Распространение (проективная геометрия)

Часто изучаемой проблемой конечной геометрии является определение способов покрытия объекта другими более простыми объектами, такими как точки, линии и плоскости. В проективной геометрии конкретным примером этой проблемы, имеющей многочисленные приложения, является определение того, может ли и как проективное пространство быть покрыто попарно непересекающимися подпространствами, имеющими одинаковую размерность; такой раздел называется распространением . В частности, расширение проективного пространства $PG(d,K)$, где $d\geq 1$ является целым числом и $K$ разделительное кольцо представляет собой совокупность $r$-мерные подпространства, для некоторых $0<r<d$ такая, что каждая точка пространства лежит ровно в одном из элементов разворота.

Спреды особенно хорошо изучены в проективных геометриях над конечными полями, хотя некоторые примечательные результаты применимы и к бесконечным проективным геометриям. В конечном случае фундаментальная работа по спредам представлена ​​в книге Андре и независимо в Брук-Бозе в связи с теорией плоскостей перевода . В этих работах показано, что распространение $r$-мерные подпространства конечного проективного пространства $PG(d,q)$ существует тогда и только тогда, когда $r+1\mid d+1$.

Развороты и плоскости перевода

Для всех целых чисел $n\geq 1$, проективное пространство $PG(2n+1,q)$ всегда имеет распространение $n$-мерные подпространства, и в этом разделе термин «распространение» относится к этому конкретному типу распространения; Разбросы этой формы могут (и часто происходят) встречаться и в бесконечных проективных геометриях. Эти развороты наиболее широко изучены в литературе в связи с тем, что каждый такой разворот можно использовать для создания плоскости перевода с использованием конструкции Андре/Брука-Бозе.

и

Позволять $\Sigma$ быть проективным пространством $PG(2n+1,K)$ для $n\geq 1$ целое число и $K$ разделительное кольцо. Регулус ​ $R$ в $\Sigma$ представляет собой совокупность попарно непересекающихся $n$-мерные подпространства со следующими свойствами:

1. $R$ содержит минимум 3 элемента
2. Каждая линия, встречающая три элемента $R$, называемая трансверсалью , соответствует каждому элементу $R$
3. Каждая точка трансверсали $R$ лежит на каком-то элементе $R$

Любые три попарно непересекающиеся $n$-мерные подпространства в $\Sigma$ лежат в единственном регулире. Распространение $S$ из $\Sigma$ является регулярным , если для любых трех различных $n$-мерные подпространства $S$, все члены определяемого ими единственного регуляра содержатся в $S$. Регулярные разбросы важны в теории плоскостей трансляции , поскольку они порождают плоскости Муфанга в целом и плоскости Дезарга в конечном случае, когда порядок объемлющего поля больше, чем $2$. Все развороты $PG(2n+1,2)$ тривиально регулярны, поскольку регуляр содержит только три элемента.

Построение регулярного разворота

Построение регулярного разворота легче всего увидеть с помощью алгебраической модели. Сдача в аренду $V$ быть $(2n+2)$-мерное векторное пространство над полем $F$, можно смоделировать $k$-мерные подпространства $PG(2n+1,F)$ используя $(k+1)$-мерные подпространства $V$; эта модель использует однородные координаты для представления точек и гиперплоскостей. Инцидентность определяется пересечением, при этом подпространства пересекаются только по нулевому вектору, который считается непересекающимся; в этой модели нулевой вектор $V$ фактически игнорируется.

Позволять $F$ быть полем и $E$ а $n$-мерное расширения поле $F$. Учитывать $V=E\oplus E$ как $2n$-мерное векторное пространство над $F$, который представляет собой модель проективного пространства $PG(2n-1,F)$ как указано выше. Каждый элемент $V$ можно записать однозначно как $(x,y)$ где $x,y\in E$. Регулярный спред задается набором $n$-мерные проективные пространства, определяемые $J(k)=\{(x,kx):x\in E\}$, для каждого $k\in E$, вместе с $J(\infty )=\{(0,y):y\in E\}$.

Построение спредов

Наборы спредов

Построение обычного спреда, описанное выше, является примером более общей конструкции спредов, в которой используется тот факт, что умножение полей представляет собой линейное преобразование над $E$ если рассматривать его как векторное пространство. С $E$ является конечным $n$-мерное расширение по $F$, линейное преобразование из $E$ самому себе может быть представлено $n\times n$ матрица с записями в $F$. — Распространенный набор это набор $S$ из $n\times n$ матрицы над $F$ со следующими свойствами:

• $S$ содержит нулевую матрицу и единичную матрицу
• Для любых двух различных матриц $X$ и $Y$ в $S$, $X-Y$ неособый
• Для каждой пары элементов $a,b\in E$, есть уникальный $X\in S$ такой, что $aX=b$

В конечном случае, когда $E$ это поле порядка $q^{n}$ ради какой-то высшей силы $q$, последнее условие эквивалентно набору спредов, содержащему $q^{n}$ матрицы. Учитывая набор спредов $S$, можно создать спред как набор $n$-мерные проективные пространства, определяемые $J(k)=\{(x,xM):x\in E\}$, для каждого $M\in S$, вместе с $J(\infty )=\{(0,y):y\in E\}$, В качестве конкретного примера следующие девять матриц представляют $GF(9)$ как матрицы 2 × 2 над $GF(3)$ и таким образом предоставить расширенный набор $AG(2,9)$.

$\left[{\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}2&0\\0&2\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}0&1\\2&0\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}0&2\\1&0\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}2&2\\2&1\end{matrix}}\right]$

Другой пример расширенного набора дает плоскость Холла порядка 9.

$\left[{\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}2&0\\0&2\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}2&2\\2&1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}0&1\\2&0\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}0&2\\1&0\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}}\right]$

Изменение спредов

Один из распространенных подходов к созданию новых разворотов — начать с обычного разворота и каким-либо образом изменить его. Представленные здесь методы являются одними из наиболее элементарных примеров этого подхода.

Распространения трехмерного пространства

Можно создавать новые спреды, начав с спреда и ища набор переключателей , подмножество его элементов, которое можно заменить альтернативным набором попарно непересекающихся элементов. подпространства правильной размерности. В $PG(3,K)$, регуляр образует множество переключений, так как множество трансверсалей правила $R$ также образуют регуляр, называемый противоположным регуляром $R$. Удаление линий регуляра в развороте и замена их противоположным регуляром приводит к созданию нового разворота, который часто не изоморфен оригиналу. Этот процесс является частным случаем более общего процесса, называемого деривацией или чистой заменой .

Начиная с регулярного распространения $PG(3,q)$ и изменение любого регула дает разброс, который дает плоскость Холла . В более общем смысле, этот процесс можно применять независимо к любому набору правил в регулярном спреде, что дает субрегулярный спред. ; результирующая плоскость сдвига называется субрегулярной плоскостью . Плоскости Андре образуют специальный подкласс субрегулярных плоскостей, простейшими примерами которых являются плоскости Холла , возникающие в результате замены одного регулярного элемента в регулярном развороте.

Были построены более сложные коммутационные наборы. Бруен исследовал концепцию цепочки правил в регулярном распространении $PG(3,q)$, $q$ странно, а именно набор $(q+3)/2$ правила, которые попарно пересекаются ровно в двух строках, так что каждая линия, содержащаяся в правиле цепочки, содержится ровно в двух различных правилах цепочки. Брюн построил пример цепи в регулярном распространении $PG(3,5)$, и показал, что его можно заменить, взяв объединение ровно половины линий из противоположного регуляра каждого регуляра в цепочке. С тех пор в литературе появилось множество примеров цепей Брюна, а Хеден показал, что любая цепь Брюэна заменяема противоположными полуправилами. Известно, что цепи существуют в регулярном распространении $PG(3,q)$ для всех нечетных простых степеней $q$ до 37, кроме 29, и, как известно, не существует для $q\in \{29,41,43,47,49\}$. Предполагается, что дополнительных цепочек Брюна не существует.

Бейкер и Эберт обобщил концепцию цепочки до гнезда , которое представляет собой набор правил в регулярном развороте, такой, что каждая строка, содержащаяся в правиле гнезда, содержится ровно в двух различных правилах гнезда. В отличие от цепочки, два регулирования в гнезде не обязаны встречаться в паре линий. В отличие от цепей, гнездо в обычном развороте не подлежит замене. однако известно несколько бесконечных семейств сменных гнезд.

Распространения более высокого измерения

В более высоких измерениях регуляр нельзя перевернуть, потому что трансверсали не имеют правильного размера. Существуют аналоги правил, называемые нормальными поверхностями , которые можно обратить вспять. более высокой размерности Плоскости Андре могут быть получены из разворотов, полученных путем обращения этих нормальных поверхностей, а также существуют аналоги субрегулярных разворотов, которые не приводят к появлению плоскостей Андре .

Геометрические техники

Известно несколько способов построения разворотов. $PG(3,q)$ от других геометрических объектов без привязки к начальному регулярному развороту. Некоторые хорошо изученные подходы к этому приведены ниже.

Стаи квадратных шишек

В $PG(3,q)$, квадратичный конус представляет собой объединение множества прямых, содержащих неподвижную точку P ( вершину ) и точку на конике в плоскости, не проходящей через P. Поскольку коника имеет $q+1$ точки, квадратичный конус имеет $q(q+1)+1$ точки. Как и в случае традиционных геометрических конических сечений , плоскость $PG(3,q)$ может встречаться с квадратичным конусом либо в точке, либо в конике, либо в прямой, либо в паре прямых. Стая квадратичного конуса – это совокупность $q$ плоскости, пересечения которых с квадратичным конусом являются попарно непересекающимися кониками. Классическое построение стаи – это выбор лески. $m$ которое не соответствует квадратичному конусу, и возьмем $q$ самолеты через $m$ не содержащие вершину конуса; такое стадо называется линейным .

Фишер и Тас показать, как построить распространение $PG(3,q)$ из скопления квадратичного конуса, используя соответствие Клейна , и покажите, что результирующий разброс является регулярным тогда и только тогда, когда исходное скопление линейно. Известно множество бесконечных семейств стай квадратичных конусов, а также многочисленные спорадические примеры.

Всякий разворот, возникающий из группы квадратичных конусов, есть объединение $q$ правила, которые все сходятся на фиксированной линии $m$. Как и в случае с обычным спредом, любой из этих правил можно заменить противоположным, чтобы создать несколько потенциально новых спредов.

Гиперболические расслоения

В $PG(3,q)$ гиперболическое расслоение — это разбиение пространства на $q-1$ попарно непересекающиеся гиперболические квадрики и две прямые, не пересекающиеся со всеми квадриками и друг с другом. Поскольку гиперболическая квадрика состоит из точек, покрытых регуляром и его противоположностью, гиперболическое расслоение дает $2^{q-1}$ разные спреды.

Все развороты, дающие плоскости Андре , включая регулярный разворот, можно получить из гиперболического расслоения (в частности, алгебраического карандаша, порожденного любыми двумя квадриками), как это сформулировал Андре. Используя замену гнезда, Эберт нашел семейство разворотов, в которых было обнаружено гиперболическое расслоение. Бейкер и др. дать явный пример конструкции гиперболического расслоения. Гораздо более надежный источник гиперболических расслоений был обнаружен Бейкером и др., где авторы установили соответствие между группами квадратичных конусов и гиперболическими расслоениями; Интересно, что развороты, порожденные стадом квадратичного конуса, обычно не изоморфны разворотам, порожденным соответствующим гиперболическим расслоением.

Разделы субгеометрии

Хиршфельд и Тас обратите внимание, что для любого нечетного целого числа $n\geq 3$, раздел $PG(n-1,q^{2})$ на подгеометрии, изоморфные $PG(n-1,q)$ приводит к распространению $PG(2n-1,q)$, где каждая подгеометрия разбиения соответствует правилу нового разворота.

«Классические» разбиения субгеометрии $PG(n-1,q^{2})$ может быть сгенерировано с использованием суборбит цикла Зингера, но это просто генерирует регулярный разброс. Эфф опубликовал раздел неклассической субгеометрии, а именно раздел $PG(2,9)$ на 7 экземпляров $PG(2,3)$, допускающие циклическую группу, переставляющую подплоскости. Бейкер и др. предоставить несколько бесконечных семейств разбиений $PG(2,q^{2})$ на подплоскости с тем же циклическим групповым действием.

Частичные спреды

Частичное расширение проективного пространства $PG(d,K)$ представляет собой набор попарно непересекающихся $r$-мерные подпространства в пространстве; следовательно, разворот — это всего лишь частичный разворот, в котором покрыта каждая точка пространства. Частичный разворот называется полным или максимальным, если не существует более крупного частичного разворота, содержащего его; эквивалентно, нет $r$-мерное подпространство, не пересекающееся со всеми членами частичного распространения. Как и в случае с разворотами, наиболее хорошо изученным случаем являются частичные развороты линий конечного проективного пространства. $PG(3,q)$, где полный спред имеет размер $q^{2}+1$. Сакристан показали, что любое частичное распространение линий в $PG(3,q)$ размером больше, чем $q^{2}-{\sqrt {q}}$ не может быть полным; действительно, это должно быть подмножество уникального распространения. Для нижней оценки Брюен показали, что полное частичное распространение линий в $PG(3,q)$ с размером максимум $q+{\sqrt {q}}$ строки не могут быть полными; обязательно найдется строка, которую можно будет добавить к частичному развороту такого размера. Брюен также приводит примеры полных частичных разворотов линий в $PG(3,q)$ с размерами $q^{2}-q+1$ и $q^{2}-q+2$ для всех $q>2$.

классических

Все классические полярные пространства вложены в некоторое проективное пространство. $PG(d,K)$ как набор вполне изотропных подпространств полуторалинейной в векторном пространстве , или квадратичной формы лежащем в основе проективного пространства. Особенно интересный класс частичных спредов $PG(d,K)$ — это те, которые состоят строго из максимальных подпространств классического полярного пространства, вложенных в проективное пространство. Такие частичные развороты, охватывающие все точки полярного пространства, называются разворотами полярного пространства.

С точки зрения теории плоскостей трансляции симплектическое полярное пространство представляет особый интерес, поскольку его набор точек представляет собой все точки в $PG(2n+1,K)$, а его максимальные подпространства имеют размерность $n$. Следовательно, расширение симплектического полярного пространства также является расширением всего проективного пространства и может использоваться, как отмечалось выше, для создания плоскости перевода. Известно несколько примеров симплектических спредов; см. Болл и др.