Изменение переменных

В математике замена переменных — это базовый метод, используемый для упрощения задач, в которых исходные переменные заменяются функциями других переменных. Цель состоит в том, чтобы, выраженная в новых переменных, проблема могла стать проще или эквивалентной более понятной проблеме.

Замена переменных — это операция, связанная с заменой . Однако это разные операции, в чем можно убедиться, рассматривая дифференцирование ( правило цепочки ) или интегрирование ( интеграцию путем замены ).

Очень простой пример полезной замены переменной можно увидеть в задаче нахождения корней многочлена шестой степени:

x^{6}-9x^{3}+8=0.

Полиномиальные уравнения шестой степени, как правило, невозможно решить в терминах радикалов (см. теорему Абеля–Руффини ). Однако это конкретное уравнение можно записать

(x^{3})^{2}-9(x^{3})+8=0

(это простой случай полиномиального разложения ). Таким образом, уравнение можно упростить, определив новую переменную $u=x^{3}$ . Заменив x на ${\sqrt[{3}]{u}}$ в полином дает

u^{2}-9u+8=0,

это просто квадратное уравнение с двумя решениями:

u=1\quad {\text{and}}\quad u=8.

Решения в терминах исходной переменной получаются заменой x ³ вернусь за тобой , что дает

x^{3}=1\quad {\text{and}}\quad x^{3}=8.

Тогда, предполагая, что нас интересуют только действительные решения, решения исходного уравнения будут следующими:

x=(1)^{1/3}=1\quad {\text{and}}\quad x=(8)^{1/3}=2.

Простой пример

Рассмотрим систему уравнений

xy+x+y=71

x^{2}y+xy^{2}=880

где $x$ и $y$ являются целыми положительными числами с $x>y$ . (Источник: AIME , 1991 г. )

Решить эту проблему обычно не очень сложно, но это может оказаться немного утомительным. Однако мы можем переписать второе уравнение как $xy(x+y)=880$ . Делаем замены $s=x+y$ и $t=xy$ сводит систему к $s+t=71,st=880$ . Решение этого дает $(s,t)=(16,55)$ и $(s,t)=(55,16)$ . Обратная замена первой упорядоченной пары дает нам $x+y=16,xy=55,x>y$ , что дает решение $(x,y)=(11,5).$ Обратная замена второй упорядоченной пары дает нам $x+y=55,xy=16,x>y$ , которая не дает решений. Следовательно, решение, которое решает систему, есть $(x,y)=(11,5)$ .

Официальное введение

Позволять $A$ , $B$ — гладкие многообразия и пусть $\Phi :A\rightarrow B$ быть $C^{r}$ - диффеоморфизм между ними, то есть: $\Phi$ это $r$ непрерывно дифференцируемое, биективное отображение из $A$ к $B$ с $r$ раз непрерывно дифференцируемо обратное от $B$ к $A$ . Здесь $r$ может быть любым натуральным числом (или нулем), $\infty$ ( гладкий ) или $\omega$ ( аналитический ).

Карта $\Phi$ называется регулярным преобразованием координат или обычной заменой переменной , где регулярный относится к $C^{r}$ -ность $\Phi$ . Обычно пишут $x=\Phi (y)$ чтобы указать замену переменной $x$ по переменной $y$ заменив значение $\Phi$ в $y$ для каждого случая $x$ .

Другие примеры

Преобразование координат

Некоторые системы легче решить при переходе к полярным координатам . Рассмотрим, например, уравнение

U(x,y):=(x^{2}+y^{2}){\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}=0.

Это может быть функция потенциальной энергии для какой-то физической задачи. Если сразу не видно решения, можно попробовать замену

\displaystyle (x,y)=\Phi (r,\theta )

предоставлено

\displaystyle \Phi (r,\theta )=(r\cos(\theta ),r\sin(\theta )).

Обратите внимание, что если $\theta$ бежит за пределы $2\pi$ -интервал длины, например, $[0,2\pi ]$ , карта $\Phi$ больше не является биективным. Поэтому, $\Phi$ должно быть ограничено, например, $(0,\infty ]\times [0,2\pi )$ . Обратите внимание, как $r=0$ исключено, ибо $\Phi$ не является биективным в начале координат ( $\theta$ может принимать любое значение, точка будет сопоставлена с (0, 0)). Затем, заменив все вхождения исходных переменных новыми выражениями, предписанными $\Phi$ и используя личность $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ , мы получаем

V(r,\theta )=r^{2}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}\cos ^{2}\theta }{r^{2}}}}}=r^{2}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}=r^{2}\left|\sin \theta \right|.

Теперь решения можно легко найти: $\sin(\theta )=0$ , так $\theta =0$ или $\theta =\pi$ . Применяя обратное $\Phi$ показывает, что это эквивалентно $y=0$ пока $x\not =0$ . Действительно, мы видим, что для $y=0$ функция исчезает, за исключением начала координат.

Обратите внимание: если бы мы позволили $r=0$ , происхождение также было бы решением, хотя оно и не является решением исходной проблемы. Здесь биективность $\Phi$ имеет решающее значение. Функция всегда положительна (при $x,y\in \mathbb {R}$ ), отсюда и абсолютные значения.

Дифференциация

Цепное правило используется для упрощения сложного дифференцирования. Например, рассмотрим задачу вычисления производной

{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2}).

Позволять $y=\sin u$ с $u=x^{2}.$ Затем:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})&={\frac {dy}{dx}}\\[6pt]&={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}&&{\text{This part is the chain rule.}}\\[6pt]&=\left({\frac {d}{du}}\sin u\right)\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)\\[6pt]&=(\cos u)(2x)\\&=\left(\cos(x^{2})\right)(2x)\\&=2x\cos(x^{2})\end{aligned}}

Интеграция

Сложные интегралы часто можно оценить путем замены переменных; это включается правилом замены и аналогично использованию вышеприведенного правила цепочки. Сложные интегралы также можно решить, упростив интеграл с помощью замены переменных, заданных соответствующей матрицей Якоби и определителем . ^[1] Использование определителя Якобиана и соответствующей замены переменной, которую он дает, лежит в основе таких систем координат, как полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат.

Формула замены переменных в терминах меры Лебега

Следующая теорема позволяет связать интегралы по мере Лебега с эквивалентным интегралом по мере образа при параметризации G. ^[2] Доказательство основано на аппроксимациях жорданового содержания.

Предположим, что $\Omega$ является открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$ и $G:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ это $C^{1}$ диффеоморфизм.
Если $f$ — измеримая по Лебегу функция на $G(\Omega )$ , затем $f\circ G$ измерима ли Лебега на $\Omega$ . Если $f\geq 0$ или $f\in L^{1}(G(\Omega ),m),$ затем $\int _{G(\Omega )}f(x)dx=\int _{\Omega }f\circ G(x)|{\text{det}}D_{x}G|dx$ .
Если $E\subset \Omega$ и $E$ измерима ли Лебега, тогда $G(E)$ измерима ли Лебега, тогда $m(G(E))=\int _{E}|{\text{det}}D_{x}G|dx$ .

Как следствие этой теоремы, мы можем вычислить производные Радона – Никодима как для обратных, так и для прямых мер $m$ под $T$ .

Мера отката и формула преобразования

Мера отката с точки зрения преобразования $T$ определяется как $T^{*}\mu :=\mu (T(A))$ . Формула замены переменных для мер отката:

$\int _{T(\Omega )}gd\mu =\int _{\Omega }g\circ TdT^{*}\mu$ .

Ускоренная мера и формула преобразования

Прогрессивная мера с точки зрения трансформации $T$ , определяется как $T_{*}\mu :=\mu (T^{-1}(A))$ . Формула замены переменных для мер продвижения вперед:

$\int _{\Omega }g\circ Td\mu =\int _{T(\Omega )}gdT_{*}\mu$ .

Как следствие формулы замены переменных для меры Лебега имеем, что

Производная Радона-Никодима обратного образа по мере Лебега: ${\frac {dT^{*}m}{dm}}(x)=|{\text{det}}D_{x}T|$
Производная Радона-Никодима от прямого действия по мере Лебега: ${\frac {dT_{*}m}{dm}}(x)=|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|$

Из чего мы можем получить

Формула замены переменных для меры отката: $\int _{T(\Omega )}gd\mu =\int _{\Omega }g\circ TdT^{*}\mu =\int _{\Omega }g\circ T|{\text{det}}D_{x}T|dm(x)$
Формула замены переменных для упреждающей меры: $\int _{\Omega }gd\mu =\int _{T(\Omega )}g\circ T^{-1}dT_{*}\mu =\int _{T(\Omega )}g\circ T^{-1}|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|dm(x)$

Дифференциальные уравнения

Изменения переменных для дифференцирования и интегрирования преподаются в элементарном исчислении , и эти этапы редко выполняются полностью.

Очень широкое использование изменений переменных очевидно при рассмотрении дифференциальных уравнений, где независимые переменные могут быть изменены с использованием правила цепочки или зависимые переменные изменяются, что приводит к проведению некоторого дифференцирования. Экзотические изменения, такие как смешивание зависимых и независимых переменных в точечных и контактных преобразованиях , могут быть очень сложными, но предоставляют большую свободу.

Очень часто в задачу подменяется общая форма изменения, а параметры выбираются по ходу дела, чтобы максимально упростить задачу.

Масштабирование и сдвиг

Вероятно, самое простое изменение — это масштабирование и сдвиг переменных, то есть замена их новыми переменными, которые «растягиваются» и «перемещаются» на постоянные величины. Это очень распространено в практических приложениях, чтобы получить физические параметры из проблем. Для н ^й производная порядка, изменение просто приводит к

{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}={\frac {y_{\text{scale}}}{x_{\text{scale}}^{n}}}{\frac {d^{n}{\hat {y}}}{d{\hat {x}}^{n}}}

где

x={\hat {x}}x_{\text{scale}}+x_{\text{shift}}

y={\hat {y}}y_{\text{scale}}+y_{\text{shift}}.

Это можно легко показать с помощью цепного правила и линейности дифференцирования. Это изменение очень часто встречается в практических приложениях для получения физических параметров из задач, например, краевой задачи.

\mu {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {dp}{dx}}\quad ;\quad u(0)=u(L)=0

описывает параллельное течение жидкости между плоскими твердыми стенками, разделенными расстоянием δ; μ — вязкость и $dp/dx$ градиент давления , обе константы. При масштабировании переменных проблема становится

{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\quad ;\quad {\hat {u}}(0)={\hat {u}}(1)=0

где

y={\hat {y}}L\qquad {\text{and}}\qquad u={\hat {u}}{\frac {L^{2}}{\mu }}{\frac {dp}{dx}}.

Масштабирование полезно по многим причинам. Это упрощает анализ как за счет уменьшения количества параметров, так и за счет простого упрощения задачи. Правильное масштабирование может нормализовать переменные, то есть дать им разумный безразмерный диапазон, например, от 0 до 1. Наконец, если проблема требует численного решения, чем меньше параметров, тем меньше количество вычислений.

Импульс против скорости

Рассмотрим систему уравнений

{\begin{aligned}m{\dot {v}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]m{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial v}}\end{aligned}}

для данной функции $H(x,v)$ .Массу можно исключить (тривиальной) заменой $\Phi (p)=1/m\cdot p$ .Очевидно, что это биективное отображение из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R}$ . Под замену $v=\Phi (p)$ система становится

{\begin{aligned}{\dot {p}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial p}}\end{aligned}}

Лагранжева механика

Учитывая силовое поле $\varphi (t,x,v)$ , имеют Ньютона уравнения движения вид

m{\ddot {x}}=\varphi (t,x,v).

Лагранж исследовал, как изменяются эти уравнения движения при произвольной замене переменных. $x=\Psi (t,y)$ , $v={\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial t}}+{\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial y}}\cdot w.$

Он обнаружил, что уравнения

{\frac {\partial {L}}{\partial y}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {L}}{\partial {w}}}

эквивалентны уравнениям Ньютона для функции $L=T-V$ ,где T — кинетическая, а V — потенциальная энергия.

Фактически, когда замена выбрана правильно (используя, например, симметрию и ограничения системы), эти уравнения гораздо легче решить, чем уравнения Ньютона в декартовых координатах.

См. также

Ссылки

^ Каплан, Уилфред (1973). «Замена переменных в интегралах». Расширенное исчисление (второе изд.). Чтение: Аддисон-Уэсли. стр. 269–275.
^ Фолланд, Великобритания (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. стр. 74–75. ISBN 0-471-31716-0 . OCLC 39849337 .

[1] Каплан, Уилфред (1973). «Замена переменных в интегралах». Расширенное исчисление (второе изд.). Чтение: Аддисон-Уэсли. стр. 269–275.

[2] Фолланд, Великобритания (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. стр. 74–75. ISBN 0-471-31716-0 . OCLC 39849337 .

[1]

[2]