Соединение (аффинный пакет)

Пусть $Y \to X$ — аффинное расслоение смоделированное над векторным расслоением $Y \to X.$ , Связность , если она $Γ$ на $Y \to X$ называется аффинной связностью как сечение $Γ : Y \to J 1 Y$ струйного пучка $J 1 Y \to Y$ из $Y$ является морфизмом аффинного расслоения над $X$ . В частности, это аффинная связность на касательном расслоении $T X$ многообразия гладкого $X$ . (То есть соединение на аффинном расслоении является примером аффинного соединения; однако это не общее определение аффинного соединения. Это связанные, но разные понятия, оба, к сожалению, используют прилагательное «аффинное».)

По отношению к координатам аффинного расслоения $(x л, и я)$ на $Y$ аффинная связность $Γ$ на $Y \to X$ задается формой касательной связности

{\begin{aligned}\Gamma &=dx^{\lambda }\otimes \left(\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{i}\partial _{i}\right)\,,\\\Gamma _{\lambda }^{i}&={{\Gamma _{\lambda }}^{i}}_{j}\left(x^{\nu }\right)y^{j}+\sigma _{\lambda }^{i}\left(x^{\nu }\right)\,.\end{aligned}}

Аффинное расслоение — это расслоение с общей аффинной структурной группой $GA(m, ℝ)$ аффинных преобразований его типичного слоя $V$ размерности $m$ . Таким образом, аффинное соединение связано с основным соединением . Оно существует всегда.

Для любой аффинной связности $Γ : Y \to J 1 Y$ , соответствующая линейная производная $Γ : Y \to J 1 Y$ аффинного морфизма $Γ$ определяет единственную линейную связность на векторном расслоении $Y \to X$ . По координатам линейного расслоения $(x л, и я)$ на $Y$ это соединение читается

{\overline {\Gamma }}=dx^{\lambda }\otimes \left(\partial _{\lambda }+{{\Gamma _{\lambda }}^{i}}_{j}\left(x^{\nu }\right){\overline {y}}^{j}{\overline {\partial }}_{i}\right)\,.

Поскольку каждое векторное расслоение является аффинным, любая линейная связность навекторное расслоение также является аффинной связностью.

Если $Y \to X$ — векторное расслоение, то и аффинная связность $Γ$ , и связанная с ней линейная связность $Γ$ являютсясоединения на одном и том же векторном расслоении $Y \to X$ , а их отличие представляет собой базовую форму пайки на

\sigma =\sigma _{\lambda }^{i}(x^{\nu })dx^{\lambda }\otimes \partial _{i}\,.

, каждая аффинная связность на векторном расслоении $Y \to X$ представляет собой сумму линейной связности и базовой формы пайки на $Y \to X.$ Таким образом

За счет канонического вертикального расщепления $V Y = Y \times Y$ эта форма спайки приводится к векторному виду

\sigma =\sigma _{\lambda }^{i}(x^{\nu })dx^{\lambda }\otimes e_{i}

где $e i$ — расслоенный базис $Y$ .

Для заданной аффинной связности $Γ$ на векторном расслоении $Y \to X$ пусть $R$ и $R$ — кривизны связности Γ $и$ связанной с ней линейной связности $Γ$ соответственно. Легко заметить, что $R = R + T$ , где

{\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{2}}T_{\lambda \mu }^{i}dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes \partial _{i}\,,\\T_{\lambda \mu }^{i}&=\partial _{\lambda }\sigma _{\mu }^{i}-\partial _{\mu }\sigma _{\lambda }^{i}+\sigma _{\lambda }^{h}{{\Gamma _{\mu }}^{i}}_{h}-\sigma _{\mu }^{h}{{\Gamma _{\lambda }}^{i}}_{h}\,,\end{aligned}}

— кручение Γ $σ$ относительно основной формы $.$ пайки

В частности, рассмотрим касательное расслоение $T X$ многообразия $X,$ координируемое $(x м, ẋ м)$ . Есть каноническая форма пайки

\theta =dx^{\mu }\otimes {\dot {\partial }}_{\mu }

на $T X,$ совпадающую с тавтологической формой

\theta _{X}=dx^{\mu }\otimes \partial _{\mu }

на $X$ вследствие канонического вертикального расщепления $VT X = T X \times T X$ . Для произвольной линейной связности $Γ$ на $T X$ соответствующая аффинная связность

{\begin{aligned}A&=\Gamma +\theta \,,\\A_{\lambda }^{\mu }&={{\Gamma _{\lambda }}^{\mu }}_{\nu }{\dot {x}}^{\nu }+\delta _{\lambda }^{\mu }\,,\end{aligned}}

на $Т X$ есть связность Картана . Кручение картановского соединения $А$ относительно формы пайки $θ$ совпадает с кручением линейного соединения $Γ$ , а его кривизна представляет собой сумму $R + T$ кривизны и кручения $Γ$ .

См. также

Ссылки

Кобаяши, С.; Номидзу, К. (1996). Основы дифференциальной геометрии . Том. 1–2. Уайли-Интерсайенс. ISBN 0-471-15733-3 .
Сарданашвили, Г. (2013). Продвинутая дифференциальная геометрия для теоретиков. Расслоения, струйные многообразия и теория Лагранжа . Академическое издательство Ламберта. arXiv : 0908.1886 . Бибкод : 2009arXiv0908.1886S . ISBN 978-3-659-37815-7 .

Эта дифференциальной геометрией, статья, связанная с незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .