается с увеличением y . Проекция не подходит для карт мира. Искажение невелико вблизи экватора, и проекция (особенно ее эллипсоидная форма) подходит для точного картографирования экваториальных регионов.		•	Искажение увеличивается с увеличением x . Проекция не подходит для карт мира. Искажение невелико вблизи центрального меридиана, и проекция (особенно ее эллипсоидная форма) подходит для точного картографирования узких областей.
•	Гренландия почти такого же размера, как Африка; фактическая площадь составляет примерно одну четырнадцатую площади Африки.		•	Когда Гренландия и Африка находятся вблизи центрального меридиана, их формы хороши, а соотношение площадей хорошо приближается к фактическим значениям.
•	не Масштабный коэффициент точки зависит от направления. Это функция y в проекции. (На сфере это зависит только от широты.) На экваторе масштаб верен.		•	Масштабный коэффициент точки не зависит от направления. Это функция x в проекции. (На сфере это зависит как от широты, так и от долготы.) Масштаб верен для центрального меридиана.
•	Проекция достаточно точна вблизи экватора. Масштаб на угловом расстоянии 5° (по широте) от экватора менее чем на 0,4% больше, чем масштаб на экваторе, и примерно на 1,54% больше на угловом расстоянии 10°.		•	Проекция достаточно точна вблизи центрального меридиана. Масштаб на угловом расстоянии 5° (по долготе) от центрального меридиана менее чем на 0,4% больше, чем масштаб на центральном меридиане, и составляет около 1,54% на угловом расстоянии 10°.
•	В секущей версии масштаб уменьшен на экваторе, и это верно для двух линий, параллельных проецируемому экватору (и соответствующих двум параллельным кругам на сфере).		•	В секущей версии масштаб уменьшен по центральному меридиану, и это верно для двух линий, параллельных проецируемому центральному меридиану. (Эти две линии не являются меридианами.)
•	Сходимость (угол между проецируемыми меридианами и линиями сетки с постоянной x ) тождественно равна нулю. Север по координатной сетке и истинный север совпадают.		•	Конвергенция равна нулю на экваторе и ненулевой везде. Оно увеличивается по мере приближения к полюсам. Север по координатной сетке и истинный север не совпадают.
•	Ромбовидные линии (постоянного азимута на сфере) превращаются в прямые линии.

Эллипсоидный поперечный Меркатора

Эллипсоидальную форму поперечной проекции Меркатора разработал Карл Фридрих Гаусс в 1822 году. и далее проанализирован Иоганном Генрихом Луи Крюгером в 1912 году.

Проекция известна под несколькими названиями: (эллипсоидный) поперечный Меркатор в США; Конформный Гаусса или Гаусса – Крюгера в Европе; или поперечный Меркатор Гаусса – Крюгера в более общем смысле. Помимо синонима эллипсоидной поперечной картографической проекции Меркатора, термин Гаусса – Крюгера можно использовать и в других несколько иных смыслах:

• Иногда этот термин используется для обозначения определенного метода расчета поперечного Меркатора: то есть способа преобразования широты/долготы и проекционных координат. Не существует простой закрытой формулы, позволяющей сделать это, когда Земля моделируется как эллипсоид. Но метод Гаусса-Крюгера дает те же результаты, что и другие методы, по крайней мере, если вы находитесь достаточно близко к центральному меридиану: скажем, менее 100 градусов долготы. В дальнейшем некоторые методы становятся неточными.
• Этот термин также используется для определенного набора поперечных проекций Меркатора, используемых в узких зонах в Европе и Южной Америке, по крайней мере, в Германии, Турции, Австрии, Словении, Хорватии, Боснии и Герцеговине, Сербии, Черногории, Северной Македонии, Финляндии и Аргентине. . Эта система Гаусса-Крюгера похожа на универсальную поперечную систему Меркатора , но центральные меридианы зон Гаусса-Крюгера отстоят друг от друга всего на 3°, в отличие от 6° в UTM.

Проекция конформная с постоянным масштабом на центральном меридиане. (Существуют и другие конформные обобщения поперечного Меркатора от сферы к эллипсоиду, но только Гаусс-Крюгер имеет постоянный масштаб на центральном меридиане.) На протяжении двадцатого века поперечный Меркатор Гаусса-Крюгера был принят в той или иной форме: многими странами (и международными организациями); кроме того, он обеспечивает основу для Универсального поперечного Меркатора серии проекций . Проекция Гаусса-Крюгера в настоящее время является наиболее широко используемой проекцией при точном крупномасштабном картографировании.

Проекция, разработанная Гауссом и Крюгером, выражалась в виде степенных рядов низкого порядка , которые, как предполагалось, расходились в направлении восток-запад, точно так же, как и в сферической версии. Это было опровергнуто британским картографом Э. Х. Томпсоном, чья неопубликованная точная (закрытая форма) версия проекции, о которой сообщил Лоуренс Патрик Ли в 1976 году: показал, что эллипсоидальная проекция конечна (ниже). В этом заключается самое разительное различие между сферической и эллипсоидной версиями поперечной проекции Меркатора: Гаусс – Крюгер дает разумную проекцию всего эллипсоида на плоскость, хотя ее основное применение заключается в точном крупномасштабном картографировании, «близком» к центральному. меридиан.

Эллипсоидный поперечный Меркатор: конечная проекция.

Функции

• Вблизи центрального меридиана (Гринвич в приведенном выше примере) проекция имеет низкие искажения, а формы Африки, Западной Европы, Британских островов, Гренландии и Антарктиды выгодно отличаются от земного шара.
• Центральные области поперечных проекций сферы и эллипсоида неразличимы на показанных здесь мелкомасштабных проекциях.
• Меридианы на 90° к востоку и западу от выбранного центрального меридиана проецируются на горизонтальные линии, проходящие через полюса. Более дальнее полушарие проецируется над северным полюсом и под южным полюсом.
• Экватор делит Африку пополам, пересекает Южную Америку и затем продолжается до полной внешней границы проекции; верхний и нижний края, а также правый и левый края должны быть идентифицированы (т.е. они представляют одни и те же линии на глобусе). (Индонезия разделена пополам.)
• Искажение увеличивается к правой и левой границам проекции, но не увеличивается до бесконечности. Обратите внимание на Галапагосские острова, где меридиан 90° запада пересекает экватор внизу слева.
• Карта конформна. Линии, пересекающиеся под любым заданным углом на эллипсоиде, проецируются в линии, пересекающиеся под тем же углом в проекции. В частности, параллели и меридианы пересекаются под углом 90°.
• Коэффициент точечного масштаба не зависит от направления в любой точке, поэтому форма небольшой области достаточно хорошо сохраняется. Необходимым условием является то, что величина масштабного коэффициента не должна слишком сильно различаться в зависимости от региона. Обратите внимание, что, хотя Южная Америка сильно искажена, остров Цейлон достаточно мал, чтобы иметь разумную форму, хотя и находится далеко от центрального меридиана.
• Выбор центрального меридиана существенно влияет на вид проекции. Если выбрано 90°W, то разумна вся Америка. Если выбрано 145° в.д., Дальний Восток подходит, а Австралия ориентирована севером вверх.

В большинстве приложений система координат Гаусса – Крюгера применяется к узкой полосе вблизи центральных меридианов, где различия между сферической и эллипсоидной версиями невелики, но, тем не менее, важны для точного картографирования. Прямые ряды для масштаба, схождения и искажения являются функциями эксцентриситета, а также широты и долготы на эллипсоиде: обратные ряды являются функциями эксцентриситета , а также x и y в проекции. В секущей версии линии истинного масштаба проекции больше не параллельны центральному меридиану; они слегка изогнуты. Угол схождения между проецируемыми меридианами и постоянными линиями сетки x больше не равен нулю (за исключением экватора), поэтому необходимо скорректировать направление сетки, чтобы получить азимут от истинного севера. Разница небольшая, но существенная, особенно в высоких широтах.

Реализации проекции Гаусса – Крюгера

В своем 1912 г. В статье Крюгер представил два различных решения, отличающихся здесь параметром расширения:

• Крюгер– n (пункты 5–8): Формулы для прямой проекции, дающие координаты x и y , представляют собой разложения четвертого порядка с точки зрения третьего уплощения n (отношение разности и суммы большой и малой осей эллипсоид). Коэффициенты выражаются через широту ( φ ), долготу ( λ ), большую ось ( a ) и эксцентриситет ( e ). Обратные формулы для φ и λ также представляют собой разложения четвертого порядка по n, но с коэффициентами, выраженными через x , y , a и e .
• Крюгер – λ (пункты 13 и 14): Формулы, задающие координаты проекции x и y, представляют собой разложения (порядков 5 и 4 соответственно) по долготе λ , выраженной в радианах: коэффициенты выражаются через φ , a и е . Обратная проекция для φ и λ представляет собой разложение шестого порядка по отношению ⁠ x / a ⁠ , с коэффициентами, выраженными через y , a и e . (См. серию «Поперечный Меркатор: Редферн» .)

Серия Крюгера – λ была реализована первой, возможно, потому, что их было гораздо легче оценивать на ручных калькуляторах середины двадцатого века.

• Ли – Редферн – OSGB : В 1945 году Л. П. Ли. подтвердил λ- разложения Крюгера и предложил их принять OSGB. но Редфирн (1948) отметил, что они были неточными из-за (а) относительно высоких широт Великобритании и (б) большой ширины нанесенной на карту территории, более 10 градусов долготы. Редферн расширил ряд до восьмого порядка и исследовал, какие члены необходимы для достижения точности 1 мм (измерение на земле). Серия Redfearn до сих пор является основой картографических проекций OSGB.
• Томас – UTM : по λ были также подтверждены Полом Томасом в 1952 году: Расширения Крюгера они легко доступны у Снайдера. Его проекционные формулы, полностью эквивалентные тем, что представил Редфирн, были приняты Агентством оборонных карт США в качестве основы для UTM . Они также включены в GEOTRANS. конвертер координат, предоставленный Управлением геоматики Национального агентства геопространственной разведки США.
• Другие страны : Серия Redfearn является основой для геодезического картирования во многих странах: Австралии, Германии, Канаде, Южной Африке и это лишь некоторые из них. (Список приведен в Приложении A.1 к Stuifbergen 2009.)
• Было предложено множество вариантов серии Redfearn, но значение имеют только те, которые приняты национальными картографическими агентствами. Пример модификаций, не имеющих этого статуса, см. в разделе «Поперечный Меркатор: серия Bowring» ). Все подобные модификации затмились мощью современных компьютеров и развитием n -серий высокого порядка, описанных ниже. Точные ряды Редферна, хотя и низкого порядка, нельзя игнорировать, поскольку они все еще закреплены в квазиюридических определениях OSGB, UTM и т. д.

Серия Крюгера – n была реализована (до четвертого порядка по n ) в следующих странах.

• Франция
• Финляндия
• Швеция
• Япония

Версии серии Krüger– n более высокого порядка были реализованы до седьмого порядка компаниями Engsager и Poder. и десятый порядок от Кавасе. Помимо расширения ряда для преобразования широты в конформную широту, Карни реализовал ряд до тридцатого порядка.

Точный Гаусс – Крюгер и точность усеченного ряда.

Точное решение Э. Х. Томпсона описано Л. П. Ли. Он построен на основе эллиптических функций (определенных в главах 19 и 22 NIST). справочник), который можно вычислить с произвольной точностью с использованием алгебраических вычислительных систем, таких как Maxima. Такая реализация точного решения описана Карни (2011).

Точное решение является ценным инструментом при оценке точности усеченных рядов n и λ. Например, исходная серия Крюгера– п 1912 г. очень выгодно отличается от точных значений: они отличаются менее чем на 0,31 мкм в пределах 1000 км от центрального меридиана и менее чем на 1 мм за пределами 6000 км. С другой стороны, разница между рядами Редферна, используемыми GEOTRANS, и точным решением составляет менее 1 мм при разнице по долготе в 3 градуса, что соответствует расстоянию в 334 км от центрального меридиана на экваторе, но всего лишь в 35 км. км на северной границе зоны UTM. Таким образом, серия Крюгера –n намного лучше серии Редферна λ.

Серия Redfearn становится намного хуже по мере расширения зоны. Карни приводит Гренландию как поучительный пример. Длинный тонкий массив суши сосредоточен на 42 западной широте и в самом широком месте находится не более чем в 750 км от этого меридиана, а размах по долготе достигает почти 50 градусов. Точность измерения Krüger– n составляет 1 мм, но версия серии Krüger– λ от Redfearn имеет максимальную погрешность в 1 километр.

Собственный ряд Карни 8-го порядка (по n ) имеет точность до 5 нм в пределах 3900 км от центрального меридиана.

Формулы сферического поперечного Меркатора

Возвращение к сферической нормали Меркатора

Нормальный аспект касательной цилиндрической проекции сферы

Нормальные цилиндрические проекции описываются относительно цилиндра, касательного экватора с осью вдоль полярной оси сферы. Цилиндрические проекции строятся так, что все точки меридиана проецируются на точки с $x=a\lambda$ (где $a$ — радиус Земли ) и $y$ является заданной функцией $\phi$. Для касательной нормальной проекции Меркатора (уникальные) формулы, гарантирующие конформность:

$x=a\lambda \,,\qquad y=a\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]={\frac {a}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}\right].$

Конформность подразумевает, что масштаб k точечный не зависит от направления: он является функцией только широты:

$k(\varphi )=\sec \varphi .\,$

Для секущей версии проекции в правой части всех этих уравнений стоит коэффициент k ₀ равен k ₀ : это гарантирует, что масштаб на экваторе .

Нормальная и поперечная сетки

Поперечная сетка Меркатора

На рисунке слева показано, как поперечный цилиндр соотносится с обычной сеткой на сфере. Она касается некоторого произвольно выбранного меридиана и ее ось перпендикулярна оси сферы. Определенные на рисунке оси x и y относятся к экватору и центральному меридиану точно так же, как и для нормальной проекции. На рисунке справа повернутая сетка связана с поперечным цилиндром так же, как нормальный цилиндр связан со стандартной сеткой. «Эватор», «полюса» (восточный и западный) и «меридианы» повернутой сетки отождествляются с выбранным центральным меридианом, точками на экваторе на 90 градусов к востоку и западу от центрального меридиана и большими кругами, проходящими через эти точки.

Поперечная геометрия Меркатора

Положение произвольной точки ( φ , λ ) на стандартной сетке также можно определить через углы на повернутой сетке: φ′ (угол M′CP) — эффективная широта и − λ′ (угол M′CO). становится эффективной долготой. (Знак минус необходим для того, чтобы ( φ′ , λ′ ) относились к повернутой сетке так же, как ( φ , λ ) относились к стандартной сетке). Декартовы оси ( x' , y' ) связаны с повернутой сеткой точно так же, как оси ( x , y ) связаны со стандартной сеткой.

Касательная поперечная проекция Меркатора определяет координаты ( x′ , y′ ) через − λ′ и φ′ по формулам преобразования касательной нормальной проекции Меркатора:

$x'=-a\lambda '\,\qquad y'={\frac {a}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi '}{1-\sin \varphi '}}\right].$

Это преобразование проецирует центральный меридиан в прямую линию конечной длины и в то же время проецирует большие круги, проходящие через E и W (включая экватор), в бесконечные прямые линии, перпендикулярные центральному меридиану. Истинные параллели и меридианы (кроме экватора и центрального меридиана) не имеют простой связи с повернутой сеткой и проецируются в сложные кривые.

Связь между сетками

Углы двух координатных сеток связаны с помощью сферической тригонометрии в сферическом треугольнике NM'P, определяемом истинным меридианом, проходящим через начало координат, OM'N, истинным меридианом, проходящим через произвольную точку, MPN, и большим кругом WM'PE. Результаты:

${\begin{aligned}\sin \varphi '&=\sin \lambda \cos \varphi ,\\\tan \lambda '&=\sec \lambda \tan \varphi .\end{aligned}}$

Формулы прямого преобразования

Прямые формулы, дающие декартовы координаты ( x , y ), следуют непосредственно из вышесказанного. Установка x = y′ и y = − x′ (и восстановление коэффициентов k ₀ для учета секущих версий)

${\begin{aligned}x(\lambda ,\varphi )&={\frac {1}{2}}k_{0}a\ln \left[{\frac {1+\sin \lambda \cos \varphi }{1-\sin \lambda \cos \varphi }}\right],\\[5px]y(\lambda ,\varphi )&=k_{0}a\arctan \left[\sec \lambda \tan \varphi \right],\end{aligned}}$

Приведенные выше выражения даны в Ламберте. а также (без выводов) у Снайдера, Неправильный и Осборн (с полной информацией).

Формулы обратного преобразования

Обращение приведенных выше уравнений дает

${\begin{aligned}\lambda (x,y)&=\arctan \left[\sinh {\frac {x}{k_{0}a}}\sec {\frac {y}{k_{0}a}}\right],\\[5px]\varphi (x,y)&=\arcsin \left[{\mbox{sech}}\;{\frac {x}{k_{0}a}}\sin {\frac {y}{k_{0}a}}\right].\end{aligned}}$

Шкала точек

В терминах координат относительно повернутой сетки коэффициент масштабирования точки определяется как k = sec φ' : это может быть выражено либо через географические координаты, либо через координаты проекции:

${\begin{aligned}k(\lambda ,\varphi )&={\frac {k_{0}}{\sqrt {1-\sin ^{2}\lambda \cos ^{2}\varphi }}},\\[5px]k(x,y)&=k_{0}\cosh \left({\frac {x}{k_{0}a}}\right).\end{aligned}}$

Второе выражение показывает, что масштабный коэффициент является просто функцией расстояния от центрального меридиана проекции. Типичное значение масштабного коэффициента составляет k ₀ = 0,9996, так что k = 1, когда x составляет примерно 180 км. Когда x составляет примерно 255 км и k ₀ = 1,0004: масштабный коэффициент находится в пределах 0,04% от единицы в полосе шириной около 510 км.

Конвергенция

Угол схождения

Угол сходимости γ в точке проекции определяется углом, измеренным от проецируемого меридиана, который определяет истинный север, до линии сетки постоянного x , определяющей север сетки. Следовательно, γ положителен в квадранте к северу от экватора и к востоку от центрального меридиана, а также в квадранте к югу от экватора и к западу от центрального меридиана. Схождение необходимо добавить к азимуту сетки, чтобы получить азимут истинного севера. Для секущего поперечного Меркатора сходимость может быть выражена либо по географическим координатам, либо по координатам проекции:

${\begin{aligned}\gamma (\lambda ,\varphi )&=\arctan(\tan \lambda \sin \varphi ),\\[5px]\gamma (x,y)&=\arctan \left(\tanh {\frac {x}{k_{0}a}}\tan {\frac {y}{k_{0}a}}\right).\end{aligned}}$

Формулы эллипсоида поперечного Меркатора

См. Также: Универсальная поперечная система координат Меркатора § Упрощенные формулы

Подробности реальных реализаций

• Ряд Гаусса-Крюгера по долготе: Поперечный Меркатор: ряд Редфирна
• Ряд Гаусса-Крюгера в n (третье сглаживание): Поперечный Меркатор: ряд сглаживания
• Точная (замкнутая форма) поперечная проекция Меркатора: Поперечный Меркатор: точное решение
• Ряд Редферна четвертого порядка по кратким формулам (пример): Поперечный Меркатор: ряд Боуринга

Координаты, сетки, восточные и северные направления

Координаты проекции, возникающие в результате различных разработок эллипсоидального поперечного Меркатора, представляют собой декартовы координаты, так что центральный меридиан соответствует оси x , а экватор соответствует оси y . И x, и y определены для всех значений λ и φ . Проекция не определяет сетку: сетка — это независимая конструкция, которую можно определить произвольно. На практике национальные реализации и UTM используют сетки, выровненные по декартовым осям проекции, но они имеют конечную протяженность, а начало координат не обязательно совпадает с пересечением центрального меридиана с экватором.

Истинное начало сетки всегда берется на центральном меридиане, поэтому координаты сетки будут отрицательными к западу от центрального меридиана. Чтобы избежать таких отрицательных координат сетки, стандартная практика определяет ложное начало координат к западу (и, возможно, к северу или югу) от начала координат сетки: координаты относительно ложного начала координат определяют восточное и северное направления , которые всегда будут положительными. Ложное смещение на восток , E ₀ , — это расстояние от истинного начала координат сетки к востоку от ложного начала. Ложное северное положение N 0 _— это расстояние от истинного начала координат к северу от ложного начала координат. Если истинное начало сетки находится на широте φ ₀ центрального меридиана, а масштабный коэффициент центрального меридиана равен k _0, то эти определения дают восточное и северное смещение по формуле:

${\begin{aligned}E&=E_{0}+x(\lambda ,\varphi ),\\[5px]N&=N_{0}+y(\lambda ,\varphi )-k_{0}m(\varphi _{0}).\end{aligned}}$

Термины «восток» и «север» не означают строгое направление на восток и север. Линии сетки поперечной проекции, за исключением осей X и Y , не проходят с севера на юг или с востока на запад, как это определено параллелями и меридианами. Это видно из представленных выше глобальных прогнозов. Вблизи центрального меридиана различия невелики, но измеримы. Разница между линиями сетки север-юг и истинными меридианами представляет собой угол схождения .

См. также

• Список картографических проекций
• Проекция Меркатора
• Масштаб (карта)
• Косая проекция Меркатора

Внешние ссылки

• Проекции, использованные для иллюстрации этой статьи, были подготовлены с использованием Geocart, доступного на сайте Mapthematics Geocart 3.