Регул (геометрия)

Струнная модель части регуляра и ее противоположности для отображения правил на однолистном гиперболоиде.

В трехмерном пространстве регуляр R — это набор косых линий , каждая точка которых находится на трансверсали пересекающей элемент R только один раз, и такая, что каждая точка трансверсали лежит на прямой из R. ,

Множество трансверсалей R образует противоположный регуляр S . В $\mathbb {R} ^{3}$ объединение R ∪ S — линейчатая поверхность гиперболоида однополостного .

Три наклонные линии определяют регуляр:

Место пересечения прямых с тремя заданными косыми линиями называется регуляром . Теорема Галлуччи показывает, что линии, встречающиеся с образующими регулярного правила (включая исходные три линии), образуют другой «ассоциированный» регуляр, так что каждый генератор одного правила встречается с каждым генератором другого. Два правила — это две системы образующих линейчатой ​​квадрики .

По словам Шарлотты Скотт , «Регул дает чрезвычайно простые доказательства свойств коники... теорем Шаля, Брианшона и Паскаля ...»

В конечной геометрии PG(3, q ) регуляр имеет q + 1 прямую. Например, в 1954 году Уильям Эдж описал пару правил по четыре линии каждая в PG(3,3).

Роберт Дж. Т. Белл описал, как регуляр создается движущейся прямой линией. Во-первых, гиперболоид ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\ =\ 1$ учитывается как

$\left({\frac {x}{a}}+{\frac {z}{c}}\right)\left({\frac {x}{a}}-{\frac {z}{c}}\right)\ =\ \left(1+{\frac {y}{b}}\right)\left(1-{\frac {y}{b}}\right).$

Тогда две системы линий, параметризованные λ и µ, удовлетворяют этому уравнению:

${\frac {x}{a}}+{\frac {z}{c}}\ =\ \lambda \left(1+{\frac {y}{b}}\right),\quad {\frac {x}{a}}-{\frac {z}{c}}\ =\ {\frac {1}{\lambda }}\left(1-{\frac {y}{b}}\right)$ и

${\frac {x}{a}}-{\frac {z}{c}}\ =\ \mu \left(1+{\frac {y}{b}}\right),\quad {\frac {x}{a}}+{\frac {z}{c}}\ =\ {\frac {1}{\mu }}\left(1-{\frac {y}{b}}\right).$

Ни один из членов первого набора строк не является членом второго. При изменении λ или μ генерируется гиперболоид. Два набора представляют собой регуляр и его противоположность. Используя аналитическую геометрию , Белл доказывает, что никакие два образующих в множестве не пересекаются и что любые два образующих в противоположных правилах пересекаются и образуют плоскость, касающуюся гиперболоида в этой точке. (стр. 155).

См. также

• Распространение (проективная геометрия)
• Плоскость перевода § Регулы и обычные спреды

Ссылки

• Х. Г. Фордер (1950) Геометрия , стр. 118, Университетская библиотека Хатчинсона.