Равенство (математика)

В математике , утверждающая , равенство — это связь между двумя величинами или, в более общем плане, двумя математическими выражениями что величины имеют одинаковое значение или что выражения представляют один и тот же математический объект . Равенство между $A$ и $B$ записывается $A = B$ и произносится как « $A$ равно $B$ ». В этом равенстве $A$ и $B$ являются членами равенства и различаются тем, что их называют левой стороной или левым членом и правой стороной или правым членом . Два объекта, которые не равны, называются различными .

Такая формула, как $x=y,$ где $x$ и $y$ — любые выражения, означает, что $x$ и $y$ обозначают или представляют один и тот же объект. ^[1] Например,

1.5=3/2,

это два обозначения одного и того же числа. Аналогично, используя обозначение построителя множеств ,

\{x\mid x\in \mathbb {Z} {\text{ and }}0<x\leq 3\}=\{1,2,3\},

поскольку два множества содержат одни и те же элементы. (Это равенство вытекает из аксиомы экстенсиональности , которая часто выражается как «два множества, состоящие из одинаковых элементов, равны». ^[2])

Истинность равенства зависит от интерпретации его членов. В приведенных выше примерах равенства верны, если члены интерпретируются как числа или множества, но являются ложными, если члены интерпретируются как выражения или последовательности символов.

Личность например , $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1,$ означает, что если $x$ заменить любым числом, то оба выражения примут одно и то же значение. Это также можно интерпретировать как утверждение, что две стороны знака равенства представляют одну и ту же функцию (равенство функций) или что два выражения обозначают один и тот же многочлен (равенство многочленов). ^[3]^[4]

Этимология

Слово происходит от латинского aequālis («равный», «подобный», «сопоставимый», «похожий»), которое само происходит от aequus («равный», «уровень», «справедливый», «справедливый»). ^[5]

Основные свойства

Рефлексивность : для каждого $a$ имеется $a = a$ .
Симметрия : для любых $a$ и $b$ , если $a = b$ , то $b = a$ .
Транзитивность : для любых $a$ , $b$ и $c$ , если $a = b$ и $b = c$ , то $a = c$ . ^[6]
Замена : неофициально это просто означает, что если $a = b$ , то $a$ может заменить $b$ в любом математическом выражении или формуле .
Применение операции : для каждого a и b , с некоторой операцией $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ , если а = b , то $f(a)=f(b)$ ${\ displaystyle f (a) = f (b)}$ . Например:
- Учитывая действительные числа $a$ и $b$ , если $a = b$ , то $2a-5=2b-5$ . (Здесь, $f(x)=2x-5$ )
- Даны действительные числа $a$ и $b$ , если $a^{2}=2b^{2}$ , затем $a^{2}/b^{2}=2$ . (Здесь, $f(x)=x/b^{2}$ )

Если ограничиться элементами данного множества $S$ , эти первые три свойства делают равенство отношением эквивалентности на $S$ . Фактически равенство — это единственное отношение эквивалентности на $S$ которого классы эквивалентности все являются одиночными .

Равенство как предикат

Когда A и B не определены полностью или зависят от некоторых переменных , равенство является утверждением , которое может быть истинным для некоторых значений и ложным для других значений. Равенство — это бинарное отношение с двумя аргументами (т. е. предикат ), которое может выдавать значение истинности ( ложь или истина ) из своих аргументов. В компьютерном программировании его вычисление на основе двух выражений называется сравнением .

Личности

Когда A и B можно рассматривать как функции некоторых переменных, тогда A = B означает, что A и B определяют одну и ту же функцию. Такое равенство функций иногда называют тождеством . Примером является $\left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1.$ Иногда, но не всегда, идентификационные данные пишутся с тройной чертой : $\left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.$ ^[7]

Уравнения

Уравнение — это задача поиска значений некоторой переменной, называемой неизвестной , для которой заданное равенство верно. Каждое значение неизвестного, для которого справедливо уравнение, называется решением данного уравнения; также заявлено как удовлетворяющее уравнению. Например, уравнение $x^{2}-6x+5$ имеет ценности $x=1$ и $x=5$ как единственное решение. Аналогично используется терминология для уравнений с несколькими неизвестными. ^[8]

Для определения множества можно использовать уравнение. Например, множество всех пар решений $(x,y)$ уравнения $x^{2}+y^{2}=1$ образует единичную окружность в аналитической геометрии ; поэтому это уравнение называется уравнением единичной окружности .

Тождество — это равенство , истинное для всех значений его переменных в данной области. ^[9] «Уравнение» иногда может означать тождество, но чаще всего оно определяет подмножество пространства переменных как подмножество, в котором уравнение истинно. Не существует стандартных обозначений, которые отличали бы уравнение от тождества или другого использования отношения равенства: нужно угадать подходящую интерпретацию на основе семантики выражений и контекста. ^[10]

В логике

В математической логике и математической философии равенство часто описывается через следующие свойства: ^[11]^[12]^[13]

$\forall a(a=a)$

Закон идентичности : утверждение, что каждая вещь идентична сама себе, без ограничений. То есть для каждого $a$ , $a=a$ . Это первый из трёх исторических законов мышления .

$(a=b)\implies {\bigl [}\phi (a)\Rightarrow \phi (b){\bigr ]}$

Свойство замещения . Иногда его называют Лейбница законом . Обычно он гласит, что если две вещи равны, то любое свойство одной из них должно быть свойством другой. Формально это можно сформулировать так: для каждых $a$ и $b$ и любой формулы $\phi (x),$ (со свободной переменной $x$ ), если $a=b$ , затем $\phi (a)$ подразумевает $\phi (b)$ .

Например: для всех действительных чисел $a$ и $b$ , если $a = b$ , то из $a \geq 0$ следует $b \geq 0$ (здесь $\phi (x)$ х $) 0$ ≥

Эти свойства предлагают формальную новую интерпретацию равенства по сравнению с тем, как оно определено в стандартной теории множеств Цермело – Френкеля (ZFC). В ZFC равенство означает только то, что два множества содержат одинаковые элементы. Однако математики не склонны рассматривать интересующие их объекты как множества. Например, многие математики сказали бы, что выражение « $1\cup 2$ «является злоупотреблением обозначениями или бессмысленным. Это более абстрактная структура, основанная на ZFC (то есть обе аксиомы могут быть доказаны в ZFC), но она ближе к тому, как большинство математиков используют равенство.

Обратите внимание: здесь говорится: «Равенство подразумевает эти два свойства», а не «Эти свойства определяют равенство»; это намеренно. Это делает его неполной аксиоматизацией равенства. То есть здесь не говорится, что такое равенство , а только то, что «равенство» должно удовлетворять. Однако две сформулированные аксиомы по-прежнему в целом полезны, даже как неполная аксиоматизация равенства, поскольку их обычно достаточно для вывода большинства свойств равенства, которые волнуют математиков. ^[14] (См. следующий подраздел)

Если бы эти свойства определяли полную аксиоматизацию равенства, то есть если бы они определяли равенство, тогда обратное утверждение этих утверждений должно быть истинным. Обратным свойством подстановки является тождество неразличимых вещей , которое утверждает, что две разные вещи не могут иметь все свои общие свойства. В математике тождество неразличимых обычно отвергается, поскольку неразличимые в математической логике не обязательно запрещены. Установленное равенство в ZFC позволяет объявить эти неразличимые объекты неравными, но равенство, определенное этими свойствами, таковым не является. Таким образом, эти свойства образуют строго более слабое понятие равенства, чем равенство множеств в ZFC. За пределами чистой математики идентичность неразличимых вещей вызвала много споров и критики, особенно со стороны корпускулярной философии и квантовой механики. ^[15] Вот почему говорят, что свойства не образуют полной аксиоматизации.

Однако, за исключением случаев, связанных с неразличимым, эти свойства, взятые в качестве аксиом равенства, эквивалентны равенству, как оно определено в ZFC.

Иногда их принимают за определение равенства, например, в некоторых областях логики первого порядка . ^[16]

Вывод основных свойств

Рефлексивность равенства : задано некоторое множество $S$ с отношением $R,$ индуцированным равенством ( $xRy\Leftrightarrow x=y$ ), предполагать $a\in S$ . Затем $a=a$ по Закону тождества, таким образом $aRa$ .

Закон тождества отличается от рефлексивности двумя основными способами: во-первых, Закон тождества применим только к случаям равенства, а во-вторых, он не ограничивается элементами множества. Однако многие математики называют и то, и другое «рефлексивностью», что в целом безвредно. ^[17]

Симметрия равенства : задано некоторое множество $S$ с отношением $R,$ индуцированным равенством ( $xRy\Leftrightarrow x=y$ ), предположим, что существуют элементы $a,b\in S$ такой, что $aRb$ . Затем возьмем формулу $\phi (x):xRa$ . Итак, у нас есть $(a=b)\implies (aRa\Rightarrow bRa)$ . С $a=b$ по предположению, и $aRa$ благодаря рефлексивности, мы имеем это $bRa$ .
Транзитивность равенства : задано некоторое множество $S$ с отношением $R,$ индуцированным равенством ( $xRy\Leftrightarrow x=y$ ), предположим, что существуют элементы $a,b,c\in S$ такой, что $aRb$ и $bRc$ . Тогда возьмем формулу $\phi (x):xRc$ . Итак, у нас есть $(b=a)\implies (bRc\Rightarrow aRc)$ . С $b=a$ по симметрии и $bRc$ по предположению, у нас есть это $aRc$ .
Применение функции : Учитывая некоторую функцию $f(x)$ существуют элементы $a$ и $b$ , предположим, что из его области определения такие, что $a = b$ , затем возьмем формулу $\phi (x):f(a)=f(x)$ . Итак, у нас есть
$(a=b)\implies [(f(a)=f(a))\Rightarrow (f(a)=f(b))]$
С $a=b$ по предположению, и $f(a)=f(a)$ благодаря рефлексивности мы имеем это $f(a)=f(b)$ .

Это также иногда включается в аксиомы равенства, но в этом нет необходимости, поскольку это можно вывести из двух других аксиом, как показано выше.

Примерное равенство

Существуют некоторые логические системы , в которых нет понятия равенства. Это отражает неразрешимость равенства двух действительных чисел , определяемого формулами, включающими целые числа , основные арифметические операции , логарифм и показательную функцию . Другими словами, не может существовать никакого алгоритма решения такого равенства (см. теорему Ричардсона ).

Бинарное отношение « приблизительно равно » (обозначается символом $\approx$ ) между действительными числами или другими вещами, даже если они определены более точно, не является транзитивным (поскольку множество небольших различий могут составить нечто большое). Однако равенство почти везде транзитивно .

Сомнительное проверяемое равенство можно обозначить с помощью ${\stackrel {?}{=}}$ символ . ^[18]

Связь с эквивалентностью, конгруэнтностью и изоморфизмом

Рассматриваемое как отношение , равенство является архетипом более общей концепции отношения эквивалентности на множестве: тех бинарных отношений, которые являются рефлексивными , симметричными и транзитивными . Отношение тождества является отношением эквивалентности. Обратно, пусть R — отношение эквивалентности и обозначим через x ^Р класс эквивалентности x x , состоящий из всех элементов z таких, что R z . Тогда отношение x R y эквивалентно равенству x ^Р = и ^Р. Отсюда следует, что равенство — это наилучшее отношение эквивалентности на любом множестве S в том смысле, что это отношение имеет наименьшие классы эквивалентности (каждый класс сводится к одному элементу).

В некоторых контекстах равенство резко отличается от эквивалентности или изоморфизма . ^[19] Например, можно отличить дроби от рациональных чисел , причем последние являются классами эквивалентности дробей: дроби $1/2$ и $2/4$ различны как дроби (как разные строки символов), но они «представляют» одно и то же рациональное число (одну и ту же точку на числовой прямой). Это различие порождает понятие фактормножества .

Аналогично, множества

\{{\text{A}},{\text{B}},{\text{C}}\}

и

\{1,2,3\}

не являются равными множествами (первое состоит из букв, а второе состоит из чисел), но оба они представляют собой множества из трех элементов и, следовательно, изоморфны, что означает, что существует взаимно однозначное соответствие между ними . Например

{\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3.

Однако существуют и другие варианты изоморфизма, такие как

{\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,

и эти множества нельзя идентифицировать, не сделав такого выбора - любое утверждение, которое их идентифицирует, «зависит от выбора идентификации». Это различие между равенством и изоморфизмом имеет фундаментальное значение в теории категорий и является одной из причин развития теории категорий.

В некоторых случаях можно считать равными два математических объекта, эквивалентных лишь по рассматриваемым свойствам и структуре. Слово «конгруэнтность » (и связанный с ним символ $\cong$ ) часто используется для такого рода равенства и определяется как фактор-множество классов изоморфизма между объектами. в геометрии Например, две геометрические фигуры называются равными или конгруэнтными, когда одну можно переместить так, чтобы она совпала с другой, а отношение равенства/конгруэнтности представляет собой классы изоморфизма изометрий между формами. Подобно изоморфизмам множеств, разница между изоморфизмами и равенством/конгруэнтностью между такими математическими объектами со свойствами и структурой была одной из мотиваций для развития теории категорий , а также теории гомотопических типов и однолистных оснований . ^{[ нужна ссылка ]}

Равенство в теории множеств

Равенство множеств аксиоматизируется в теории множеств двумя разными способами, в зависимости от того, основаны ли аксиомы на языке первого порядка с равенством или без него.

Установите равенство на основе логики первого порядка с равенством

В логике первого порядка с равенством аксиома экстенсиональности гласит, что два множества, содержащие одни и те же элементы, представляют собой одно и то же множество. ^[20]

Логическая аксиома: $x=y\implies \forall z,(z\in x\iff z\in y)$
Логическая аксиома: $x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)$
Аксиома теории множеств: $(\forall z,(z\in x\iff z\in y))\implies x=y$

Как заметил Леви, включение половины работы в логику первого порядка можно рассматривать как просто вопрос удобства.

«Причина, по которой мы приступаем к исчислению предикатов первого порядка с равенством, — это вопрос удобства; этим мы экономим труд по определению равенства и доказательству всех его свойств; это бремя теперь берет на себя логика». ^[21]

Установите равенство на основе логики первого порядка без равенства

В логике первого порядка без равенства два множества считаются равными, если они содержат одни и те же элементы. Тогда аксиома экстенсиональности утверждает, что два равных множества содержатся в одних и тех же множествах. ^[22]

Определение теории множеств: $(x=y)\ :=\ \forall z,(z\in x\iff z\in y)$
Аксиома теории множеств: $x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)$

См. также

Примечания

^ Россер 2008 , с. 163.
^ Леви 2002 , стр. 13, 358. Mac Lane & Birkhoff 1999 , стр. 2. Мендельсон 1964 , с. 5.
^ Уравнение. Энциклопедия математики. URL: http://encyclepediaofmath.org/index.php?title=Equation&oldid=32613.
^ Пратт, Воган, «Алгебра», Стэнфордская энциклопедия философии (зимнее издание 2022 г.), Эдвард Н. Залта и Ури Нодельман (ред.), URL: https://plato.stanford.edu/entries/algebra/#Laws
^ «Определение РАВНОГО» . Мерриам-Вебстер . Архивировано из оригинала 15 сентября 2020 года . Проверено 9 августа 2020 г.
^ Лилли Герке (1974). Множества – Отношения – Функции (4-е изд.). Цюрих: Харри Герман. ISBN 3-87144-118-Х . Здесь: разд.3.5, стр.103.
^ «Идентичность – определение математического слова – Открытый справочник по математике» . www.mathopenref.com . Проверено 1 декабря 2019 г.
^ Уравнение. Энциклопедия математики. URL: http://encyclepediaofmath.org/index.php?title=Equation&oldid=32613.
^ Уравнение. Энциклопедия математики. URL: http://encyclepediaofmath.org/index.php?title=Equation&oldid=32613.
^ Маркус, Соломон ; Ватт, Стивен М. «Что такое уравнение?» . Проверено 27 февраля 2019 г.
^ Аксиомы равенства. Математическая энциклопедия Springer. URL: http://encyclepediaofmath.org/index.php?title=Equality_axioms&oldid=46837
^ Дойч, Гарри и Павел Гарбач, «Относительная идентичность», Стэнфордская энциклопедия философии (выпуск осенью 2024 г.), Эдвард Н. Залта и Ури Нодельман (ред.), предстоящий URL: https://plato.stanford.edu/entries /identity-relative/#StanAccoIden
^ Форрест, Питер, «Личность неразличимых», Стэнфордская энциклопедия философии (зимнее издание 2020 г.), Эдвард Н. Залта (редактор), URL: https://plato.stanford.edu/entries/identity-indiscernible/ #Форма
^ Аксиомы равенства. Энциклопедия математики. URL: http://encyclepediaofmath.org/index.php?title=Equality_axioms&oldid=46837
^ Френч, Стивен (2019). «Идентичность и индивидуальность в квантовой теории» . Стэнфордская энциклопедия философии . ISSN 1095-5054 .
^ Фиттинг, М. , Логика первого порядка и автоматическое доказательство теорем (Берлин/Гейдельберг: Springer, 1990), стр. 198–200 .
^ Аксиомы равенства. Энциклопедия математики. URL: http://encyclepediaofmath.org/index.php?title=Equality_axioms&oldid=46837
^ «Найти все символы Юникода, от иероглифов до дингбатов – Unicode Compart» .
^ ( Мазур 2007 )
^ Клини 2002 , с. 189. Леви 2002 , с. 13. Шонфилд 2001 , с. 239.
^ Леви 2002 , с. 4.
^ Мендельсон 1964 , стр. 159–161. Россер 2008 , стр. 211–213.

Ссылки

Клини, Стивен Коул (2002) [1967]. Математическая логика . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42533-7 .
Леви, Азриэль (2002) [1979]. Базовая теория множеств . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42079-0 .
Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999) [1967]. Алгебра (Третье изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
Мазур, Барри (12 июня 2007 г.), Когда одна вещь равна другой? (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 24 октября 2019 г. , получено 13 декабря 2009 г.
Мендельсон, Эллиотт (1964). Введение в математическую логику . Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд.
Россер, Джон Баркли (2008) [1953]. Логика для математиков . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publication. ISBN 978-0-486-46898-3 .
Шонфилд, Джозеф Роберт (2001) [1967]. Математическая логика (2-е изд.). АК Петерс . ISBN 978-1-56881-135-2 .

Внешние ссылки

«Аксиомы равенства» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Россер 2008 , с. 163.

[2] Леви 2002 , стр. 13, 358. Mac Lane & Birkhoff 1999 , стр. 2. Мендельсон 1964 , с. 5.

[3] Уравнение. Энциклопедия математики. URL: http://encyclepediaofmath.org/index.php?title=Equation&oldid=32613.

[4] Пратт, Воган, «Алгебра», Стэнфордская энциклопедия философии (зимнее издание 2022 г.), Эдвард Н. Залта и Ури Нодельман (ред.), URL: https://plato.stanford.edu/entries/algebra/#Laws

[5] «Определение РАВНОГО» . Мерриам-Вебстер . Архивировано из оригинала 15 сентября 2020 года . Проверено 9 августа 2020 г.

[6] Лилли Герке (1974). Множества – Отношения – Функции (4-е изд.). Цюрих: Харри Герман. ISBN 3-87144-118-Х . Здесь: разд.3.5, стр.103.

[7] «Идентичность – определение математического слова – Открытый справочник по математике» . www.mathopenref.com . Проверено 1 декабря 2019 г.

[8] Уравнение. Энциклопедия математики. URL: http://encyclepediaofmath.org/index.php?title=Equation&oldid=32613.

[9] Уравнение. Энциклопедия математики. URL: http://encyclepediaofmath.org/index.php?title=Equation&oldid=32613.

[10] Маркус, Соломон ; Ватт, Стивен М. «Что такое уравнение?» . Проверено 27 февраля 2019 г.

[11] Аксиомы равенства. Математическая энциклопедия Springer. URL: http://encyclepediaofmath.org/index.php?title=Equality_axioms&oldid=46837

[12] Дойч, Гарри и Павел Гарбач, «Относительная идентичность», Стэнфордская энциклопедия философии (выпуск осенью 2024 г.), Эдвард Н. Залта и Ури Нодельман (ред.), предстоящий URL: https://plato.stanford.edu/entries /identity-relative/#StanAccoIden

[13] Форрест, Питер, «Личность неразличимых», Стэнфордская энциклопедия философии (зимнее издание 2020 г.), Эдвард Н. Залта (редактор), URL: https://plato.stanford.edu/entries/identity-indiscernible/ #Форма

[14] Аксиомы равенства. Энциклопедия математики. URL: http://encyclepediaofmath.org/index.php?title=Equality_axioms&oldid=46837

[15] Френч, Стивен (2019). «Идентичность и индивидуальность в квантовой теории» . Стэнфордская энциклопедия философии . ISSN 1095-5054 .

[16] Фиттинг, М. , Логика первого порядка и автоматическое доказательство теорем (Берлин/Гейдельберг: Springer, 1990), стр. 198–200 .

[17] Аксиомы равенства. Энциклопедия математики. URL: http://encyclepediaofmath.org/index.php?title=Equality_axioms&oldid=46837

[18] «Найти все символы Юникода, от иероглифов до дингбатов – Unicode Compart» .

[19] ( Мазур 2007 )

[20] Клини 2002 , с. 189. Леви 2002 , с. 13. Шонфилд 2001 , с. 239.

[21] Леви 2002 , с. 4.

[22] Мендельсон 1964 , стр. 159–161. Россер 2008 , стр. 211–213.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]