Координаты светового конуса

В физике , особенно в специальной теории относительности , координаты светового конуса , введенные Полем Дираком. и также известные как координаты Дирака, представляют собой специальную систему координат, в которой две оси координат объединяют пространство и время, в то время как все остальные являются пространственными.

Мотивация

Плоскость пространства-времени может быть связана с плоскостью расщепленных комплексных чисел , на которую воздействуют элементы единичной гиперболы, вызывая усиление Лоренца. Эта числовая плоскость имеет оси, соответствующие времени и пространству. Альтернативным базисом является диагональный базис , соответствующий координатам светового конуса.

Координаты светового конуса в специальной теории относительности

В системе координат светового конуса две координаты являются нулевыми векторами , а все остальные координаты являются пространственными. Первое можно обозначить $x^{+}$ и $x^{-}$ и последний $x_{\perp }$.

Предположим, мы работаем с (d,1) лоренцевой сигнатурой.

Вместо стандартной системы координат (в обозначениях Эйнштейна )

$ds^{2}=-dt^{2}+\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}$,

с $i,j=1,\dots ,d$ у нас есть

$ds^{2}=-2dx^{+}dx^{-}+\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}$

с $i,j=1,\dots ,d-1$, $x^{+}={\frac {t+x}{\sqrt {2}}}$ и $x^{-}={\frac {t-x}{\sqrt {2}}}$.

Оба $x^{+}$ и $x^{-}$ могут выступать в качестве координат «времени».

В координатах светового конуса есть одна приятная особенность: причинная структура частично включена в саму систему координат.

Повышение уровня $(t,x)$ плоскость отображается как карта сжатия $x^{+}\to e^{+\beta }x^{+}$, $x^{-}\to e^{-\beta }x^{-}$, $x^{i}\to x^{i}$. Ротация в $(i,j)$-самолет влияет только $x_{\perp }$.

Параболические преобразования проявляются как $x^{+}\to x^{+}$, $x^{-}\to x^{-}+\delta _{ij}\alpha ^{i}x^{j}+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}x^{+}$, $x^{i}\to x^{i}+\alpha ^{i}x^{+}$. Другой набор параболических преобразований выглядит как $x^{+}\to x^{+}+\delta _{ij}\alpha ^{i}x^{j}+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}x^{-}$, $x^{-}\to x^{-}$ и $x^{i}\to x^{i}+\alpha ^{i}x^{-}$.

Координаты светового конуса также можно обобщить на искривленное пространство-время в общей теории относительности. Иногда расчеты упрощают, используя координаты светового конуса. См. формализм Ньюмана-Пенроуза .Координаты светового конуса иногда используются для описания релятивистских столкновений, особенно если относительная скорость очень близка к скорости света. Они также используются в калибровке светового конуса теории струн.

Координаты светового конуса в теории струн

Замкнутая струна является обобщением частицы. Пространственную координату точки на струне удобно описывать параметром $\sigma$ который бежит от $0$ к $2\pi$. Время соответствующим образом описывается параметром $\sigma _{0}$. Связывание каждой точки струны в D-мерном пространстве-времени с координатами. $x_{0},x$ и поперечные координаты $x_{i},i=2,...,D$, эти координаты играют роль полей в $1+1$ многомерная теория поля. Очевидно, что для такой теории требуется нечто большее. Удобно использовать вместо $x_{0}=\sigma _{0}$ и $x$, координаты светового конуса $x_{\pm }$ данный

$x_{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(x_{0}\pm x)$

так что метрика $ds^{2}$ дается

$ds^{2}=2dx_{+}dx_{-}-(dx_{i})^{2}$

(суммирование по $i$ понял).Есть некоторая калибровочная свобода. Во-первых, мы можем установить $x_{+}=\sigma _{0}$ и рассматривать эту степень свободы как переменную времени. Инвариантность репараметризации при $\sigma \rightarrow \sigma +\delta \sigma$ может быть наложено с ограничением ${\mathcal {L}}_{0}=0$ которое мы получаем из метрики, т.е.

${\mathcal {L}}_{0}={\frac {dx_{-}}{d\sigma }}-{\frac {dx_{i}}{d\sigma }}{\frac {dx_{i}}{d\sigma _{0}}}=0.$

Таким образом $x_{-}$ больше не является независимой степенью свободы. Сейчас ${\mathcal {L}}_{0}$ может быть идентифицирован как соответствующий заряд Нётера . Учитывать ${\mathcal {L}}_{0}(x_{-},x_{i})$. Тогда, используя уравнения Эйлера-Лагранжа для $x_{i}$ и $x_{-}$ получается

$\delta {\mathcal {L}}_{0}={\frac {\partial }{\partial \sigma }}{\bigg (}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{0}}{\partial (\partial x_{i}/\partial \sigma )}}\delta x_{i}+\delta x_{-}{\bigg )}.$

Приравнивая это к

$\delta {\mathcal {L}}_{0}={\frac {\partial }{\partial \sigma }}(Q\delta \sigma ),$

где $Q$ – заряд Нётера, получаем:

$Q={\frac {\partial {\mathcal {L}}_{0}}{\partial (\partial x_{i}/\partial \sigma )}}{\frac {\delta x_{i}}{\delta \sigma }}+{\frac {\delta x_{-}}{\delta \sigma }}=-{\frac {dx_{i}}{d\sigma _{0}}}{\frac {\delta x_{i}}{\delta \sigma }}+{\frac {\delta x_{-}}{\delta \sigma }}={\mathcal {L}}_{0}.$

Этот результат согласуется с результатом, приведенным в литературе.

Свободное движение частицы в координатах светового конуса

Для свободной частицы массы $m$ действие это

$S=\int {\mathcal {L}}d\sigma ,\;\;\;{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}{\bigg [}{\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }}{\frac {dx_{\mu }}{d\sigma }}+m^{2}{\bigg ]}.$

В координатах светового конуса ${\mathcal {L}}$ становится с $\sigma =x_{+}$ как переменная времени:

${\mathcal {L}}=-{\frac {dx_{-}}{d\sigma }}+{\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {dx_{i}}{d\sigma }}{\bigg )}^{2}-{\frac {m^{2}}{2}}.$

Канонические импульсы

$p_{-}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (dx_{-}/d\sigma )}}=-1,\;\;\;p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (dx_{i}/d\sigma )}}={\frac {dx_{i}}{d\sigma }}.$

Гамильтониан это ( $\hbar =c=1$):

${\mathcal {H}}={\dot {x}}_{-}p_{-}+{\dot {x}}_{i}p_{i}-{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}p_{i}^{2}+{\frac {1}{2}}m^{2},$

а нерелятивистские уравнения Гамильтона предполагают:

$x_{i}(\sigma )=p_{i}\sigma +{\it {const.}}.$

Теперь это можно расширить до свободной строки.

См. также

• Формализм Ньюмана – Пенроуза