геометрия Галуа

Геометрия Галуа (названная так в честь французского математика XIX века Эвариста Галуа ) — это раздел конечной геометрии , который занимается алгебраической и аналитической геометрией над конечным полем (или полем Галуа ). ^[1] В более узком смысле геометрию Галуа можно определить как проективное пространство над конечным полем. ^[2]

Объектами исследования являются аффинные и проективные пространства над конечными полями и различные структуры, содержащиеся в них. В частности, дуги , овалы , гиперовалы , унитали , блокирующие множества , овоиды , шапочки, развороты и все конечные аналоги структур, встречающихся в неконечных геометриях. Векторные пространства, определенные над конечными полями, играют важную роль, особенно в методах построения.

Проективные пространства над конечными полями [ править ]

Обозначения [ править ]

Хотя иногда используется общее обозначение проективной геометрии , чаще всего проективные пространства над конечными полями обозначают как $PG(n, q)$ , где $n$ — «геометрическая» размерность (см. ниже), а $q$ — порядок конечное поле (или поле Галуа) $GF(q)$ , которое должно быть целым числом, являющимся простым числом или степенью простого числа.

Геометрическая размерность в приведенных выше обозначениях относится к системе , в которой линии одномерны, плоскости двухмерны, точки 0-мерны и т. д. Модификатор, иногда используется термин проективный вместо геометрического , необходим, поскольку это понятие Размерность отличается от концепции, используемой для векторных пространств (то есть количества элементов в базисе). Обычно наличие двух разных концепций с одинаковым названием не вызывает особых трудностей в отдельных областях из-за контекста, но в этом предмете важную роль играют как векторные, так и проективные пространства, и весьма вероятна путаница. Понятие векторного пространства иногда называют алгебраической размерностью. ^[3]

Строительство [ править ]

Пусть $V = V(n + 1, q)$ обозначает векторное пространство (алгебраической) размерности $n + 1$ , определенное над конечным полем $GF(q)$ . Проективное пространство $PG(n, q)$ состоит из всех векторных подпространств положительной (алгебраической) размерности $V$ . Альтернативный способ рассмотрения конструкции состоит в том, чтобы определить точки PG $(n, q)$ как классы эквивалентности ненулевых векторов $V$ в соответствии с отношением эквивалентности , согласно которому два вектора эквивалентны, если один из них скалярно кратен другому. Затем из точек строятся подпространства с использованием определения линейной независимости наборов точек.

Подпространства [ править ]

Векторное подпространство алгебраической размерности $d + 1$ пространства $V$ является (проективным) подпространством $PG(n, q)$ геометрической размерности $d$ . Проективным подпространствам даны общие геометрические имена; точки, линии, плоскости и твердые тела являются 0,1,2 и 3-мерными подпространствами соответственно. Все пространство представляет собой $n$ -мерное подпространство, а ( $n - 1$ )-мерное подпространство называется гиперплоскостью (или простым числом).

Число векторных подпространств алгебраической размерности $d$ в векторном пространстве $V(n, q)$ определяется гауссовым биномиальным коэффициентом ,

\left[{\begin{matrix}n\\d\end{matrix}}\right]_{q}={\frac {(q^{n}-1)(q^{n}-q)\cdots (q^{n}-q^{d-1})}{(q^{d}-1)(q^{d}-q)\cdots (q^{d}-q^{d-1})}}.

Следовательно, количество $k$ -мерных проективных подпространств в $PG(n, q)$ определяется выражением

\left[{\begin{matrix}n+1\\k+1\end{matrix}}\right]_{q}={\frac {(q^{n+1}-1)(q^{n+1}-q)\cdots (q^{n+1}-q^{k})}{(q^{k+1}-1)(q^{k+1}-q)\cdots (q^{k+1}-q^{k})}}.

Так, например, количество строк ( $k$ = 1) в PG(3,2) равно

\left[{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right]_{2}={\frac {(2^{4}-1)(2^{4}-2)}{(2^{2}-1)(2^{2}-2)}}={\frac {(15)(14)}{(3)(2)}}=35.

Отсюда следует, что общее количество точек ( $k$ = 0) $P = PG(n, q)$ равно

\left[{\begin{matrix}n+1\\1\end{matrix}}\right]_{q}={\frac {(q^{n+1}-1)}{(q-1)}}=q^{n}+q^{n-1}+\cdots +q+1.

Это также равно количеству гиперплоскостей $P$ .

Количество линий, проходящих через точку $P,$ можно вычислить как $q^{n-1}+q^{n-2}+\cdots +q+1$ и это также число гиперплоскостей, проходящих через фиксированную точку. ^[4]

Пусть $U$ и $W$ — подпространства геометрии Галуа $P = PG(n, q)$ . Пересечение $U \cap W$ является подпространством $P$ , но теоретико-множественное объединение может им не быть. Соединение , этих подпространств, обозначаемое $< U, W >$ , является наименьшим подпространством $P$ которое содержит как $U$ так и $W.$ , Размеры соединения и пересечения этих двух подпространств связаны формулой:

|<U,W>|=|U|+|W|-|U\cap W|.

Координаты [ править ]

Что касается фиксированного базиса, каждый вектор в $V$ однозначно представлен ( $n + 1$ )-кортежом элементов $GF(q)$ . Проективная точка — это класс эквивалентности векторов, поэтому одной и той же точке соответствует множество разных координат (векторов). Однако все они связаны друг с другом, поскольку каждое из них является ненулевым скалярным кратным других. Это порождает концепцию однородных координат, используемых для представления точек проективного пространства.

История [ править ]

Джино Фано был одним из первых авторов в области геометрии Галуа. В своей статье 1892 г. ^[5] о доказательстве независимости своего набора аксиом для проективного n -пространства , ^[6]среди прочего, он рассматривал последствия равенства точки четвертой гармоники ее сопряженной. Это приводит к конфигурации из семи точек и семи линий, содержащихся в конечном трехмерном пространстве с 15 точками, 35 линиями и 15 плоскостями, в котором каждая линия содержит только три точки. ^[5]^: 114Все плоскости в этом пространстве состоят из семи точек и семи линий и теперь известны как плоскости Фано . Фано продолжил описание геометрии Галуа произвольной размерности и простых порядков.

Джордж Конвелл дал раннее применение геометрии Галуа в 1910 году, когда он охарактеризовал решение проблемы школьницы Киркмана как разделение наборов косых линий в PG(3,2) , трехмерной проективной геометрии над полем Галуа GF(2). . ^[7] Подобно методам геометрии линий в пространстве над полем характеристики 0 , Конвелл использовал координаты Плюккера в PG(5,2) и идентифицировал точки, представляющие линии в PG(3,2), как точки на квадрике Клейна .

В 1955 году Беньямино Сегре охарактеризовал овалы для q нечетного числа. Теорема Сегре утверждает, что в геометрии Галуа нечетного порядка (то есть проективной плоскости, определенной над конечным полем нечетной характеристики ) каждый овал является коникой . Этому результату часто приписывают то, что геометрия Галуа стала важной областью исследований. На Международном математическом конгрессе 1958 года Сегре представил обзор известных к тому времени результатов в геометрии Галуа.

См. также [ править ]

Геометрия падения

Примечания [ править ]

^ СпрингерСсылка
^ «Проективные пространства над конечным полем, также известные как геометрии Галуа, ...», ( Хиршфельд и Тас 1992 )
^ Есть авторы, которые используют термин ранг для обозначения алгебраической размерности. Авторы, которые делают это, часто просто используют размерность при обсуждении геометрических размеров.
^ Багспахер и Розенбаум 1998 , стр. 24-25.
^ Перейти обратно: ^а ^б Фано, Г. (1892), «Об основных постулатах проективной геометрии» , Giornale di Matematiche , 30 : 106–132.
^ Коллино, Конте и Верра 2013 , с. 6
^ Джордж М. Конвелл (1910) «Трехмерный PG (3,2) и его группы», Анналы математики 11: 60–76 дои : 10.2307/1967582

Ссылки [ править ]

Бойтельспехер, Альбрехт; Розенбаум, Ют (1998), Проективная геометрия / От основ к приложениям , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-48364-3
Коллино, Альберто; Конте, Альберто; Верра, Алессандро (2013). «О жизни и научной деятельности Джино Фано». arXiv : 1311.7177 .
Де Бёль, Ян; Сторме, Лео (2011), Текущие темы исследований в области геометрии Галуа , Nova Science Publishers, ISBN 978-1-61209-523-3
Хиршфельд, JWP (1979), Проективная геометрия над конечными полями , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850295-1 , подчеркивая размеры один и два. {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
Хиршфельд, JWP (1985), Конечные проективные пространства трех измерений , Oxford University Press , ISBN 0-19-853536-8 , размерность 3. {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
Хиршфельд, JWP ; Тас, Дж. А. (1992), Общая валлийская геометрия , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853537-9 , рассматривая общий размер. {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

Внешние ссылки [ править ]

Геометрия Галуа в Математической энциклопедии, SpringerLink

[1] СпрингерСсылка

[2] «Проективные пространства над конечным полем, также известные как геометрии Галуа, ...», ( Хиршфельд и Тас 1992 )

[3] Есть авторы, которые используют термин ранг для обозначения алгебраической размерности. Авторы, которые делают это, часто просто используют размерность при обсуждении геометрических размеров.

[4] Багспахер и Розенбаум 1998 , стр. 24-25.

[Fano1-5] Перейти обратно: ^а ^б Фано, Г. (1892), «Об основных постулатах проективной геометрии» , Giornale di Matematiche , 30 : 106–132.

[6] Коллино, Конте и Верра 2013 , с. 6

[7] Джордж М. Конвелл (1910) «Трехмерный PG (3,2) и его группы», Анналы математики 11: 60–76 дои : 10.2307/1967582

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]