Самая внутренняя стабильная круговая орбита

Самая внутренняя стабильная круговая орбита (часто называемая ISCO ) — это наименьшая маргинально стабильная круговая орбита, на которой пробная частица может стабильно вращаться вокруг массивного объекта в общей теории относительности . Расположение ISCO, ISCO-радиус ( $r_{\mathrm {isco} }$), зависит от массы и углового момента (спина) центрального объекта. ISCO играет важную роль в аккреционных дисках черных дыр , поскольку отмечает внутренний край диска.

ISCO не следует путать с пределом Роша , самой внутренней точкой, в которой физический объект может вращаться по орбите, прежде чем приливные силы разрушат его. ISCO занимается теоретическими пробными частицами , а не реальными объектами. В общих чертах, ISCO будет намного ближе к центральному объекту, чем предел Роша.

Основная концепция

В классической механике пробной частицы орбита достигается, когда угловой момент достаточен, чтобы противостоять силе гравитации центрального объекта. По мере приближения пробной частицы к центральному объекту требуемая величина углового момента возрастает из-за закона обратных квадратов гравитации. Это можно увидеть на практике на искусственных спутников орбитах ; на геостационарной орбите на высоте 35 786 километров (22 236 миль) орбитальная скорость составляет 10 800 километров в час (6700 миль в час), тогда как на низкой околоземной орбите она составляет 27 000 километров в час (17 000 миль в час). Орбиты могут быть достигнуты на любой высоте, поскольку в классической механике не существует верхнего предела скорости.

Общая теория относительности (ОТО) вводит верхний предел скорости любого объекта: скорость света . Если пробная частица опускается на орбиту к центральному объекту в ОТО, пробной частице в конечном итоге потребуется скорость, превышающая скорость света, чтобы поддерживать орбиту. Это определяет самую внутреннюю возможную мгновенную орбиту, известную как самая внутренняя круговая орбита, которая находится в 1,5 раза больше радиуса Шварцшильда (для черной дыры, управляемой метрикой Шварцшильда ). Это расстояние также известно как фотонная сфера .

В ОТО гравитация не рассматривается как центральная сила, притягивающая объекты; вместо этого он действует, искажая пространство-время , таким образом изменяя путь, по которому может пройти любая пробная частица. ISCO является результатом притягивающего члена в уравнении, представляющем энергию пробной частицы вблизи центрального объекта. Этот член не может быть компенсирован дополнительным угловым моментом, и любая частица в пределах этого радиуса будет двигаться по спирали к центру. Точная природа этого термина зависит от условий центрального объекта (т.е. имеет ли черная дыра угловой момент ).

Невращающиеся черные дыры

Для невращающегося массивного объекта, где гравитационное поле можно выразить с помощью метрики Шварцшильда , ISCO находится в точке

$r_{\mathrm {ms} }=6{\frac {GM}{c^{2}}}=3R_{S},$

где $R_{S}$ - радиус Шварцшильда массивного объекта с массой $M$. Таким образом, даже для невращающегося объекта радиус ISCO всего в три раза превышает радиус Шварцшильда , $R_{S}$, что позволяет предположить, что только черные дыры и нейтронные звезды имеют самые внутренние стабильные круговые орбиты за пределами своей поверхности. По мере увеличения углового момента центрального объекта $r_{\mathrm {isco} }$ уменьшается.

Связанные круговые орбиты все еще возможны между ISCO и так называемой маргинально связанной орбитой, радиус которой составляет

$r_{\mathrm {mb} }=4{\frac {GM}{c^{2}}}={2R_{S}},$

но они нестабильны. Между $r_{\mathrm {mb} }$ а для фотонной сферы возможны так называемые несвязанные орбиты, которые чрезвычайно нестабильны и дают общую энергию, превышающую массу покоя на бесконечности.

Для безмассовой пробной частицы, такой как фотон, единственная возможная, но нестабильная круговая орбита находится точно на фотонной сфере . Внутри фотонной сферы не существует круговых орбит. Его радиус

$r_{\mathrm {ph} }=3{\frac {GM}{c^{2}}}={1.5R_{S}}.$

Отсутствие стабильности внутри ISCO объясняется тем, что понижение орбиты не высвобождает достаточно потенциальной энергии для необходимой орбитальной скорости: получаемое ускорение слишком мало. Обычно это показывается графиком орбитального эффективного потенциала , который является самым низким в ISCO.

Вращающиеся черные дыры

Случай с вращающимися черными дырами несколько сложнее. Экваториальный ISCO в метрике Керра зависит от того, является ли орбита прямой (отрицательный знак в $r_{\mathrm {ms} }$) или ретроградный (положительный знак в $r_{\mathrm {ms} }$):

$r_{\mathrm {ms} }={\frac {GM}{c^{2}}}\left(3+Z_{2}\pm {\sqrt {(3-Z_{1})(3+Z_{1}+2Z_{2})}}\right)\leq 9{\frac {GM}{c^{2}}}=4.5R_{S}$

где

$Z_{1}=1+{\sqrt[{3}]{1-\chi ^{2}}}\left({\sqrt[{3}]{1+\chi }}+{\sqrt[{3}]{1-\chi }}\right)$

$Z_{2}={\sqrt {3\chi ^{2}+Z_{1}^{2}}}$

с параметром вращения $\chi =2a/R_{S}=cJ/(M^{2}G)$.

Поскольку скорость вращения черной дыры увеличивается до максимума $\chi \to 1$, прямой ISCO, маргинально связанный радиус и радиус фотонной сферы уменьшаются до радиуса горизонта событий на так называемом гравитационном радиусе, который, тем не менее, все еще логически и локально различим.

$r_{\mathrm {ms} }\to r_{\mathrm {mb} }\to r_{\mathrm {ph} }\to r_{E}\to r_{G}=GM/c^{2}$

Таким образом, ретроградные радиусы увеличиваются в направлении

$r_{\mathrm {ms} }\to 9{\frac {GM}{c^{2}}}=4.5R_{S}$

$r_{\mathrm {mb} }={\frac {GM}{c^{2}}}(1+{\sqrt {1\pm \chi }})^{2}\to {\frac {3+{\sqrt {8}}}{2}}R_{S}\approx 5.828427{\frac {GM}{c^{2}}}\approx 2.9142R_{S}$,

$r_{\mathrm {ph} }=2{\frac {GM}{c^{2}}}(1+\cos({\tfrac {2}{3}}\cos ^{-1}(\pm \chi )))\to 4{\frac {GM}{c^{2}}}=2R_{S}$.

Если частица также вращается, происходит дальнейшее разделение радиуса ISCO в зависимости от того, ориентировано ли вращение по направлению вращения черной дыры или против него.

Внешние ссылки

• Лео К. Стейн, калькулятор Керра V2 [1]