ПГ(3,2)
В конечной геометрии PG (3, 2) — наименьшее трёхмерное проективное пространство . Его можно рассматривать как продолжение плоскости Фано .Он имеет 15 точек, 35 линий и 15 плоскостей. [1] Он также обладает следующими свойствами: [2]
- Каждая точка содержится в 7 линиях и 7 плоскостях.
- Каждая линия содержится в 3 плоскостях и содержит 3 точки.
- Каждая плоскость содержит 7 точек и 7 линий.
- Каждая плоскость изоморфна плоскости Фано.
- Любая пара различных плоскостей пересекается по прямой.
- Прямая и плоскость, не содержащая данную прямую, пересекаются ровно в одной точке.
Конструкции [ править ]
Строительство от К 6 [ править ]
Возьмем полный граф K 6 . У него 15 ребер, 15 идеальных совпадений и 20 треугольников. Создайте точку для каждого из 15 ребер и линию для каждого из 20 треугольников и 15 совпадений. Структура инцидентности между каждым треугольником или паросочетанием (линией) и тремя составляющими его ребрами (точками) порождает PG(3, 2) .
Конструкция из самолетов Фано [ править ]
Возьмите плоскость Фано и примените все 5040 перестановок ее 7 точек. Откажитесь от дубликатов самолетов, чтобы получить набор из 30 различных самолетов Фано. Выберите любую из 30 и выберите 14 других, которые имеют ровно одну общую линию с первой, а не 0 или 3. Структура инцидентности между плоскостями Фано 1 + 14 = 15 и 35 тройками, которые они взаимно покрывают, вызывает PG( 3, 2) . [3]
Представления [ править ]
Изображение тетраэдра
PG(3, 2) можно представить в виде тетраэдра. 15 точек соответствуют 4 вершинам + 6 серединам ребер + 4 центрам граней + 1 центру тела. 35 линий соответствуют 6 ребрам + 12 медианам граней + 4 вписанным граням + 4 высотам от грани до противоположной вершины + 3 линиям, соединяющим середины противоположных ребер + 6 эллипсам, соединяющим средние точки каждого ребра с двумя несмежными. центры лица. 15 плоскостей состоят из 4 граней + 6 «срединных» плоскостей, соединяющих каждый край с серединой противоположного края + 4 «конусов», соединяющих каждую вершину с вписанной окружностью противоположной грани + одна «сфера» с 6 центрами краев. и центр тела. Это описал Буркард Польстер . [4] Изображение тетраэдра имеет ту же структуру, что и визуальное представление таблицы умножения седенионов . [5]
Квадратное изображение [ править ]
PG(3, 2) можно представить в виде квадрата. Этим 15 точкам присвоены 4-битные двоичные координаты от 0001 до 1111, дополненные точкой с меткой 0000 и расположенные в сетке 4×4. Линии соответствуют классам эквивалентности наборов из четырех вершин, которые выполняют операцию XOR вместе с 0000. При определенном расположении вершин в сетке 4 × 4, таком как «естественный» порядок строк или порядок карты Карно , линии образуют симметричные подструктуры, такие как строки, столбцы, трансверсали или прямоугольники, как показано на рисунке. (Существует 20160 таких порядков, как показано ниже в разделе «Автоморфизмы» .) Такое представление возможно, потому что геометрически 35 линий представлены как биекция с 35 способами разбить аффинное пространство 4 × 4 на 4 параллельные плоскости по 4 ячейки. каждый. Это описал Стивен Х. Каллинейн.
Изображение салфетке на
Диаграмма Салфетки, часто используемая для представления обобщенного четырехугольника GQ(2, 2), также используется для представления PG(3, 2) . Это описал Ричард Дойли. [2]
школьницы Проблема Киркмана
PG(3, 2) возникает в качестве фона в некоторых решениях задачи Киркмана о школьнице . Два из семи неизоморфных решений этой проблемы можно вложить как структуры в 3-пространство Фано. В частности, разброс PG (3, 2) представляет собой разбиение точек на непересекающиеся линии и соответствует расположению девочек (точек) в непересекающихся рядах (линиях разворота ) для одного дня задачи Киркмана о школьнице. Имеется 56 различных спредов по 5 линий каждый. Упаковка ( 3 PG , 2) представляет собой разбиение 35 строк на 7 непересекающихся разворотов по 5 строк в каждом и соответствует решению для всех семи дней. Имеется 240 упаковок PG(3, 2) , которые под действием PGL(4, 2) (группы коллинеации пространства) распадаются на два класса сопряжения по 120; корреляция меняет местами эти два класса. [6]
Автоморфизмы [ править ]
Группа автоморфизмов PG (3, 2) отображает строки в строки. Число автоморфизмов определяется путем нахождения количества способов выбора 4 точек, не лежащих в одной плоскости; это получается 15⋅14⋅12⋅8 = 20160 = 8!/2. Оказывается, группа автоморфизмов группы PG(3, 2) изоморфна знакопеременной группе из 8 элементов A 8 .
Координаты [ править ]
Известно, что PG( n , 2) можно согласовать с (GF(2)) п +1 , т.е. битовая строка длины n + 1 . Таким образом, PG(3, 2) можно координировать с помощью 4-битных строк.
Кроме того, точкам соединения линий ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) и ( b 1 , b 2 , b 3 , b 4 ) могут быть естественным образом присвоены координаты Плюкера ( p 12 , p 13 , p 14 , p 23 , p 24 , p 34 ) где p ij знак равно a i b j − a j b i , а координаты линии удовлетворяют p 12 p 34 + p 13 p 24 + p 14 p 23 = 0 . Таким образом, каждая линия в проективном 3-мерном пространстве имеет шесть координат и может быть представлена как точка в проективном 5-мерном пространстве; точки лежат на поверхности p 12 p 34 + p 13 p 24 + p 14 p 23 = 0 .
Цитаты [ править ]
- ^ Месерве 1983 , с. 29
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Полстер 1998 , с. 69
- ^ Полстер 1998 , с. 77
- ^ Полстер 1998 , стр. 82–83.
- ^ Лохмус, Паал и Зоргсепп 1994 , стр. 139
- ^ Хиршфельд 1985 , с. 73
Ссылки [ править ]
- Фано, Г. (1892), «Об основных постулатах проективной геометрии» , Giornale di Matematiche , 30 : 106–132.
- Ломус, Джек; Пал, Юджин; Соргсепп, Лео (1994). Неассоциативные алгебры в физике . Палм-Харбор, Флорида: Hadronic Press. ISBN 0-911767-71-1 .
- Месерв, Брюс Э. (1983) [1955], Фундаментальные концепции геометрии , Дувр, ISBN 0-486-63415-9
- Хиршфельд, JWP (1985), Конечные проективные пространства трех измерений , Oxford University Press , ISBN 0-19-853536-8
- Польстер, Буркард (1998), Книга с геометрическими картинками , Springer, ISBN 978-0-387-98437-7