Линейное пространство (геометрия)

Линейное пространство — это базовая структура в геометрии инцидентности . Линейное пространство состоит из набора элементов, называемых точками , и набора элементов, называемых линиями . Каждая линия представляет собой отдельное подмножество точек. Говорят, что точки на прямой инцидентны этой прямой. Каждые две точки лежат на прямой, и любые две прямые могут иметь не более одной общей точки. Интуитивно это правило можно представить как свойство, согласно которому две прямые линии никогда не пересекаются более одного раза.

Линейные пространства можно рассматривать как обобщение проективных и аффинных плоскостей и, шире, 2-мерных пространств. $(v,k,1)$ блочные конструкции , в которых отпадает требование о том, чтобы каждый блок содержал одинаковое количество точек, а важной структурной характеристикой является то, что 2 точки инцидентны ровно 1 строке.

Термин «линейное пространство» был введен Полем Либуа в 1964 году, хотя многие результаты о линейных пространствах намного старше.

Определение

Пусть L = ( P , G , I ) — структура инцидентности , для которой элементы P называются точками, а элементы G — линиями. L является линейным пространством , если выполняются следующие три аксиомы:

• (L1) две различные точки инцидентны ровно одной прямой.
• (L2) каждая прямая инцидентна по крайней мере двум различным точкам.
• (L3) L содержит по крайней мере две различные прямые.

Некоторые авторы опускают (L3) при определении линейных пространств. В такой ситуации линейные пространства, удовлетворяющие (L3), считаются нетривиальными , а нетривиальные — тривиальными .

Примеры

Правильная евклидова плоскость со своими точками и прямыми образует линейное пространство, причем все аффинные и проективные пространства также являются линейными пространствами.

В таблице ниже показаны все возможные нетривиальные линейные пространства из пяти точек. Поскольку любые две точки всегда инцидентны одной прямой, линии, инцидентные только двум точкам, по соглашению не рисуются. Тривиальный случай — это просто линия, проходящая через пять точек.

На первой иллюстрации десять линий, соединяющих десять пар точек, не нарисованы. На второй иллюстрации семь линий, соединяющих семь пар точек, не нарисованы.

10 строк	8 строк	6 строк	5 строк

Линейное пространство из n точек, содержащее прямую, инцидентную n − 1 точке, называется ближним пучком . (См. карандаш )

возле карандаша с 10 точками

Свойства

Теорема Де Брейна–Эрдёша показывает, что в любом конечном линейном пространстве $S=({\mathcal {P}},{\mathcal {L}},{\textbf {I}})$ который не является отдельной точкой или одной линией, мы имеем $|{\mathcal {P}}|\leq |{\mathcal {L}}|$.

См. также

• Блочный дизайн
• Самолет Фано
• Проективное пространство
• Аффинное пространство
• Молекулярная геометрия
• Частичное линейное пространство

Ссылки

• Шульт, Эрнест Э. (2011), Точки и линии , Universitext, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-15627-4 , ISBN  978-3-642-15626-7 .

• Альбрехт Багспехер : Введение в конечную геометрию II . Библиографический институт, 1983, ISBN   3-411-01648-5 , с. 159 (немецкий)
• Дж. Х. ван Линт , Р. М. Уилсон : Курс комбинаторики . Издательство Кембриджского университета, 1992, ISBN   0-521-42260-4 . п. 188
• Л.М. Баттен, Альбрехт Бойтельспехер: Теория конечных линейных пространств . Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1992.