Вывод решения Шварцшильда

Решение Шварцшильда описывает пространство-время под воздействием массивного, невращающегося, сферически-симметричного объекта. Некоторые считают его одним из самых простых и полезных решений уравнений поля Эйнштейна .

Предположения и обозначения

Работа в координатной карте с координатами $\left(r,\theta ,\phi ,t\right)$ обозначенные цифрами от 1 до 4 соответственно, мы начинаем с метрики в ее наиболее общей форме (10 независимых компонентов, каждая из которых представляет собой гладкую функцию четырех переменных). Решение предполагается сферически симметричным, статическим и вакуумным. Для целей данной статьи эти предположения можно сформулировать следующим образом (точные определения см. в соответствующих ссылках):

1. Сферически -симметричное пространство-время инвариантно относительно вращений и зеркального отображения.
2. Статическое пространство-время — это пространство, в котором все компоненты метрики не зависят от временной координаты. $t$ (так что ${\tfrac {\partial }{\partial t}}g_{\mu \nu }=0$) и геометрия пространства-времени не меняется при обращении времени $t\rightarrow -t$.
3. Вакуумное решение — это решение, удовлетворяющее уравнению $T_{ab}=0$. Из уравнений поля Эйнштейна (с нулевой космологической постоянной ) это означает, что $R_{ab}=0$ с момента заключения контракта $R_{ab}-{\tfrac {R}{2}}g_{ab}=0$ урожайность $R=0$.
4. метрическая подпись (+,+,+,−). Здесь используется

Диагонализация метрики

Первое упрощение, которое необходимо сделать, — это диагонализация метрики. При координат преобразовании $(r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,\phi ,-t)$, все компоненты метрики должны оставаться прежними. Компоненты метрики $g_{\mu 4}$ ( $\mu \neq 4$) изменяются при этом преобразовании как:

$g_{\mu 4}'={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{'\mu }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{'4}}}g_{\alpha \beta }=-g_{\mu 4}$ ( $\mu \neq 4$)

Но, как мы ожидаем $g'_{\mu 4}=g_{\mu 4}$ (компоненты метрики остаются прежними), это означает, что:

$g_{\mu 4}=\,0$ ( $\mu \neq 4$)

Аналогично преобразования координат $(r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,-\phi ,t)$ и $(r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,-\theta ,\phi ,t)$ соответственно дать:

$g_{\mu 3}=\,0$ ( $\mu \neq 3$)

$g_{\mu 2}=\,0$ ( $\mu \neq 2$)

Объединение всего этого дает:

$g_{\mu \nu }=\,0$ ( $\mu \neq \nu$)

и, следовательно, метрика должна иметь вид:

$ds^{2}=\,g_{11}\,dr^{2}+g_{22}\,d\theta ^{2}+g_{33}\,d\phi ^{2}+g_{44}\,dt^{2}$

где четыре компонента метрики не зависят от временной координаты $t$ (по статическому предположению).

Упрощение компонентов

На каждой гиперповерхности постоянного $t$, постоянный $\theta$ и постоянный $\phi$ (т.е. на каждой радиальной линии), $g_{11}$ должно зависеть только от $r$ (по сферической симметрии). Следовательно $g_{11}$ является функцией одной переменной:

$g_{11}=A\left(r\right)$

Аналогичный аргумент применим и к $g_{44}$ показывает, что:

$g_{44}=B\left(r\right)$

На гиперповерхностях постоянного $t$ и постоянный $r$, требуется, чтобы метрика была метрикой 2-сферы:

$dl^{2}=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})$

Выбрав одну из этих гиперповерхностей (то есть с радиусом $r_{0}$, скажем), компоненты метрики, ограниченные этой гиперповерхностью (которую мы обозначаем через ${\tilde {g}}_{22}$ и ${\tilde {g}}_{33}$) должно оставаться неизменным при поворотах через $\theta$ и $\phi$ (опять же по сферической симметрии). Сравнение форм метрики на этой гиперповерхности дает:

${\tilde {g}}_{22}\left(d\theta ^{2}+{\frac {{\tilde {g}}_{33}}{{\tilde {g}}_{22}}}\,d\phi ^{2}\right)=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})$

что сразу дает:

${\tilde {g}}_{22}=r_{0}^{2}$ и ${\tilde {g}}_{33}=r_{0}^{2}\sin ^{2}\theta$

Но это необходимо для того, чтобы удерживаться на каждой гиперповерхности; следовательно,

$g_{22}=\,r^{2}$ и $g_{33}=\,r^{2}\sin ^{2}\theta$

Альтернативный интуитивный способ увидеть это $g_{22}$ и $g_{33}$ должно быть таким же, как и для плоского пространства-времени, заключается в том, что растяжение или сжатие упругого материала сферически симметричным образом (радиально) не приведет к изменению углового расстояния между двумя точками.

Таким образом, метрику можно представить в виде:

$ds^{2}=A\left(r\right)dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+B\left(r\right)dt^{2}$

с $A$ и $B$ еще не определенные функции $r$. Обратите внимание, что если $A$ или $B$ равна нулю в какой-то точке, метрика будет сингулярной в этой точке .

Вычисление символов Кристоффеля

Используя приведенную выше метрику, находим символы Кристоффеля , где индексы равны $(1,2,3,4)=(r,\theta ,\phi ,t)$. Знак $'$ обозначает полную производную функции.

$\Gamma _{ik}^{1}={\begin{bmatrix}A'/\left(2A\right)&0&0&0\\0&-r/A&0&0\\0&0&-r\sin ^{2}\theta /A&0\\0&0&0&-B'/\left(2A\right)\end{bmatrix}}$

$\Gamma _{ik}^{2}={\begin{bmatrix}0&1/r&0&0\\1/r&0&0&0\\0&0&-\sin \theta \cos \theta &0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

$\Gamma _{ik}^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1/r&0\\0&0&\cot \theta &0\\1/r&\cot \theta &0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

$\Gamma _{ik}^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&B'/\left(2B\right)\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\B'/\left(2B\right)&0&0&0\end{bmatrix}}$

Используя уравнения поля, чтобы найти A ( r ) и B ( r )

Чтобы определить $A$ и $B$, уравнения вакуумного поля используются :

$R_{\alpha \beta }=\,0$

Следовательно:

${\Gamma _{\beta \alpha ,\rho }^{\rho }}-\Gamma _{\rho \alpha ,\beta }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\beta \alpha }^{\lambda }-\Gamma _{\beta \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \alpha }^{\lambda }=0\,,$

где запятая используется для выделения индекса, используемого для производной. Кривизна Риччи диагональна в данных координатах:

$R_{tt}=-{\frac {1}{4}}{\frac {B'}{A}}\left({\frac {A'}{A}}-{\frac {B'}{B}}+{\frac {4}{r}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {B'}{A}}\right)^{'}\,,$

$R_{rr}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {B'}{B}}\right)^{'}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {B'}{B}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}{\frac {A'}{A}}\left({\frac {B'}{B}}+{\frac {4}{r}}\right)\,,$

$R_{\theta \theta }=1-\left({\frac {r}{A}}\right)^{'}-{\frac {r}{2A}}\left({\frac {A'}{A}}+{\frac {B'}{B}}\right)\,,$

$R_{\phi \phi }=\sin ^{2}(\theta )R_{\theta \theta },$

где штрих означает r производную функции.

Только три из уравнений поля нетривиальны (четвертое уравнение просто $\sin ^{2}\theta$ умноженное на третье уравнение) и при упрощении становятся соответственно:

$4A'B^{2}-2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A=0$,

$-2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A-4B'AB=0$,

$rA'B+2A^{2}B-2AB-rB'A=0$

Вычитание первого и второго уравнений дает:

$A'B+AB'=0\Rightarrow A(r)B(r)=K$

где $K$ является ненулевой действительной константой. Замена $A(r)B(r)\,=K$ в третье уравнение и приведение в порядок дает:

$rA'=A(1-A)$

который имеет общее решение:

$A(r)=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}$

для некоторой ненулевой действительной константы $S$. Следовательно, метрика для статического сферически-симметричного вакуумного решения теперь имеет вид:

$ds^{2}=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})+K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)dt^{2}$

Обратите внимание, что пространство-время, представленное вышеуказанной метрикой, асимптотически плоское , т.е. как $r\rightarrow \infty$метрика приближается к метрике Минковского , а пространственно-временное многообразие напоминает пространство Минковского .

Используя приближение слабого поля, чтобы найти K и S

На этой диаграмме показан путь поиска решения Шварцшильда с использованием приближения слабого поля. Равенство во второй строке дает g ₄₄ = − c ² + 2 GM / r , предполагая, что искомое решение вырождается в метрику Минковского, когда движение происходит далеко от черной дыры ( r приближается к положительной бесконечности).

Геодезические метрики (полученные при $ds$ экстремум) должен в некотором пределе (например, в направлении бесконечной скорости света) согласовываться с решениями ньютоновского движения (например, полученными с помощью уравнений Лагранжа ). (Метрика также должна ограничиваться пространством Минковского , когда представляемая ею масса исчезает.)

$0=\delta \int {\frac {ds}{dt}}dt=\delta \int (KE+PE_{g})dt$

(где $KE$ это кинетическая энергия и $PE_{g}$ – потенциальная энергия гравитации) Константы $K$ и $S$ полностью определяются каким-либо вариантом этого подхода; из приближения слабого поля приходим к результату:

$g_{44}=K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)\approx -c^{2}+{\frac {2Gm}{r}}=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)$

где $G$ гравитационная постоянная , $m$ - масса источника гравитации и $c$ это скорость света. Обнаружено, что:

$K=\,-c^{2}$ и ${\frac {1}{S}}=-{\frac {2Gm}{c^{2}}}$

Следовательно:

$A(r)=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}$ и $B(r)=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)$

Итак, метрику Шварцшильда окончательно можно записать в виде:

$ds^{2}=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)dt^{2}$

Обратите внимание, что:

${\frac {2Gm}{c^{2}}}=r_{s}$

это определение радиуса Шварцшильда для объекта массы $m$, поэтому метрику Шварцшильда можно переписать в альтернативном виде:

$ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)dt^{2}$

который показывает, что метрика становится сингулярной при приближении к горизонту событий (т. е. $r\rightarrow r_{s}$). Метрическая особенность не является физической (хотя реальная физическая особенность существует при $r=0$), что можно показать с помощью подходящего преобразования координат (например, системы координат Крускала – Секереса ).

Альтернативный вывод с использованием известной физики в особых случаях

Метрику Шварцшильда также можно получить, используя известную физику для круговой орбиты и временно стационарной точечной массы. Начните с метрики с коэффициентами, которые являются неизвестными коэффициентами $r$:

$-c^{2}=\left({ds \over d\tau }\right)^{2}=A(r)\left({dr \over d\tau }\right)^{2}+r^{2}\left({d\phi \over d\tau }\right)^{2}+B(r)\left({dt \over d\tau }\right)^{2}.$

Теперь применим уравнение Эйлера – Лагранжа к интегралу длины дуги. ${J=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\sqrt {-\left({\text{d}}s/{\text{d}}\tau \right)^{2}}}\,{\text{d}}\tau .}$ С $ds/d\tau$ является константой, подынтегральную функцию можно заменить на $({\text{d}}s/{\text{d}}\tau )^{2},$ потому что уравнение E – L будет точно таким же, если подынтегральная функция умножается на любую константу. Применяя уравнение E – L к $J$ с измененным подынтегральным выражением дает:

${\begin{array}{lcl}A'(r){\dot {r}}^{2}+2r{\dot {\phi }}^{2}+B'(r){\dot {t}}^{2}&=&2A'(r){\dot {r}}^{2}+2A(r){\ddot {r}}\\0&=&2r{\dot {r}}{\dot {\phi }}+r^{2}{\ddot {\phi }}\\0&=&B'(r){\dot {r}}{\dot {t}}+B(r){\ddot {t}}\end{array}}$

где точка означает дифференцирование по $\tau .$

На круговой орбите ${\dot {r}}={\ddot {r}}=0,$ поэтому первое уравнение E – L, приведенное выше, эквивалентно

$2r{\dot {\phi }}^{2}+B'(r){\dot {t}}^{2}=0\Leftrightarrow B'(r)=-2r{\dot {\phi }}^{2}/{\dot {t}}^{2}=-2r(d\phi /dt)^{2}.$

Третий закон движения Кеплера :

${\frac {T^{2}}{r^{3}}}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}.$

На круговой орбите период $T$ равно $2\pi /(d\phi /dt),$ подразумевая

$\left({d\phi \over dt}\right)^{2}=GM/r^{3}$

поскольку точечная масса $m$ пренебрежимо мала по сравнению с массой центрального тела $M.$ Так $B'(r)=-2GM/r^{2}$ и интеграция этого дает $B(r)=2GM/r+C,$ где $C$ – неизвестная константа интегрирования. $C$ можно определить, установив $M=0,$ в этом случае пространство-время плоское и $B(r)=-c^{2}.$ Так $C=-c^{2}$ и

$B(r)=2GM/r-c^{2}=c^{2}(2GM/c^{2}r-1)=c^{2}(r_{s}/r-1).$

Когда точечная масса временно неподвижна, ${\dot {r}}=0$ и ${\dot {\phi }}=0.$ Исходное метрическое уравнение принимает вид ${\dot {t}}^{2}=-c^{2}/B(r)$ и первое уравнение E – L, приведенное выше, принимает вид $A(r)=B'(r){\dot {t}}^{2}/(2{\ddot {r}}).$ Когда точечная масса временно неподвижна, ${\ddot {r}}$ это ускорение силы тяжести , $-MG/r^{2}.$ Так

$A(r)=\left({\frac {-2MG}{r^{2}}}\right)\left({\frac {-c^{2}}{2MG/r-c^{2}}}\right)\left(-{\frac {r^{2}}{2MG}}\right)={\frac {1}{1-2MG/(rc^{2})}}={\frac {1}{1-r_{s}/r}}.$

Альтернативная форма в изотропных координатах

В исходной формулировке метрики используются анизотропные координаты, в которых скорость света не одинакова в радиальном и поперечном направлениях. Артур Эддингтон дал альтернативные формы в изотропных координатах . Для изотропных сферических координат $r_{1}$, $\theta$, $\phi$, координаты $\theta$ и $\phi$ остаются неизменными, и тогда (при условии $r\geq {\frac {2Gm}{c^{2}}}$)

$r=r_{1}\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}$     ,   $dr=dr_{1}\left(1-{\frac {(Gm)^{2}}{4c^{4}r_{1}^{2}}}\right)$ , и

$\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)=\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}/\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}$

Тогда для изотропных прямоугольных координат $x$, $y$, $z$,

$x=r_{1}\,\sin(\theta )\,\cos(\phi )\quad ,$   $y=r_{1}\,\sin(\theta )\,\sin(\phi )\quad ,$   $z=r_{1}\,\cos(\theta )$

Тогда метрика в изотропных прямоугольных координатах принимает вид:

$ds^{2}=\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{4}(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})-c^{2}dt^{2}\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}/\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}$

Отказ от статического предположения - теорема Биркгофа.

При выводе метрики Шварцшильда предполагалось, что метрика вакуумная, сферически симметричная и статичная . В статическом предположении нет необходимости, поскольку Биркгофа утверждает, что любое сферически симметричное вакуумное решение уравнений поля Эйнштейна стационарно теорема ; Таким образом, следует решение Шварцшильда. Теорема Биркгофа приводит к тому, что любая пульсирующая звезда, остающаяся сферически симметричной, не генерирует гравитационные волны , поскольку область вне звезды остается статичной.

См. также

• Карл Шварцшильд
• Метрика Керра
• Метрика Рейсснера – Нордстрема