Граница Минковского

В алгебраической теории чисел граница Минковского дает верхнюю границу нормы идеалов, которые необходимо проверить, чтобы определить класса числового поля K. номер Он назван в честь математика Германа Минковского .

Определение

Пусть D — дискриминант поля, n — степень K над $\mathbb {Q}$ , и $2r_{2}=n-r_{1}$ — количество комплексных вложений , где $r_{1}$ — число реальных вложений . Тогда каждый класс в группе идеальных классов K содержит целый идеал нормы , не превышающей границу Минковского.

M_{K}={\sqrt {|D|}}\left({\frac {4}{\pi }}\right)^{r_{2}}{\frac {n!}{n^{n}}}\ .

Константа Минковского для поля K и есть эта граница M _K . ^{[ 1 ]}

Характеристики

Поскольку число целых идеалов данной нормы конечно, непосредственным следствием этого является конечность числа классов: ^{[ 1 ]} и далее, группа классов идеалов порождается простыми идеалами нормы не выше M _K .

Границу Минковского можно использовать для получения нижней оценки дискриминанта поля K при заданных n , r ₁ и r ₂ . Поскольку целостный идеал имеет норму не менее одной, имеем 1 ⩽ M _K , так что

{\sqrt {|D|}}\geq \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}{\frac {n^{n}}{n!}}\geq \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}{\frac {n^{n}}{n!}}\ .

Для n не менее 2 легко показать, что нижняя граница больше 1, поэтому мы получаем Теорему Минковского о том, что дискриминант каждого числового поля, кроме Q , нетривиален. Это означает, что поле рациональных чисел не имеет неразветвленного расширения .

Доказательство

Результат является следствием теоремы Минковского .

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Похст и Зассенхаус (1989) стр.384

Кох, Гельмут (1997). Алгебраическая теория чисел . Энцикл. Математика. наук. Том. 62 (2-е издание 1-го изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-63003-1 . Збл 0819.11044 .
Ланг, Серж (1994). Алгебраическая теория чисел . Тексты для аспирантов по математике . Том. 110 (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94225-4 . Артикул 0811.11001 .
Похст, М.; Зассенхаус, Х. (1989). Алгоритмическая алгебраическая теория чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 30. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-33060-2 . Збл 0685.12001 .

Внешние ссылки

«Использование константы Минковского для поиска номера класса» . ПланетаМатематика .
Стивенхаген, Питер. Цифровые кольца .
Минковский связан на секретном семинаре по ведению блога

[PZ384-1] Jump up to: ^а ^б Похст и Зассенхаус (1989) стр.384

[ 1 ]