Координаты рождения

Пространственно-временная геометрия борновских координат. Красные линии ( | ) — мировые линии (конгруэнтность) точек на диске (при r = z = φ = const). Переплетающиеся синие и серые полосы показывают изменение t (полосы одновременности). Оранжевые кривые ( / \ ) — светоподобные кривые (нулевые геодезические) с фиксированным r .

В релятивистской физике координатная карта Борна представляет собой координатную карту (части) пространства-времени Минковского , плоского пространства-времени специальной теории относительности . Его часто используют для анализа физического опыта наблюдателей, которые едут на кольце или диске, жестко вращающихся с релятивистскими скоростями , так называемых ланжевенских наблюдателей . Эту диаграмму часто приписывают Максу Борну из-за его работы 1909 года по релятивистской физике вращающегося тела. Обзор применения ускорений в плоском пространстве-времени см. в разделе « Ускорение (специальная теория относительности) и собственная система отсчета (плоское пространство-время)» .

Исходя из опыта работы с инерционными сценариями (т.е. измерениями в инерциальных системах отсчета), наблюдатели Ланжевена синхронизируют свои часы по стандартному соглашению Эйнштейна или по медленной синхронизации часов соответственно (обе внутренние синхронизации). Для одного ланжевеновского наблюдателя этот метод работает прекрасно. В непосредственной близости от него часы синхронизированы, а свет распространяется в пространстве изотропно. Но опыт, когда наблюдатели пытаются синхронизировать свои часы по замкнутому пути в пространстве, озадачивает: всегда есть как минимум двое соседних часов, которые показывают разное время. Чтобы исправить ситуацию, наблюдатели договариваются о процедуре внешней синхронизации (координатное время t — или для наблюдателей, сидящих на кольце, подходящее координатное время для фиксированного радиуса r ). По этому соглашению ланжевенские наблюдатели, едущие на жестко вращающемся диске, на основании измерений малых расстояний между собой сделают вывод, что геометрия диска неевклидова. Независимо от того, какой метод они используют, они придут к выводу, что геометрия хорошо аппроксимируется некоторой римановой метрикой , а именно метрикой Ланжевена–Ландау–Лифшица. Это, в свою очередь, очень хорошо аппроксимируется геометрией гиперболической плоскости (с отрицательными кривизнами −3 ω ² и −3 ω ²  р ² соответственно). Но если эти наблюдатели будут измерять большие расстояния, они получат разные результаты, в зависимости от того, какой метод измерения они используют! Однако во всех таких случаях они, скорее всего, получат результаты, несовместимые ни с какой римановой метрикой . В частности, если они будут использовать простейшее понятие расстояния, радиолокационное расстояние, из-за различных эффектов, таких как уже отмеченная асимметрия , они придут к выводу, что «геометрия» диска не только неевклидова, но и нериманова.

Вращающийся диск не является парадоксом . Каким бы методом наблюдатели ни анализировали ситуацию, в конце концов они анализируют вращающийся диск, а не инерциальную систему отсчета.

Ланжевенские наблюдатели на цилиндрической карте

Следующая диаграмма составлена ​​в цилиндрических координатах . Альтернативную формулировку с использованием декартовых координат см. в разделе Правильная система отсчета (плоское пространство-время)#Равномерное круговое движение.

Чтобы мотивировать карту Борна, мы сначала рассмотрим семейство наблюдателей Ланжевена, представленное в обычной цилиндрической карте координат для пространства-времени Минковского. Мировые линии этих наблюдателей образуют времениподобную конгруэнтность , которая является жесткой в ​​смысле наличия исчезающего тензора расширения. Они представляют собой наблюдателей, которые жестко вращаются вокруг оси цилиндрической симметрии.

Рис. 1: Часть винтовой мировой линии типичного наблюдателя Ланжевена (красная кривая), изображенная на цилиндрической диаграмме, с некоторыми будущими указывающими световыми конусами (золото) с векторами системы отсчета, заданными системой Ланжевена (черные стержни). На этом рисунке координата Z несущественна и скрыта. Белый цилиндр показывает местоположение постоянного радиуса; пунктирная зеленая линия представляет собой ось симметрии R=0. Синяя кривая представляет собой интегральную кривую азимутального единичного вектора. ${\vec {p}}_{3}$.

Из линейного элемента

${\begin{aligned}&\mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} T^{2}+\mathrm {d} Z^{2}+\mathrm {d} R^{2}+R^{2}\,\mathrm {d} \Phi ^{2},\;\;\\&-\infty <T,\,Z<\infty ,\;0<R<\infty ,\;-\pi <\Phi <\pi \end{aligned}}$

мы можем сразу считать поле системы координат , представляющее локальные системы Лоренца стационарных (инерциальных) наблюдателей.

${\vec {e}}_{0}=\partial _{T},\;\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{Z},\;\;{\vec {e}}_{2}=\partial _{R},\;\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{R}}\,\partial _{\Phi }$

Здесь, ${\vec {e}}_{0}$ является времениподобным полем единичного вектора , тогда как остальные являются пространственноподобными полями единичного вектора; в каждом событии все четыре взаимно ортогональны и определяют бесконечно малую систему Лоренца статического наблюдателя, мировая линия которого проходит через это событие.

Одновременное усиление этих полей кадра в ${\vec {e}}_{3}$ направлении, мы получаем искомое поле системы отсчета, описывающее физический опыт ланжевенских наблюдателей, а именно

${\vec {p}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R^{2}}}}\,\partial _{T}+{\frac {\omega \,R}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R^{2}}}}\;{\frac {1}{R}}\partial _{\Phi }$

${\vec {p}}_{1}=\partial _{Z},\;\;{\vec {p}}_{2}=\partial _{R}$

${\vec {p}}_{3}={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R^{2}}}}\;{\frac {1}{R}}\,\partial _{\Phi }+{\frac {\omega \,R}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R^{2}}}}\,\partial _{T}$

Этот фрейм, по-видимому, впервые был введен (неявно) Полем Ланжевеном в 1935 году; его первое явное использование, по-видимому, было сделано Т. А. Вебером совсем недавно, в 1997 году! Он определен в области 0 < R < 1/ω; это ограничение является фундаментальным, поскольку вблизи внешней границы скорость наблюдателей Ланжевена приближается к скорости света.

Рис. 2: На этом рисунке показаны мировые линии реперного наблюдателя Ланжевена (красная кривая) и его ближайших соседей (пунктирные темно-синие кривые). На нем показана четверть одного оборота координатного наблюдателя вокруг оси симметрии (вертикальная зеленая линия).

Каждая интегральная кривая времениподобного единичного векторного поля ${\vec {p}}_{0}$ на цилиндрической диаграмме выглядит как спираль постоянного радиуса (например, красная кривая на рис. 1). Предположим, мы выбрали одного наблюдателя Ланжевена и рассматриваем остальных наблюдателей, которые едут по кольцу радиуса R, которое жестко вращается с угловой скоростью ω. Тогда если мы возьмем интегральную кривую (синяя винтовая кривая на рис. 1) пространственноподобного базисного вектора ${\vec {p}}_{3}$, мы получаем кривую, которую, как мы надеемся, можно интерпретировать как «линию одновременности» для наблюдателей, сидящих на кольце. Но, как мы видим из рис. 1, идеальные часы, которые несут эти наблюдатели на кольце, не могут быть синхронизированы . Это наш первый намек на то, что не так просто, как можно было бы ожидать, определить удовлетворительное понятие пространственной геометрии даже для вращающегося кольца , не говоря уже о вращающемся диске!

Вычисляя кинематическое разложение сравнения Ланжевена, находим, что вектор ускорения равен

$\nabla _{{\vec {p}}_{0}}{\vec {p}}_{0}={\frac {-\omega ^{2}\,R}{1-\omega ^{2}\,R^{2}}}\;{\vec {p}}_{2}$

Это указывает радиально внутрь и зависит только от (постоянного) радиуса каждой винтовой мировой линии. Тензор расширения тождественно обращается в нуль, а это означает, что находящиеся рядом ланжевенские наблюдатели сохраняют постоянное расстояние друг от друга. Вектор завихренности ​

${\vec {\Omega }}={\frac {\omega }{1-\omega ^{2}\,R^{2}}}\;{\vec {p}}_{1}$

которая параллельна оси симметрии. Это означает, что мировые линии ближайших соседей каждого ланжевеновского наблюдателя закручиваются вокруг своей мировой линии , как это предполагает рис. 2. Это своего рода локальное понятие «закрутки» или завихренности.

Напротив, обратите внимание, что проецирование спиралей на любой из пространственных гиперсрезов $T=T_{0}$ ортогонально мировым линиям статических наблюдателей дает круг, который, конечно, представляет собой замкнутую кривую. Еще лучше, координатный базисный вектор $\partial _{\Phi }$ представляет собой пространственноподобное векторное поле Киллинга , интегральные кривые которого представляют собой замкнутые пространственноподобные кривые (фактически круги), которые, кроме того, вырождаются до замкнутых кривых нулевой длины на оси R = 0. Это выражает тот факт, что наше пространство-время обладает цилиндрической симметрией , а также демонстрирует своего рода глобальное понятие вращения наших ланжевенских наблюдателей.

На рис. 2 пурпурная кривая показывает, как пространственные векторы ${\vec {p}}_{2},\;{\vec {p}}_{3}$ кружатся вокруг ${\vec {p}}_{1}$ (которое на рисунке не показано, поскольку координата Z несущественна). То есть векторы ${\vec {p}}_{2},\;{\vec {p}}_{3}$ не перемещаются ли Ферми-Уокера вдоль мировой линии, поэтому система Ланжевена вращается и неинерциальна . Другими словами, в нашем прямом выводе системы Ланжевена мы сохранили систему координат, выровненную по базисному вектору радиальных координат. $\partial _{R}$. Введя вращение системы отсчета с постоянной скоростью, осуществляемое каждым ланжевеновским наблюдателем вокруг ${\vec {p}}_{1}$, мы могли бы, если бы захотели «раскрутить» нашу систему координат, чтобы получить гиростабилизированную версию.

Трансформация в карту Рождения

Рис. 3: Попытка определить понятие «пространства во времени» для наших ланжевенских наблюдателей, изображенное на карте Борна. Эта попытка обречена на провал как минимум по двум причинам! На этом рисунке изображена область 0 < r < 1 при ω = 1/5 с разрывом при φ = π. Радиальный луч, из которого мы «вырастили» интегральные кривые для создания поверхности, находится в точке φ = 0 (на дальней стороне на этом изображении).

Чтобы получить карту Борна , выпрямим винтовые мировые линии наблюдателей Ланжевена с помощью простого преобразования координат

$t=T,\;\;z=Z,\;\;r=R,\;\;\phi =\Phi -\omega \,T$

Новый элемент строки

$\mathrm {d} s^{2}=-\left(1-\omega ^{2}r^{2}\right)\mathrm {d} t^{2}+2\omega r^{2}\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi +\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \phi ^{2},$

$-\infty <t,\,z<\infty ,0<r<{\frac {1}{\omega }},\;-\pi <\phi <\pi$

Обратите внимание на «перекрестные термины», включающие $\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi$, которые показывают, что карта Борна не является ортогональной координатной картой. Координаты Борна также иногда называют вращающимися цилиндрическими координатами .

На новой диаграмме мировые линии наблюдателей Ланжевена выглядят как вертикальные прямые линии. Действительно, мы можем легко преобразовать четыре векторных поля, составляющие рамку Ланжевена, в новую диаграмму. Мы получаем

${\vec {p}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}\,\partial _{t}$

${\vec {p}}_{1}=\partial _{z},\;\;{\vec {p}}_{2}=\partial _{r}$

${\vec {p}}_{3}={\frac {\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}{r}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\omega \,r}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}\,\partial _{t}$

Это точно такие же векторные поля, как и раньше – теперь они просто представлены в другой координатной карте!

Само собой разумеется, что в процессе «раскручивания» мировых линий наблюдателей Ланжевена, которые на цилиндрической карте выглядят как спирали, мы «закручивали» мировые линии статических наблюдателей, которые теперь выглядят как спирали на карте Борна. ! Также обратите внимание, что, как и система Ланжевена, карта Борна определена только в области 0 < r < 1/ω.

Если мы пересчитаем кинематическое разложение наблюдателей Ланжевена, то оно будет иметь времяподобное сравнение ${\vec {p}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}\,\partial _{t}$, мы, конечно, получим тот же ответ, что и раньше, только выраженный в терминах новой диаграммы. В частности, вектор ускорения равен

$\nabla _{{\vec {p}}_{0}}\,{\vec {p}}_{0}={\frac {-\omega ^{2}\,r}{1-\omega ^{2}\,r^{2}}}\,{\vec {p}}_{2}$

тензор расширения обращается в нуль, а вектор завихренности равен

${\vec {\Omega }}={\frac {\omega }{1-\omega ^{2}\,r^{2}}}\;{\vec {p}}_{1}$

Двойное ковекторное поле времениподобного единичного вектора в любом поле кадра представляет собой бесконечно малые пространственные гиперсрезы. Однако теорема интегрируемости Фробениуса дает сильное ограничение на то, могут ли эти пространственные гиперплоские элементы быть «связаны вместе», чтобы сформировать семейство пространственных гиперповерхностей, которые всюду ортогональны мировым линиям конгруэнции. Действительно, оказывается, что это возможно, и в этом случае мы говорим, что конгруэнция ортогональна гиперповерхности тогда и только тогда, когда вектор завихренности тождественно обращается в нуль . Таким образом, хотя статические наблюдатели в цилиндрической карте допускают уникальное семейство ортогональных гиперсрезов $T=T_{0}$Ланжевенские наблюдатели не допускают таких гиперсрезов . В частности, пространственные поверхности $t=t_{0}$ в карте Борна ортогональны статичным наблюдателям, а не наблюдателям Ланжевена . Это наше второе (и гораздо более четкое) указание на то, что определение «пространственной геометрии вращающегося диска» не так просто, как можно было бы ожидать.

Чтобы лучше понять этот важный момент, рассмотрим интегральные кривые третьего вектора системы отсчета Ланжевена.

${\vec {p}}_{3}={\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}\,{\frac {1}{r}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\omega \,r}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}\,\partial _{t}$

которые проходят через радиус $\phi =0,\,t=0$. (Для удобства мы исключим из рассмотрения несущественную координату z.) Эти кривые лежат на поверхности

$\phi +\omega \,t-{\frac {t}{\omega \,r^{2}}}=0,\;\;-\pi <\phi <\pi$

показано на рис. 3. Мы хотели бы рассматривать это как «пространство во времени» для наших ланжевенских наблюдателей. Но две вещи идут не так.

Во-первых, теорема Фробениуса говорит нам, что ${\vec {p}}_{2},\,{\vec {p}}_{3}$ не касаются никакого пространственного гиперсреза. Действительно, за исключением начального радиуса, векторы ${\vec {p}}_{2}$ не ври в нашем куске . Таким образом, хотя мы и нашли пространственную гиперповерхность, она ортогональна мировым линиям лишь некоторых наших ланжевенских наблюдателей. Поскольку препятствие из теоремы Фробениуса можно понять с точки зрения несостоятельности векторных полей ${\vec {p}}_{2},\,{\vec {p}}_{3}$ Чтобы образовать алгебру Ли , это препятствие является дифференциальным, фактически теоретико Ли. То есть это своего рода бесконечно малое препятствие на пути существования удовлетворительного представления о пространственных гиперсрезах для наших вращающихся наблюдателей.

Во-вторых, как показывает рис. 3, наша попытка гиперсреза привела бы к разрыву понятия «время» из-за «скачков» на интегральных кривых (показанных в виде разрыва сетки синего цвета). В качестве альтернативы мы могли бы попытаться использовать многозначное время. Ни одна из этих альтернатив не кажется очень привлекательной! Это, очевидно, глобальное препятствие . Это, конечно, следствие нашей неспособности синхронизировать часы ланжевенских наблюдателей, находящихся даже на одном кольце – скажем, на ободе диска – не говоря уже о целом диске .

Эффект Саньяка

Представим, что мы закрепили оптоволоконный кабель по окружности кольца радиусом $r_{0}$ который вращается с постоянной угловой скоростью ω. Мы хотим вычислить время прохождения туда и обратно, измеренное наблюдателем, находящимся на кольце, для лазерного импульса, посланного по часовой стрелке и против часовой стрелки вокруг кабеля. Для простоты мы проигнорируем тот факт, что свет распространяется по оптоволоконному кабелю со скоростью несколько меньшей, чем скорость света в вакууме, и будем считать, что мировая линия нашего лазерного импульса представляет собой нулевую кривую (но уж точно не нулевую геодезическую ! ).

В элементе линии Борна положим $\mathrm {d} s=\mathrm {d} z=\mathrm {d} r=0$. Это дает

$(1-\omega ^{2}\,r_{0}^{2})\,\mathrm {d} t^{2}=2\omega \,r_{0}^{2}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi +r_{0}^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}$

или

$\mathrm {d} t_{+}={\frac {r_{0}\,\mathrm {d} \phi }{1-\omega \,r_{0}}},\quad \mathrm {d} t_{-}=-{\frac {r_{0}\,\mathrm {d} \phi }{1+\omega \,r_{0}}}$

Получаем время в пути туда и обратно

$\Delta t_{+}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r_{0}\,\mathrm {d} \phi }{1-\omega \,r_{0}}}={\frac {2\pi r_{0}}{1-\omega \,r_{0}}},\quad \Delta t_{-}=\int _{0}^{-2\pi }-{\frac {r_{0}\,\mathrm {d} \phi }{1+\omega \,r_{0}}}={\frac {2\pi r_{0}}{1+\omega \,r_{0}}}$

положить $\delta ={\frac {\Delta t_{+}-\Delta t_{-}}{2\,\pi \,r_{0}}}$, мы находим $\omega _{+,-}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+\delta ^{2}}}}{r_{0}\,\delta }}$ (положительное ω означает вращение против часовой стрелки, отрицательное ω означает вращение по часовой стрелке), чтобы наблюдатели, едущие по кольцу, могли определить угловую скорость кольца (измеренную статическим наблюдателем) по разнице между временем движения по часовой стрелке и против часовой стрелки. Это известно как эффект Саньяка . Очевидно, это глобальный эффект .

Нулевая геодезическая

Рис. 4: Два радиальных нулевых геодезических трека (зеленая кривая: направление наружу, красная кривая: направление внутрь), изображенные на карте Борна. траектория наблюдателя Ланжевена L, вращающегося против часовой стрелки с радиусом R = R ₀ Также показана , т.е. вращающегося против часовой стрелки кольца (темно-синий круг). Параметры: ω = +0,2, R ₀ =r ₀ =1

Мы хотим сравнить появление нулевых геодезических на цилиндрической карте и карте Борна.

На цилиндрической карте уравнения геодезических имеют следующий вид:

${\ddot {T}}=0,\;\;{\ddot {Z}}=0,\;\;{\ddot {R}}-R\,{\dot {\Phi }}^{2}=0,\;\;{\ddot {\Phi }}+{\frac {2}{R}}\,{\dot {\Phi }}\,{\dot {R}}=0.$

Мы сразу получаем первые интегралы

${\dot {T}}=E,\;\;{\dot {Z}}=P,\;\;{\dot {\Phi }}={\frac {L}{R^{2}}}.$

Подключив их к выражению, полученному из элемента строки, установив $\mathrm {d} s^{2}=0$, мы получаем

${\dot {R}}^{2}=E^{2}-P^{2}-{\frac {L^{2}}{R^{2}}}\geq 0$

откуда мы видим, что минимальный радиус нулевой геодезической определяется выражением

$E^{2}-P^{2}-{\frac {L^{2}}{R_{\mathrm {min} }^{2}}}=0\quad$ то есть, $\quad R_{\mathrm {min} }={\frac {|L|}{\sqrt {E^{2}-P^{2}}}}$

следовательно

${\dot {R}}^{2}=L^{2}\left({\frac {1}{R_{\mathrm {min} }^{2}}}-{\frac {1}{R^{2}}}\right).$

Рис. 5: Нулевые геодезические, изображенные на карте Борна между кольцевыми наблюдателями Ланжевена ( r = r ₀ = 1). Нулевые геодезические, распространяющиеся с вращением, изогнуты внутрь (зеленая кривая), нулевые геодезические, распространяющиеся против вращения, изогнуты наружу (красная кривая). Собственное время прохождения света от L ₁ до L ₂ Δ t ₁₂ составляет 1,311, от L ₂ до L ₁ Δ t ₂₁ составляет 1,510, собственное время прохождения света не симметрично, а радиолокационное расстояние (Δ t ₁₂ + Δ t ₂₁ )/2 есть. При ω → 0 оба собственных времени прохождения света стремятся к √ 2 = 1,414. Нулевые геодезические между противоположными наблюдателями Ланжевена (L ₁ и L ₃ ) изгибаются симметрично вокруг центра вращения. Параметры: ω = +0,1, R ₀ =r ₀ =1, Δ φ (L ₁ ,L ₂ )=π/2, Δ φ (L ₁ ,L ₃ )=π

Теперь мы можем решить, чтобы получить нулевые геодезические в виде кривых, параметризованных аффинным параметром, следующим образом:

${\begin{aligned}R&={\sqrt {(E^{2}-P^{2})\,s^{2}+L^{2}/(E^{2}-P^{2})}}=\\&={\sqrt {(E^{2}-P^{2})\,s^{2}+R_{\mathrm {min} }^{2}}},\\T&=T_{0}+E\,s,\\[1em]Z&=Z_{0}+P\,s,\\\Phi &=\Phi _{0}+\operatorname {arctan} \left({\frac {E^{2}-P^{2}}{L}}\,s\right)=\\&=\Phi _{0}+\operatorname {arctan} \left({\frac {\sqrt {E^{2}-P^{2}}}{R_{\mathrm {min} }\,\operatorname {sgn} {(L)}}}\,s\right).\end{aligned}}$

Более полезным для наших целей является наблюдение о том, что траектория нулевой геодезической (ее проекция на любой пространственный гиперсрез) $T=T_{0}$), конечно, является прямой линией, определяемой формулой

$R=R_{\mathrm {min} }\,\sec(\Phi -\Phi _{0}).$

Чтобы получить минимальный радиус линии, проходящей через две точки (по одну сторону от точки наибольшего приближения к началу координат), решаем

$R_{1}=R_{\mathrm {min} }\,\sec(\Phi _{1}-\Phi _{0}),\;\;R_{2}=R_{\mathrm {min} }\,\sec(\Phi _{2}-\Phi _{0})$

что дает

$R_{\mathrm {min} }={\frac {R_{1}\,R_{2}\,|\sin(\Phi _{2}-\Phi _{1})|}{\sqrt {R_{1}^{2}-2\,R_{1}\,R_{2}\,\cos(\Phi _{2}-\Phi _{1})+R_{2}^{2}}}}.$

Теперь рассмотрим простейший случай — радиальные нулевые геодезические (R _min = L = 0, E = 1, P = 0). Радиальную нулевую геодезическую, направленную наружу, можно записать в виде

$T=s,\;Z=Z_{0},\;R=s,$

$\Phi =\mathrm {const.} =\omega \,R_{0}$

с радиусом R ₀ кольца, находящегося на наблюдателе Ланжевена (см. рис. 4). Переходя к карте Борна, мы обнаруживаем, что траекторию можно записать в виде

$r=r_{0}-{\frac {\phi }{\omega }}.$

На карте Борна треки выглядят слегка изогнутыми (см. зеленую кривую на рис. 4). Из раздела Преобразование в карту Борна мы видим, что в карте Борна мы не можем правильно называть эти «треки» «проекциями», поскольку для наблюдателя Ланжевена ортогональный гиперсрез для t = t ₀ не существует (см. Рис. 3). .

Аналогично для радиальных нулевых геодезических, связанных внутрь, мы получаем

$r={\frac {\phi }{\omega }}$

изображена красной кривой на рис. 4.

Обратите внимание: чтобы послать лазерный импульс к неподвижному наблюдателю S при R = 0, наблюдатель Ланжевена L должен нацелиться немного назад , чтобы скорректировать собственное движение. Разворачивая предметы, как и ожидал бы охотник на уток, чтобы послать лазерный импульс в сторону наблюдателя Ланжевена, вращающегося против часовой стрелки, центральный наблюдатель должен целиться не в текущую позицию этого наблюдателя, а в позицию, в которую он прибудет. как раз вовремя, чтобы перехватить сигнал. Эти семейства радиальных нулевых геодезических, связанных внутрь и наружу, представляют собой совершенно разные кривые в пространстве-времени, и их проекции не совпадают при ω > 0.

Рис. 6: Нулевая геодезическая дуга, изображенная на карте Борна, которая моделирует сигнал, посылаемый от одного наблюдателя, путешествующего по кольцу, другому. Мировые линии этих наблюдателей показаны синими вертикальными линиями; центр симметрии в виде зеленой вертикальной линии. Обратите внимание, что наша нулевая геодезическая (желтая дуга) слегка изогнута внутрь (см. также зеленую кривую на рис. 5).

Аналогичным образом, нулевые геодезические между наблюдателями Ланжевена, движущимися по кольцу, кажутся слегка изогнутыми внутрь на карте Борна, если геодезические распространяются в направлении вращения (см. зеленую кривую на рис. 5). Чтобы убедиться в этом, запишите уравнение нулевой геодезической на цилиндрической карте в виде

$T=R_{\mathrm {min} }\,\tan(\Phi ),$

$R=R_{\mathrm {min} }\,\sec(\Phi ).$

Переходя к борновским координатам, получаем уравнения

$t=r_{\mathrm {min} }\,\tan(\phi +\omega \,t),$

$r=r_{\mathrm {min} }\,\sec(\phi +\omega \,t).$

Устранение φ дает

$r={\sqrt {r_{\mathrm {min} }^{2}+t^{2}}}$

это показывает, что геодезическая действительно кажется изогнутой внутрь (см. рис. 6). Мы также находим это

$\phi =-\omega \,t+\operatorname {arctan} (t/r_{\mathrm {min} }).$

Для нулевых геодезических, распространяющихся против вращения (красная кривая на рис. 5), получаем

$r={\sqrt {r_{\mathrm {min} }^{2}+t^{2}}},$

$\phi =-\omega \,t-\operatorname {arctan} (t/r_{\mathrm {min} })$

и геодезическая слегка изгибается наружу. На этом описание появления нулевых геодезических на карте Борна завершается, поскольку каждая нулевая геодезическая либо радиальна, либо имеет какую-то точку наибольшего сближения с осью цилиндрической симметрии.

Обратите внимание (см. рис. 5), что наблюдатель, едущий по кольцу, пытающийся послать лазерный импульс другому наблюдателю, едущему по кольцу, должен целиться немного вперед или назад от своей угловой координаты, как указано в карте Борна, чтобы компенсировать вращательное движение. цели. Заметим также, что представленная здесь картина полностью согласуется с нашим ожиданием (см. внешний вид ночного неба ), что движущийся наблюдатель увидит видимое положение других объектов на его небесной сфере, смещенных в направлении его движения.

Радарная дальность в большом

Рис. 7: Этот схематический рисунок иллюстрирует понятие радиолокационного расстояния между наблюдателем, движущимся по кольцу, и статическим центральным наблюдателем (с той же координатой Z ).

Оказывается, даже в плоском пространстве-времени ускоряющиеся наблюдатели (даже наблюдатели, ускоряющиеся линейно; см. координаты Риндлера ) могут использовать различные различные, но функционально значимые понятия расстояния. Возможно, самым простым из них является радиолокационная дальность .

Рассмотрим, как статический наблюдатель при R=0 может определить свое расстояние до наблюдателя, едущего по кольцу при R = R ₀ . В событии C он посылает радиолокационный импульс в сторону кольца, который попадает на мировую линию наблюдателя, находящегося на кольце, в точке A ′, а затем возвращается к центральному наблюдателю в событии C ″. (См. правую диаграмму на рис. 7.) Затем он делит прошедшее время (измеряемое идеальными часами, которые он носит с собой) на два. Нетрудно видеть, что для этого расстояния он получает просто R ₀ (в цилиндрической карте) или r ₀ (в карте Борна).

Точно так же наблюдатель, путешествующий по кольцу, может определить свое расстояние до центрального наблюдателя, отправив радиолокационный импульс в событии A к центральному наблюдателю, который попадает на его мировую линию в событии C ′ и возвращается к наблюдателю, путешествующему по кольцу, в событии A ″. . (См. левую диаграмму на рис. 7.) Нетрудно видеть, что для этого расстояния он получает $R_{0}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R_{0}^{2}}}$ (в цилиндрической диаграмме) или $r_{0}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r_{0}^{2}}}$ (в карте Борна), что несколько меньше результата, полученного центральным наблюдателем. Это следствие замедления времени: прошедшее время для наблюдателя, катающегося на ринге, меньше в раз. ${\sqrt {1-\omega ^{2}\,r_{0}^{2}}}$ чем время центрального наблюдателя. Таким образом, хотя радиолокационная дальность имеет простое эксплуатационное значение, она даже не симметрична .

Рис. 8: Этот схематический рисунок иллюстрирует понятие радиолокационного расстояния между двумя ланжевенскими наблюдателями, движущимися по кольцу радиуса R ₀ , которое вращается с угловой скоростью ω . На левой диаграмме кольцо вращается против часовой стрелки; на правой диаграмме он вращается по часовой стрелке.

Чтобы убедиться в этом важном моменте, сравните радиолокационные расстояния, полученные двумя наблюдателями, движущимися по кольцу, с радиальной координатой R = R ₀ . На левой диаграмме рис. 8 координаты события А можно записать как

$T=0,\;Z=0,\;X=R_{0},Y=0$

и мы можем записать координаты события B ′ как

$T=2\,R_{0}\,\sin \left({\frac {\Phi }{2}}\right),\;Z=0,$

$X=R_{0}\cos(\Phi ),\;Y=R_{0}\sin(\Phi )$

Запись неизвестного прошедшего времени как $\Delta s$, теперь запишем координаты события A ″ как

$T={\frac {\Delta s}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R_{0}^{2}}}},\;Z=0$

$X=R_{0}\cos \left({\frac {\omega \,\Delta s}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R_{0}^{2}}}}\right),\;Y=R_{0}\sin \left({\frac {\omega \,\Delta s}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R_{0}^{2}}}}\right)$

Требуя, чтобы отрезки, соединяющие эти события, были нулевыми, мы получаем уравнение, которое в принципе можно решить относительно Δs . Оказывается, эта процедура дает довольно сложное нелинейное уравнение, поэтому мы просто приведем некоторые репрезентативные численные результаты. При R ₀ = 1, Φ = π/2 и ω = 1/10 мы находим, что радиолокационное расстояние от A до B составляет около 1,311, а расстояние от B до A составляет около 1,510. При стремлении ω к нулю оба результата стремятся к √ 2 = 1,414 (см. также рис. 5).

Несмотря на эти, возможно, обескураживающие расхождения, ни в коем случае невозможно разработать координатную карту, которая была бы приспособлена для описания физического опыта одного ланжевеновского наблюдателя или даже одного произвольно ускоряющегося наблюдателя в пространстве-времени Минковского. Паури и Валлиснери адаптировали процедуру синхронизации часов Мерцке-Уиллера для разработки адаптированных координат, которые они называют координатами Мерцке-Уиллера (см. статью, цитируемую ниже). В случае устойчивого кругового движения эта диаграмма на самом деле очень тесно связана с понятием радиолокационного расстояния «в целом» от данного наблюдателя Ланжевена.

Радарная дальность в маленьком

Как уже говорилось выше , по разным причинам семейство ланжевенских наблюдателей не допускает семейства ортогональных гиперсрезов. Поэтому этих наблюдателей просто невозможно связать с каким-либо разрезанием пространства-времени на семейство последовательных «постоянных временных срезов».

Однако, поскольку сравнение Ланжевена стационарно , мы можем представить себе замену каждой мировой линии в этом сравнении точкой . То есть мы можем рассматривать фактор-пространство пространства-времени Минковского (точнее, область 0 < R < 1/ ω ) посредством конгруэнции Ланжевена, которая представляет собой трехмерное топологическое многообразие . Более того, мы можем поместить риманову метрику на это фактормногообразие, превратив его в трехмерное риманово многообразие таким образом, чтобы метрика имела простое эксплуатационное значение.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим элемент линии Борна

$\mathrm {d} s^{2}=-(1-\omega ^{2}\,r^{2})\,\mathrm {d} t^{2}+2\,\omega \,r^{2}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi +\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2},$

$-\infty <t,z<\infty ,\;\;0<r<{\frac {1}{\omega }},\;\;-\pi <\phi <\pi .$

Настройка d ² = 0 и решая относительно d t, получаем

$\mathrm {d} t_{+}={\frac {\omega \,r^{2}\,\mathrm {d} \phi +{\sqrt {(1-\omega ^{2}\,r^{2})\;(\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2})+r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}}}}{1-\omega ^{2}\,r^{2}}},$

$\mathrm {d} t_{-}={\frac {\omega \,r^{2}\,\mathrm {d} \phi -{\sqrt {(1-\omega ^{2}\,r^{2})\;(\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2})+r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}}}}{1-\omega ^{2}\,r^{2}}}.$

Тогда прошедшее собственное время для радиолокационного сигнала туда и обратно, излучаемого ланжевенским наблюдателем, равно

${\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}\;{\frac {\mathrm {d} t_{+}-\mathrm {d} t_{-}}{2}}={\sqrt {\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2}+{\frac {r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}}{1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}}.$

Следовательно, в нашем фактормногообразии риманов линейный элемент

$\mathrm {d} \sigma ^{2}=\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2}+{\frac {r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}}{1-\omega ^{2}\,r^{2}}},$

$-\infty <t<\infty ,\;\;0<r<{\frac {1}{\omega }},\;\;-\pi <\phi <\pi$

соответствует расстоянию между бесконечно близкими ланжевенскими наблюдателями . Мы назовем это метрикой Ланжевена-Ландау-Лифшица , и мы можем назвать это понятие дистанцией радиолокации «в малом» .

Эта метрика была впервые дана Ланжевеном , но интерпретация с точки зрения радиолокационного расстояния «в малом» принадлежит Льву Ландау и Евгению Лифшицу , которые обобщили конструкцию, чтобы она работала для фактора любого лоренцева многообразия по стационарной времениподобной конгруэнции.

Если мы примем кофрейм

$\theta ^{\hat {1}}=\mathrm {d} z,\;\;\theta ^{\hat {2}}=\mathrm {d} r,\;\;\theta ^{\hat {3}}={\frac {r\,\mathrm {d} \phi }{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}$

мы можем легко вычислить тензор римановой кривизны нашего трехмерного фактормногообразия. Он имеет только две независимые нетривиальные компоненты:

${R^{\hat {2}}}_{{\hat {3}}{\hat {2}}{\hat {3}}}={\frac {-3\,\omega ^{2}}{(1-\omega ^{2}r^{2})^{2}}}=-3\,\omega ^{2}+O(\omega ^{4}\,r^{2}),$

${R^{\hat {3}}}_{{\hat {2}}{\hat {3}}{\hat {2}}}={\frac {-3\,\omega ^{2}\,r^{2}}{(1-\omega ^{2}r^{2})^{3}}}=-3\,\omega ^{2}\,r^{2}+O(\omega ^{4}\,r^{4}).$

Таким образом, в некотором смысле геометрия вращающегося диска искривлена , как утверждал (без доказательства) Теодор Калуца ​​еще в 1910 году. Фактически, до второго порядка по ω он имеет геометрию гиперболической плоскости, как и утверждал Калуца.

Предупреждение: как мы видели, существует множество возможных понятий расстояния, которые могут использовать ланжевенские наблюдатели, едущие на жестко вращающемся диске, поэтому утверждения, относящиеся к «геометрии вращающегося диска», всегда требуют тщательного уточнения.

Чтобы понять этот важный момент, давайте воспользуемся метрикой Ландау-Лифшица для вычисления расстояния между наблюдателем Ланжевена, едущим по кольцу радиусом R ₀ , и центральным статическим наблюдателем. Для этого нам нужно всего лишь интегрировать наш линейный элемент по соответствующему нулевому геодезическому пути. Из нашей предыдущей работы мы видим, что нам необходимо подключить

$\mathrm {d} r={\frac {\mathrm {d} \phi }{\omega }},\,\mathrm {d} z=0$

в наш линейный элемент и интегрируем

$\int _{0}^{\Delta }\mathrm {d} \sigma =\int \limits _{0}^{r_{0}}{\left(1+{\frac {\omega ^{2}r^{2}}{1-\omega ^{2}r^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}\,\mathrm {d} r.$

Это дает

$\Delta =\int _{0}^{r_{0}}{\frac {\mathrm {d} r}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}={\frac {\arcsin(\omega r_{0})}{\omega }}=r_{0}+{\frac {\omega ^{2}\,r_{0}^{3}}{6}}+O(r_{0}^{5}).$

Поскольку сейчас мы имеем дело с римановой метрикой, это понятие расстояния, конечно, симметрично при замене двух наблюдателей, в отличие от радиолокационного расстояния «в целом». Значения, определяемые этим понятием, противоречат радиолокационным расстояниям «в целом», рассчитанным в предыдущем разделе. Кроме того, поскольку до второго порядка метрика Ландау-Лифшица согласуется с соглашением Эйнштейна о синхронизации, мы видим, что только что вычисленный нами тензор кривизны действительно имеет эксплуатационное значение: в то время как радиолокационное расстояние «в целом» между парами ланжевенских наблюдателей, конечно, не является Риманово понятие расстояния : расстояние между парами соседних ланжевенских наблюдателей действительно соответствует риманову расстоянию, определяемому метрикой Ланжевена-Ландау-Лифшица. (По удачному выражению Говарда Перси Робертсона , это кинематика в Кляйнене .)

Один из способов убедиться в том, что все разумные представления о пространственном расстоянии для наших ланжевенских наблюдателей совпадают с близкими наблюдателями, состоит в том, чтобы показать, вслед за Натаном Розеном , что для любого одного ланжевенского наблюдателя мгновенно движущийся вместе с ним инерциальный наблюдатель также получит расстояния, заданные ланжевеновскими наблюдателями. -Метрика Ландау-Лифшица, для очень малых расстояний.

См. также

• Парадокс Эренфеста — иногда спорная тема, которую часто изучают с использованием карты Борна.
• Волоконно-оптический гироскоп
• Координаты Риндлера — еще одна полезная диаграмма координат, адаптированная для другого важного семейства ускоренных наблюдателей в пространстве-времени Минковского ; в этой статье также подчеркивается существование различных понятий расстояния, которые могут использоваться такими наблюдателями.
• Эффект Саньяка

Ссылки

Несколько документов, представляющих исторический интерес:

• Борн, М. (1909). «Теория жесткого электрона в кинематике принципа относительности» . Энн. Физ . 30 (11): 1–56. Бибкод : 1909АнП...335....1Б . дои : 10.1002/andp.19093351102 .
  • Перевод из Wikisource: Теория жесткого электрона в кинематике принципа относительности
• Эренфест, П. (1909). «Равномерное вращение твердых тел и теория относительности». Физ. З. 10 : 918. Бибкод : 1909PhyZ...10..918E .
  • Перевод из Wikisource: Равномерное вращение твердых тел и теория относительности
• Ланжевен, П. (1935). «Замечания о сливовой ноте». ЧР акад. наук. Париж . 200 :48.

Несколько классических отсылок:

• Грён, О. (1975). «Релятивистское описание вращающегося диска». Являюсь. Дж. Физ . 43 (10): 869–876. Бибкод : 1975AmJPh..43..869G . дои : 10.1119/1.9969 .
• Ландау, Л.Д. и Лифшиц, Э.М. (1980). Классическая теория полей (4-е изд.) . Лондон: Баттерворт-Хайнеманн. ISBN  0-7506-2768-9 . См. раздел 84 о метрике Ландау-Лифшица на факторе лоренцева многообразия по стационарной конгруэнции; см. проблему в конце раздела 89 для применения к наблюдателям Ланжевена.

Избранные недавние источники:

• Рицци, Г. и Руджеро, М.Л. (2004). Относительность во вращающихся системах отсчета . Дордрехт: Клювер. ISBN  1-4020-1805-3 . Эта книга содержит ценный исторический обзор Эйвинда Грона и некоторые другие статьи о парадоксе Эренфеста и связанных с ним противоречиях, а также статью Луиса Беля, в которой обсуждается соответствие Ланжевена. В этой книге можно найти сотни дополнительных ссылок.
• Паури, Массимо и Валлиснери, Микеле (2000). «Координаты Мерцке-Уиллера для ускоренных наблюдателей в специальной теории относительности». Найденный. Физ. Летт . 13 (5): 401–425. arXiv : gr-qc/0006095 . Бибкод : 2000gr.qc.....6095P . дои : 10.1023/А:1007861914639 . S2CID   15097773 . Изучает карту координат, построенную с использованием радиолокационного расстояния «в целом» от одного наблюдателя Ланжевена. См. также версию для электронной печати .

Внешние ссылки

• «Жесткий вращающийся диск в теории относительности» , Майкл Вайс (1995), из FAQ по научной физике .