Полиномиальное идентификационное кольцо

В теории колец , разделе математики , кольцо R является полиномиальным единичным кольцом > 0 существует , если для некоторого N элемент P ≠ 0 свободной алгебры , Z ⟨ X ₁ , X ₂ , ..., X _N ⟩ над кольцом целых чисел от N переменных X ₁ , X ₂ , ..., X _N таких, что

P(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{N})=0

для всех N - кортежей r ₁ , r ₂ , ..., r _N, взятых из R .

Строго говоря, X _i здесь являются «некоммутативными неопределенными», и поэтому «полиномиальное тождество» является легким злоупотреблением языком , поскольку «полиномиальный» здесь означает то, что обычно называют «некоммутативным многочленом». Аббревиатура PI-кольцо является общепринятой. В более общем смысле можно использовать свободную алгебру над любым кольцом S , что дает понятие PI-алгебры .

Если степень многочлена P определяется обычным способом, то многочлен P называется однократным , если хотя бы одно из его членов высшей степени имеет коэффициент, равный 1.

Каждое коммутативное кольцо является PI-кольцом, удовлетворяющим полиномиальному тождеству XY − YX = 0. Поэтому PI-кольца обычно рассматриваются как близкие обобщения коммутативных колец . Если кольцо имеет характеристику p, отличную от нуля, то оно удовлетворяет полиномиальному тождеству pX = 0. Чтобы исключить такие примеры, иногда определяют, что PI-кольца должны удовлетворять унитарному полиномиальному тождеству. ^[1]

Примеры

Например, если R — коммутативное кольцо, то оно является PI-кольцом: это верно для

P(X_{1},X_{2})=X_{1}X_{2}-X_{2}X_{1}=0~

Кольцо матриц размера 2 × 2 над коммутативным кольцом удовлетворяет тождеству Холла

(xy-yx)^{2}z=z(xy-yx)^{2}

Это тождество использовал М. Холл ( 1943 ), но было обнаружено ранее Вагнером ( 1937 ).

Большую роль в теории играет стандартное тождество s _N длины N , обобщающее пример, приведенный для коммутативных колец ( N = 2). Он выводится из формулы Лейбница для определителей

\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{N}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{N}a_{i,\sigma (i)}

путем замены каждого произведения в слагаемом произведением X _i в порядке, заданном перестановкой σ . Другими словами, каждый из N ! заказы суммируются, а коэффициент равен 1 или −1 в зависимости от подписи .

s_{N}(X_{1},\ldots ,X_{N})=\sum _{\sigma \in S_{N}}\operatorname {sgn}(\sigma )X_{\sigma (1)}\dotsm X_{\sigma (N)}=0~

Кольцо m × m матриц размера над любым коммутативным кольцом удовлетворяет стандартному тождеству: теорема Амицура–Левицкого утверждает, что оно удовлетворяет условию s _{2 m} . Степень этого тождества оптимальна, поскольку матричное кольцо не может удовлетворять никакому моническому многочлену степени меньше 2 m .

Для поля k нулевой характеристики возьмем в качестве алгебры над счетно - бесконечномерным векторным пространством с базисом e1 _R , e2 _и , e3 _{внешней} ,... Тогда R порождается элементами этого базиса

е _я е _j знак равно - е _j е _я .

Это кольцо не удовлетворяет s _N ни для какого N и поэтому не может быть вложено ни в одно кольцо матриц. На самом деле s _N ( e ₁ , e ₂ ,..., e _N ) = N ! e ₁ e ₂ ... e _N ≠ 0. С другой стороны, это PI-кольцо, поскольку оно удовлетворяет условию [[ x , y ], z ] := xyz − yxz − zxy + zyx = 0. Достаточно проверьте это на наличие мономов в e _i . Теперь моном четной степени коммутирует с каждым элементом. Следовательно, если либо x, либо y является мономом четной степени [ x , y ] := xy − yx = 0. Если оба имеют нечетную степень, то [ x , y ] = xy − yx = 2 xy имеет четную степень и, следовательно, коммутирует. с z , то есть [[ x , y ], z ] = 0.

Характеристики

Любое подкольцо или гомоморфный образ PI-кольца является PI-кольцом.
Конечное прямое произведение PI-колец является PI-кольцом.
Прямым произведением ПИ-колец, удовлетворяющим тому же тождеству, является ПИ-кольцо.
Всегда можно предположить, что тождество, которому удовлетворяет PI-кольцо, является полилинейным .
Если кольцо конечно порождено элементами n как модуль над своим центром , то оно удовлетворяет каждому знакопеременному полилинейному многочлену степени большей, чем n . В частности, оно удовлетворяет условию s _N при N > n и, следовательно, является PI-кольцом.
Если R и S являются PI-кольцами, то их тензорное произведение по целым числам: $R\otimes _{\mathbb {Z} }S$ , также является ПИ-кольцом.
Если R кольцо матриц размера n × n с коэффициентами из R. — PI-кольцо, то таким же является и

ПИ-кольца как обобщения коммутативных колец

Среди некоммутативных колец PI-кольца удовлетворяют гипотезе Кете . Аффинные PI-алгебры над полем удовлетворяют гипотезе Куроша , Nullstellensatz и свойству цепной связи для простых идеалов .

Если R — PI-кольцо и K — подкольцо его центра такое, что R целое над K , то свойства подъема и спуска для простых идеалов R и K выполняются. Также свойство лежания над (если p — простой идеал кольца K , то существует простой идеал P кольца R такой, что $p$ минимально более $P\cap K$ ) и свойство несравнимости (если P и Q — простые идеалы кольца R и $P\subset Q$ затем $P\cap K\subset Q\cap K$ ) довольны.

Набор тождеств, которым удовлетворяет PI-кольцо

Если F := Z ⟨ X ₁ , X ₂ , ..., X _N ⟩ — свободная алгебра от N переменных и R — PI-кольцо, удовлетворяющее многочлену P от N переменных, то P находится в ядре любого гомоморфизма

\tau

: Ф

\rightarrow

Р.

Идеал , I поля F называется Т-идеалом если $f(I)\subset I$ для любого эндоморфизма f группы F .

Для данного PI-кольца R множество всех полиномиальных тождеств, которым оно удовлетворяет, является идеалом , но, более того, оно является T-идеалом. И наоборот, если I — T-идеал F то F / I — PI-кольцо, удовлетворяющее всем тождествам из I. , Предполагается, что I содержит монические полиномы, когда PI-кольца должны удовлетворять тождествам монических полиномов.

См. также

Ссылки

^ Дж. К. МакКоннелл, Дж. К. Робсон, Некоммутативные нётеровы кольца, Аспирантура по математике , Том 30

Латышев, В.Н. (2001) [1994], «ПИ-алгебра» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Форманек, Э. (2001) [1994], «Теорема Амицура – Левицкого» , Энциклопедия математики , EMS Press
Полиномиальные тождества в теории колец , Луи Холли Роуэн, Academic Press, 1980, ISBN 978-0-12-599850-5
Полиномиальные единичные кольца , Веселин С. Дренски, Эдвард Форманек, Биркхойзер, 2004, ISBN 978-3-7643-7126-5
Полиномиальные тождества и асимптотические методы , А. Джамбруно, Михаил Зайцев, Книжный магазин AMS, 2005, ISBN 978-0-8218-3829-7
Вычислительные аспекты полиномиальных тождеств , Алексей Канель-Белов, Луис Халле Роуэн, AK Peters Ltd., 2005, ISBN 978-1-56881-163-5

Дальнейшее чтение

Форманек, Эдвард (1991). Полиномиальные тождества и инварианты размера n × n матриц . Серия региональных конференций по математике. Том. 78. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0730-7 . Збл 0714.16001 .
Канель-Белов, Алексей; Роуэн, Луи Галле (2005). Вычислительные аспекты полиномиальных тождеств . Исследования по математике. Том. 9. Уэлсли, Массачусетс: А. К. Питерс. ISBN 1-56881-163-2 . Збл 1076.16018 .

Внешние ссылки

[1] Дж. К. МакКоннелл, Дж. К. Робсон, Некоммутативные нётеровы кольца, Аспирантура по математике , Том 30

[1]