Аффинная калибровочная теория

Аффинная калибровочная теория - это классическая калибровочная теория , в которой калибровочные поля представляют собой аффинные связности на касательном расслоении над гладким многообразием. $X$ . Например, это калибровочная теория дислокаций в сплошных средах , когда $X=\mathbb {R} ^{3}$ , обобщение метрически-аффинной теории гравитации, когда $X$ — мировое многообразие и, в частности, калибровочная теория пятой силы .

Аффинное касательное расслоение

Будучи векторным расслоением , касательное расслоение $TX$ из $n$ -мерное многообразие $X$ допускает естественную структуру аффинного расслоения $ATX$ , называемое аффинным касательным расслоением , обладающее атласами расслоений с аффинными функциями перехода. Он связан с основным пакетом $AFX$ аффинных систем отсчета в касательном пространстве над $X$ , структурная группа которого является общей аффинной группой $GA(n,\mathbb {R} )$ .

Касательное расслоение $TX$ связан с главным расслоением линейных фреймов $FX$ , структурная группа которого является общей линейной группой $GL(n,\mathbb {R} )$ . Это подгруппа $GA(n,\mathbb {R} )$ так что последний является полупрямым произведением $GL(n,\mathbb {R} )$ и группа $T^{n}$ переводов.

Имеет место каноническое вложение $FX$ к $AFX$ на приведенное главное подрасслоение , соответствующее канонической структуре векторного расслоения $TX$ как аффинный.

Даны линейные координаты расслоения

(x^{\mu },{\dot {x}}^{\mu }),\qquad {\dot {x}}'^{\mu }={\frac {\partial x'^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}{\dot {x}}^{\nu },\qquad \qquad (1)

на касательном расслоении $TX$ , аффинное касательное расслоение может быть снабжено координатами аффинного расслоения

(x^{\mu },{\widetilde {x}}^{\mu }={\dot {x}}^{\mu }+a^{\mu }(x^{\alpha })),\qquad {\widetilde {x}}'^{\mu }={\frac {\partial x'^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}{\widetilde {x}}^{\nu }+b^{\mu }(x^{\alpha }).\qquad \qquad (2)

и, в частности, с линейными координатами (1).

Аффинные калибровочные поля

Аффинное касательное расслоение $ATX$ допускает аффинную связь $A$ который связан с основным соединением в связке аффинных кадров $AFX$ . В аффинной калибровочной теории оно рассматривается как аффинное калибровочное поле .

Учитывая координаты линейного расслоения (1) на $ATX=TX$ , аффинная связь $A$ представлена формой касательного значения связи

A=dx^{\lambda }\otimes [\partial _{\lambda }+(\Gamma _{\lambda }{}^{\mu }{}_{\nu }(x^{\alpha }){\dot {x}}^{\nu }+\sigma _{\lambda }^{\mu }(x^{\alpha })){\dot {\partial }}_{\mu }].\qquad \qquad (3)

Это аффинное соединение определяет уникальное линейное соединение.

\Gamma =dx^{\lambda }\otimes [\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }{}^{\mu }{}_{\nu }(x^{\alpha }){\dot {x}}^{\nu }{\dot {\partial }}_{\mu }]\qquad \qquad (4)

на $TX$ , который связан с основным соединением на $FX$ .

И наоборот, каждая линейная связь $\Gamma$ (4) на $TX\to X$ продолжается до аффинного $A\Gamma$ на $ATX$ которое задается тем же выражением (4), что и $\Gamma$ относительно координат расслоения (1) на $ATX=TX$ , но оно принимает форму

A\Gamma =dx^{\lambda }\otimes [\partial _{\lambda }+(\Gamma _{\lambda }{}^{\mu }{}_{\nu }(x^{\alpha }){\widetilde {x}}^{\nu }+s_{\lambda }^{\mu }(x^{\alpha })){\widetilde {\partial }}_{\mu }],\qquad s_{\lambda }^{\mu }=-\Gamma _{\lambda }{}^{\mu }{}_{\nu }a^{\nu }+\partial _{\lambda }a^{\mu },

относительно аффинных координат (2).

Тогда любая аффинная связность $A$ (3) на $ATX\to X$ представлена суммой

A=A\Gamma +\sigma \qquad \qquad (5)

расширенной линейной связи $A\Gamma$ и базовая форма пайки

\sigma =\sigma _{\lambda }^{\mu }(x^{\alpha })dx^{\lambda }\otimes \partial _{\mu }\qquad \qquad (6)

на $TX$ , где ${\dot {\partial }}_{\mu }=\partial _{\mu }$ из-за канонического изоморфизма $VATX=ATX\times _{X}TX$ вертикального касательного расслоения $VATX$ из $ATX$ .

Относительно линейных координат (1) сумма (5) приводится к сумме $A=\Gamma +\sigma$ линейной связи $\Gamma$ и форма пайки $\sigma$ (6). В этом случае форма пайки $\sigma$ (6) часто трактуется как калибровочное поле перевода , хотя оно не является связностью.

Заметим, что истинное трансляционное калибровочное поле (т. е. аффинная связность, дающая плоскую линейную связность на $TX$ ) корректно определено только на параллелизуемом многообразии $X$ .

Калибровочная теория дислокаций

В теории поля возникает проблема физической интерпретации калибровочных полей трансляции, поскольку не существует полей, подверженных калибровочной трансляции. $u(x)\to u(x)+a(x)$ . В то же время такое поле наблюдается в калибровочной теории дислокаций в сплошных средах, поскольку при наличии дислокаций векторы смещений $u^{k}$ , $k=1,2,3$ , малых деформаций определяются только с точностью до калибровочных трансляций $u^{k}\to u^{k}+a^{k}(x)$ .

В этом случае пусть $X=\mathbb {R} ^{3}$ , и пусть аффинная связь примет вид

A=dx^{i}\otimes (\partial _{i}+A_{i}^{j}(x^{k}){\widetilde {\partial }}_{j})

относительно координат аффинного расслоения (2). Это трансляционное калибровочное поле, коэффициенты которого $A_{l}^{j}$ описать пластическое искажение , ковариантные производные $D_{j}u^{i}=\partial _{j}u^{i}-A_{j}^{i}$ совпадают с упругой деформацией, а прочность $F_{ji}^{k}=\partial _{j}A_{i}^{k}-\partial _{i}A_{j}^{k}$ – плотность дислокаций.

Уравнения калибровочной теории дислокаций выводятся из калибровочно-инвариантной лагранжевой плотности

L_{(\sigma )}=\mu D_{i}u^{k}D^{i}u_{k}+{\frac {\lambda }{2}}(D_{i}u^{i})^{2}-\epsilon F^{k}{}_{ij}F_{k}{}^{ij},

где $\mu$ и $\lambda$ – параметры Ламе изотропных сред. Однако эти уравнения не являются независимыми, поскольку поле смещений $u^{k}(x)$ может быть удалено путем калибровочного перевода, и, таким образом, она не может быть динамической переменной.

Калибровочная теория пятой силы

В калибровочной теории гравитации на мировом многообразии $X$ , на касательном расслоении можно рассматривать аффинную, но не линейную связность $TX$ из $X$ . Учитывая координаты пучка (1) на $TX$ , оно принимает вид (3) где линейная связь $\Gamma$ (4) и основная форма пайки $\sigma$ (6) рассматриваются как независимые переменные.

Как уже говорилось выше, форма пайки $\sigma$ (6) часто трактуется как калибровочное поле трансляции, хотя оно не является связностью. С другой стороны, кто-то ошибочно идентифицирует $\sigma$ с тетрадным полем . Однако это разные математические объекты, поскольку форма пайки — это участок тензорного пучка. $TX\otimes T^{*}X$ , тогда как поле тетрады представляет собой локальное сечение лоренц-редуцированного подрасслоения расслоения реперов $FX$ .

В духе упомянутой выше калибровочной теории дислокаций было высказано предположение, что поле пайки $\sigma$ может описывать sui Generi деформации мирового многообразия $X$ которые задаются морфизмом расслоения

s:TX\ni \partial _{\lambda }\to \partial _{\lambda }\rfloor (\theta +\sigma )=(\delta _{\lambda }^{\nu }+\sigma _{\lambda }^{\nu })\partial _{\nu }\in TX,

где $\theta =dx^{\mu }\otimes \partial _{\mu }$ является тавтологической формой .

Затем рассматривается метрически-аффинная теория гравитации $(g,\Gamma )$ на деформированном мировом многообразии, например, с деформированной псевдоримановой метрикой ${\widetilde {g}}^{\mu \nu }=s_{\alpha }^{\mu }s_{\beta }^{\nu }g^{\alpha \beta }$ когда лагранжиан паяльного поля $\sigma$ принимает форму

L_{(\sigma )}={\frac {1}{2}}[a_{1}T^{\mu }{}_{\nu \mu }T_{\alpha }{}^{\nu \alpha }+a_{2}T_{\mu \nu \alpha }T^{\mu \nu \alpha }+a_{3}T_{\mu \nu \alpha }T^{\nu \mu \alpha }+a_{4}\epsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }T^{\gamma }{}_{\mu \gamma }T_{\beta \nu \alpha }-\mu \sigma ^{\mu }{}_{\nu }\sigma ^{\nu }{}_{\mu }+\lambda \sigma ^{\mu }{}_{\mu }\sigma ^{\nu }{}_{\nu }]{\sqrt {-g}}

,

где $\epsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }$ является символом Леви-Чивита , и

T^{\alpha }{}_{\nu \mu }=D_{\nu }\sigma ^{\alpha }{}_{\mu }-D_{\mu }\sigma ^{\alpha }{}_{\nu }

это кручение линейной связи $\Gamma$ относительно формы пайки $\sigma$ .

В частности, рассмотрим эту калибровочную модель в случае малых гравитационных и паяльных полей, источником материи которых является точечная масса. Тогда мы приходим к модифицированному ньютоновскому потенциалу пятого типа сил.

См. также

Ссылки

А. Кадич, Д. Эделен, Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций , Конспект лекций по физике 174 (Springer, Нью-Йорк, 1983), ISBN 3-540-11977-9
G. Sardanashvily , O. Zakharov, Gauge Gravitation Theory (World Scientific, Singapore, 1992), ISBN 981-02-0799-9
К. Малышев, Функции дислокационного напряжения из калибровочных уравнений двойного ротора T (3): линейность и взгляд за ее пределы, Annals of Physics 286 (2000) 249.

Внешние ссылки

Сарданашвили Г. Г. Гравитация как поле Хиггса. III. Негравитационные отклонения гравитационного поля, arXiv : gr-qc/9411013 .