Метрически-аффинная теория гравитации

По сравнению с общей теорией относительности динамические переменные метрико-аффинной теории гравитации представляют собой одновременно псевдориманову метрику и общую линейную связность на мировом многообразии. $X$ . Метрически-аффинная теория гравитации была предложена как естественное обобщение Эйнштейна-Картана теории гравитации с кручением , где линейная связь подчиняется условию, что ковариантная производная метрики равна нулю. ^{[ 1 ]}

Метрически-аффинная теория гравитации напрямую происходит из калибровочной теории гравитации , где роль калибровочного поля играет общая линейная связность . ^{[ 2 ]} Позволять $TX$ — касательное расслоение над многообразием $X$ предоставляется с координатами пакета $(x^{\mu },{\dot {x}}^{\mu })$ . Общая линейная связь на $TX$ представлена формой касательного значения соединения :

\Gamma =dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }{}^{\mu }{}_{\nu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {\partial }}_{\mu }).

^{[ 3 ]}

Он связан с основным соединением в основном пакете кадров. $FX$ кадров в касательных пространствах к $X$ которого структурная группа является общей линейной группой $GL(4,\mathbb {R} )$ . ^{[ 4 ]} Следовательно, его можно рассматривать как калибровочное поле . Псевдориманова метрика $g=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }$ на $TX$ определяется как глобальное сечение факторрасслоения $FX/SO(1,3)\to X$ , где $SO(1,3)$ есть группа Лоренца . Поэтому его можно рассматривать как классическое поле Хиггса в калибровочной теории гравитации. Калибровочные симметрии метрико-аффинной теории гравитации являются общековариантными преобразованиями .

Существенно, что для псевдоримановой метрики $g$ , любая линейная связь $\Gamma$ на $TX$ допускает раскол

\Gamma _{\mu \nu \alpha }=\{_{\mu \nu \alpha }\}+{\frac {1}{2}}C_{\mu \nu \alpha }+S_{\mu \nu \alpha }

в символах Кристоффеля

\{_{\mu \nu \alpha }\}=-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }g_{\nu \alpha }+\partial _{\alpha }g_{\nu \mu }-\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }),

тензор неметричности

C_{\mu \nu \alpha }=C_{\mu \alpha \nu }=\nabla _{\mu }^{\Gamma }g_{\nu \alpha }=\partial _{\mu }g_{\nu \alpha }+\Gamma _{\mu \nu \alpha }+\Gamma _{\mu \alpha \nu }

и тензор конторсии

S_{\mu \nu \alpha }=-S_{\mu \alpha \nu }={\frac {1}{2}}(T_{\nu \mu \alpha }+T_{\nu \alpha \mu }+T_{\mu \nu \alpha }+C_{\alpha \nu \mu }-C_{\nu \alpha \mu }),

где

T_{\mu \nu \alpha }={\frac {1}{2}}(\Gamma _{\mu \nu \alpha }-\Gamma _{\alpha \nu \mu })

– кручения тензор $\Gamma$ .

Из-за этого расщепления метрико-аффинная теория гравитации обладает другим набором динамических переменных, которыми являются псевдориманова метрика, тензор неметричности и тензор кручения. Как следствие, лагранжиан метрически-аффинной теории гравитации может содержать различные члены, выраженные как в кривизне связности, так и в кривизне связности. $\Gamma$ и его тензоры кручения и неметричности. В частности, метрически-аффинная гравитация f(R) , лагранжиан которой является произвольной функцией скалярной кривизны $R$ из $\Gamma$ , считается.

Линейное соединение $\Gamma$ называется метрической связностью для псевдориманова метрика $g$ если $g$ – его целое сечение, т. е. условие метричности

\nabla _{\mu }^{\Gamma }g_{\nu \alpha }=0

держит. Метрическое соединение читается

\Gamma _{\mu \nu \alpha }=\{_{\mu \nu \alpha }\}+{\frac {1}{2}}(T_{\nu \mu \alpha }+T_{\nu \alpha \mu }+T_{\mu \nu \alpha }).

Например, связь Леви-Чивита в общей теории относительности представляет собой метрическую связь без кручения.

Метрическая связность связана с главной связностью на лоренц- приведенном подрасслоении. $F^{g}X$ из комплекта рамы $FX$ соответствующий разделу $g$ факторрасслоения $FX/SO(1,3)\to X$ . Ограничиваясь метрическими связностями, метрико-аффинная теория гравитации сводится к упомянутой выше теории гравитации Эйнштейна – Картана.

В то же время любая линейная связь $\Gamma$ определяет основное адаптированное соединение $\Gamma ^{g}$ на лоренц-приведенном подрасслоении $F^{g}X$ ее ограничением на подалгебру Лоренца алгебры Ли полной линейной группы $GL(4,\mathbb {R} )$ . Например, оператор Дирака в метрически-аффинной теории гравитации при наличии общей линейной связности $\Gamma$ четко определен и зависит только от адаптированной связи $\Gamma ^{g}$ . Следовательно, теорию гравитации Эйнштейна–Картана можно сформулировать как метрически-аффинную, не прибегая к ограничению метричности.

В метрически-аффинной теории гравитации, по сравнению с теорией Эйнштейна – Картана, возникает вопрос о материальном источнике тензора неметричности. Это так называемый гиперимпульс, например, ток Нётера скейлинговой симметрии .

См. также

Ссылки

^ Хель, ФРВ; МакКри, доктор юридических наук; Мильке, Э.В.; Нееман, Ю. (июль 1995 г.). «Метрически-аффинная калибровочная теория гравитации: уравнения поля, тождества Нётера, мировые спиноры и нарушение инвариантности расширения». Отчеты по физике . 258 (1–2): 1–171. arXiv : gr-qc/9402012 . дои : 10.1016/0370-1573(94)00111-F .
^ Лорд, Эрик А. (февраль 1978 г.). «Метрико-аффинная теория гравитации как калибровочная теория аффинной группы» . Буквы по физике А. 65 (1): 1–4. дои : 10.1016/0375-9601(78)90113-5 .
^ Губсер, СС; Клебанов, ИР; Поляков, А.М. (28 мая 1998 г.). «Корреляторы калибровочной теории из некритической теории струн» . Буквы по физике Б. 428 (1): 105–114. arXiv : hep-th/9802109 . дои : 10.1016/S0370-2693(98)00377-3 . ISSN 0370-2693 .
^ Сарданашвили, Г. (2002). «О геометрических основах классической калибровочной теории гравитации». arXiv : gr-qc/0201074 .

Хель, Ф.; МакКри, Дж.; Нееман, Ю. (1995). «Метрически-аффинная калибровочная теория гравитации: уравнения поля». Отчеты по физике . 258 (1–2): 1–171. arXiv : gr-qc/9402012 . дои : 10.1016/0370-1573(94)00111-F . ISSN 0370-1573 .
Витальяно, В.; Сотириу, Т.; Либерати, С. (2011). «Динамика метрически-аффинной гравитации». Анналы физики . 326 (5): 1259–1273. arXiv : 1008.0171 . дои : 10.1016/j.aop.2011.02.008 .
Г. Сарданашвили , Классическая калибровочная теория гравитации, Межд. Дж. Геом. Методы Мод. Физ. 8 (2011) 1869–1895; arXiv : 1110.1176
К. Карахан, А. Альтас, Д. Демир, Скаляры, векторы и тензоры из метрической аффинной гравитации, Общая теория относительности и гравитации 45 (2013) 319–343; arXiv : 1110.5168

[1] Хель, ФРВ; МакКри, доктор юридических наук; Мильке, Э.В.; Нееман, Ю. (июль 1995 г.). «Метрически-аффинная калибровочная теория гравитации: уравнения поля, тождества Нётера, мировые спиноры и нарушение инвариантности расширения». Отчеты по физике . 258 (1–2): 1–171. arXiv : gr-qc/9402012 . дои : 10.1016/0370-1573(94)00111-F .

[2] Лорд, Эрик А. (февраль 1978 г.). «Метрико-аффинная теория гравитации как калибровочная теория аффинной группы» . Буквы по физике А. 65 (1): 1–4. дои : 10.1016/0375-9601(78)90113-5 .

[3] Губсер, СС; Клебанов, ИР; Поляков, А.М. (28 мая 1998 г.). «Корреляторы калибровочной теории из некритической теории струн» . Буквы по физике Б. 428 (1): 105–114. arXiv : hep-th/9802109 . дои : 10.1016/S0370-2693(98)00377-3 . ISSN 0370-2693 .

[4] Сарданашвили, Г. (2002). «О геометрических основах классической калибровочной теории гравитации». arXiv : gr-qc/0201074 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]