Спин (физика)

Эта статья о концепции квантовой механики. Чтобы узнать о концепции классической механики, см. «Вращение» .

Спин — это внутренняя форма углового момента, переносимая элементарными частицами и, следовательно, составными частицами, такими как адроны , атомные ядра и атомы. Спин квантован, и точные модели взаимодействия со спином требуют релятивистской квантовой механики или квантовой теории поля .

Существование электрона спинового углового момента выводится , в котором было обнаружено , из экспериментов, таких как эксперимент Штерна-Герлаха что атомы серебра обладают двумя возможными дискретными угловыми моментами, несмотря на отсутствие орбитального углового момента. Теорема релятивистской спиновой статистики связывает квантование электронного спина с принципом исключения Паули : наблюдения исключения подразумевают спин, а наблюдения спина подразумевают исключение.

Математически спин описывается как вектор для некоторых частиц, таких как фотоны, а также как спиноры и биспиноры для других частиц, таких как электроны. Спиноры и биспиноры ведут себя аналогично векторам : они имеют определенные величины и изменяются при вращении; однако они используют нетрадиционное «направление». Все элементарные частицы данного вида имеют одинаковую величину спинового углового момента, хотя его направление может меняться. На это указывает присвоение частице спинового квантового числа .

Единицы измерения спина в системе СИ те же, что и классический угловой момент (т. е. Н · м · с , Дж · с или кг · м). ² ·с ⁻¹ ). В квантовой механике угловой момент и спиновый угловой момент принимают дискретные значения, пропорциональные постоянной Планка . На практике спин обычно задается как безразмерное спиновое квантовое число путем деления углового момента спина на приведенную постоянную Планка ħ . Часто «спиновое квантовое число» называют просто «спин».

Модели

Вращающаяся заряженная масса

Самые ранние модели спина электрона предполагали вращающуюся заряженную массу, но эта модель терпит неудачу при детальном рассмотрении: требуемое пространственное распределение не соответствует ограничениям на радиус электрона : требуемая скорость вращения превышает скорость света. В Стандартной модели все фундаментальные частицы считаются «точечными»: они оказывают свое воздействие через поле, которое их окружает. Любая модель вращения, основанная на вращении массы, должна быть совместима с этой моделью.

«Классическая неописуемая двузначность» Паули.

Вольфганг Паули , центральная фигура в истории квантового спина, первоначально отверг любую идею о том, что «степень свободы», которую он ввёл для объяснения экспериментальных наблюдений, связана с вращением. Он назвал это «классически неописуемой двузначностью». Позже он допустил, что оно связано с угловым моментом, но настаивал на том, чтобы считать спин абстрактным свойством. Этот подход позволил Паули разработать доказательство его фундаментального принципа исключения Паули , доказательство, которое теперь называется теоремой спин-статистики . Оглядываясь назад, эта настойчивость и стиль его доказательства положили начало современной эре физики элементарных частиц, в которой доминируют абстрактные квантовые свойства, вытекающие из свойств симметрии. Конкретная интерпретация стала вторичной и необязательной.

Круговорот классических полей

Первая классическая модель вращения предполагала небольшую твердую частицу, вращающуюся вокруг оси, как можно предположить при обычном использовании этого слова. Угловой момент также можно вычислить по классическому полю. Применяя подход Фредерика Белинфанте к вычислению углового момента поля, Ханс К. Оганян показал, что «спин, по сути, является волновым свойством… генерируемым циркулирующим потоком заряда в волновом поле электрона». Эту же концепцию вращения можно применить к гравитационным волнам в воде: «вращение генерируется субволновым круговым движением частиц воды».

В отличие от классической циркуляции волнового поля, которая допускает непрерывные значения углового момента, квантовые волновые поля допускают только дискретные значения. Следовательно, передача энергии в спиновые состояния или из них всегда происходит с фиксированными квантовыми шагами. Разрешены только несколько шагов: для многих качественных целей сложность спиновых квантовых волновых полей можно игнорировать, а свойства системы можно обсуждать в терминах «целочисленных» или «полуцелых» спиновых моделей, как обсуждается в квантовых числах ниже.

Релятивистский электрон Дирака

Дирака Количественные расчеты спиновых свойств электронов требуют релятивистского волнового уравнения .

Связь с орбитальным угловым моментом

Как следует из названия, спин изначально задумывался как вращение частицы вокруг некоторой оси. Исторически орбитальный угловой момент связан с орбитами частиц. Хотя названия, основанные на механических моделях, сохранились, физическое объяснение не сохранилось. Квантование фундаментально меняет характер как спина, так и орбитального углового момента.

Поскольку элементарные частицы точечны, для них нет четкого определения самовращения. Однако спин подразумевает, что фаза частицы зависит от угла как $e^{iS\theta }$, для вращения угла θ вокруг оси, параллельной спину S . Это эквивалентно квантовомеханической интерпретации импульса как фазовой зависимости от положения, а орбитального углового момента как фазовой зависимости от углового положения.

Для фермионов картина менее ясна. Угловая скорость равна по теореме Эренфеста производной гамильтониана к его сопряженному импульсу который является оператором полного углового момента J = L + S. , Следовательно, если гамильтониан H зависит от спина S , dH / dS не равно нулю, и спин вызывает угловую скорость и, следовательно, фактическое вращение, т. е. изменение соотношения фаза-угол с течением времени. Однако справедливо ли это для свободного электрона, неоднозначно, поскольку для электрона S ² является постоянным, и поэтому вопрос интерпретации включает ли гамильтониан такой член. Тем не менее, в уравнении Дирака таким образом, релятивистский гамильтониан электрона, рассматриваемый как поле Дирака , можно интерпретировать как включающий зависимость от спина S. появляется спин, и ,

Квантовое число

Основная статья: Спиновое квантовое число

Спин подчиняется математическим законам квантования углового момента . К специфическим свойствам спиновых угловых моментов относятся:

• Спиновые квантовые числа могут принимать как полуцелые, так и целые значения.
• Хотя направление ее вращения можно изменить, величину спина элементарной частицы изменить нельзя.
• Спин заряженной частицы связан с магнитным дипольным моментом с g -фактором , отличным от 1. (В классическом контексте это означало бы, что различаются распределения внутреннего заряда и массы . у вращающегося объекта )

Традиционное определение спинового квантового числа : s = ⁠ n / 2 ⁠ , где n может быть любым неотрицательным целым числом . Следовательно, допустимые значения s равны 0, ⁠ 1 / 2 ⁠ , 1, ⁠ 3 / 2 ⁠ , 2 и т. д. Значение s для элементарной частицы зависит только от типа частицы и не может быть изменено каким-либо известным способом (в отличие от направления вращения, описанного ниже). Спиновый угловой момент S любой физической системы квантован . Допустимые значения S : $$S=\hbar \,{\sqrt {s(s+1)}}={\frac {h}{2\pi }}\,{\sqrt {{\frac {n}{2}}{\frac {(n+2)}{2}}}}={\frac {h}{4\pi }}\,{\sqrt {n(n+2)}},$$ где h — постоянная Планка , а ${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ – приведенная постоянная Планка. Напротив, орбитальный угловой момент может принимать только целые значения s ; т.е. четные значения n .

Фермионы и бозоны

Эти частицы с полуцелыми спинами, такие как ⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 3 / 2 ⁠ , ⁠ 5 / 2 ⁠ известны как фермионы , а частицы с целыми спинами, например 0, 1, 2, известны как бозоны . Эти два семейства частиц подчиняются разным правилам и в целом играют разные роли в окружающем нас мире. Ключевое различие между этими двумя семействами заключается в том, что фермионы подчиняются принципу исключения Паули : то есть не может быть двух идентичных фермионов, одновременно имеющих одинаковые квантовые числа (то есть, грубо говоря, имеющих одинаковое положение, скорость и направление вращения). Фермионы подчиняются правилам статистики Ферми – Дирака . Напротив, бозоны подчиняются правилам статистики Бозе-Эйнштейна и не имеют такого ограничения, поэтому они могут «сгруппироваться» в идентичных состояниях. Кроме того, составные частицы могут иметь спины, отличные от спинов составляющих их частиц. Например, атом гелия-4 в основном состоянии имеет спин 0 и ведет себя как бозон, хотя все кварки и электроны, составляющие его, являются фермионами.

Это имеет некоторые глубокие последствия:

• Кварки и лептоны (включая электроны и нейтрино ), составляющие то, что классически известно как материя , являются фермионами со спином. ⁠ 1/2 ​ ⁠ ​ . Распространенная идея о том, что «материя занимает пространство», на самом деле исходит из принципа запрета Паули, действующего на эти частицы и не позволяющего фермионам находиться в одном и том же квантовом состоянии. Дальнейшее уплотнение потребует, чтобы электроны заняли одни и те же энергетические состояния, и поэтому своего рода давление (иногда называемое давлением вырождения электронов ) препятствует нахождению фермионов слишком близко.
  Элементарные фермионы с другими спинами ( ⁠ 3 / 2 ⁠ , ⁠ 5/2 т. д.), о существовании которых ⁠ и не известно.
• Все элементарные частицы, которые считаются несущими силами , являются бозонами со спином 1. К ним относятся фотон , который переносит электромагнитное взаимодействие , глюон ( сильное взаимодействие ) и W- и Z-бозоны ( слабое взаимодействие ). Способность бозонов занимать одно и то же квантовое состояние используется в лазере , который выравнивает множество фотонов, имеющих одинаковое квантовое число (одинаковое направление и частоту), в сверхтекучем жидком гелии, возникающем в результате того, что атомы гелия-4 являются бозонами, и в сверхпроводимости , где пары электронов (которые по отдельности являются фермионами) действуют как отдельные составные бозоны.
  Исторически не было известно о существовании элементарных бозонов с другими спинами (0, 2, 3 и т. д.), хотя они получили значительное теоретическое рассмотрение и хорошо известны в рамках соответствующих основных теорий. В частности, теоретики предложили гравитон (существование которого предсказывается некоторыми теориями квантовой гравитации ) со спином 2 и бозон Хиггса (объясняющий нарушение электрослабой симметрии ) со спином 0. С 2013 года считается доказанным существование бозона Хиггса со спином 0. существовать. Это первая скалярная элементарная частица (спин 0), известная о существовании в природе.
• Атомные ядра имеют ядерный спин , который может быть полуцелым или целым, так что ядра могут быть либо фермионами, либо бозонами.

Теорема о спин-статистике

Основная статья: теорема спин-статистики

Теорема о спин-статистике делит частицы на две группы: бозоны и фермионы , где бозоны подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна , а фермионы подчиняются статистике Ферми-Дирака (и, следовательно, принципу исключения Паули ). В частности, теорема требует, чтобы частицы с полуцелым спином подчинялись принципу исключения Паули , а частицы с целым спином — нет. Например, электроны имеют полуцелый спин и являются фермионами, подчиняющимися принципу Паули, тогда как фотоны имеют целочисленный спин и не подчиняются ему. Теорема была выведена Вольфгангом Паули в 1940 году; он опирается как на квантовую механику, так и на специальную теорию относительности . Паули описал эту связь между спином и статистикой как «одно из наиболее важных приложений специальной теории относительности».

Магнитные моменты

Схематическая диаграмма, изображающая спин нейтрона в виде черной стрелки и силовые линии магнитного поля, связанные с магнитным моментом нейтрона . Нейтрон имеет отрицательный магнитный момент. Хотя на этой диаграмме спин нейтрона направлен вверх, силовые линии магнитного поля в центре диполя направлены вниз.

Частицы со спином могут обладать магнитным дипольным моментом , подобно вращающемуся электрически заряженному телу в классической электродинамике . Эти магнитные моменты можно экспериментально наблюдать несколькими способами, например, путем отклонения частиц неоднородными магнитными полями в эксперименте Штерна-Герлаха или путем измерения магнитных полей, создаваемых самими частицами.

Собственный магнитный μ спин- момент ⁠ 1/2 q , ⁠ частица с зарядом массой m и спиновым угловым моментом S , это

${\boldsymbol {\mu }}={\frac {g_{\text{s}}q}{2m}}\mathbf {S} ,$

где безразмерная величина g _s называется спиновым g -фактором . Для исключительно орбитального вращения это будет 1 (при условии, что масса и заряд занимают сферы одинакового радиуса).

Электрон, будучи заряженной элементарной частицей, обладает ненулевым магнитным моментом . Одним из триумфов теории квантовой электродинамики электрона является ее точное предсказание g -фактора , который, как было экспериментально установлено, имеет значение -2,002 319 304 360 92 (36) , причем цифры в скобках обозначают неопределенность измерения в последние две цифры при одном стандартном отклонении . ‍ Значение 2 возникает из уравнения Дирака , фундаментального уравнения, связывающего спин электрона с его электромагнитными свойствами, а отклонение от -2 возникает из-за взаимодействия электрона с окружающими квантовыми полями, включая его собственное электромагнитное поле и виртуальные частицы.

Сложные частицы также обладают магнитными моментами, связанными с их спином. В частности, нейтрон обладает ненулевым магнитным моментом, несмотря на то, что он электрически нейтрален. Этот факт был ранним указанием на то, что нейтрон не является элементарной частицей. На самом деле он состоит из кварков — электрически заряженных частиц. Магнитный момент нейтрона возникает из спинов отдельных кварков и их орбитальных движений.

Нейтрино одновременно элементарны и электрически нейтральны. Минимально расширенная Стандартная модель , учитывающая ненулевые массы нейтрино, предсказывает магнитные моменты нейтрино:

$\mu _{\nu }\approx 3\times 10^{-19}\mu _{\text{B}}{\frac {m_{\nu }c^{2}}{\text{eV}}},$

где µ _ν — магнитные моменты нейтрино, m _ν — массы нейтрино, а µ _B — магнетон Бора . Однако новая физика выше электрослабого уровня может привести к значительно более высоким магнитным моментам нейтрино. Независимым от модели способом можно показать, что магнитные моменты нейтрино, превышающие примерно 10 ⁻¹⁴  μ _B являются «неестественными», поскольку они также приводят к большому радиационному вкладу в массу нейтрино. Поскольку известно, что массы нейтрино не превышают около 1 эВ/ с. ² , точная настройка , чтобы предотвратить большой вклад в массу нейтрино за счет радиационных поправок. необходима Измерение магнитных моментов нейтрино является активной областью исследований. Экспериментальные результаты показали, что магнитный момент нейтрино составляет менее 1,2 × 10 ⁻¹⁰ раз магнитный момент электрона.

С другой стороны, элементарные частицы со спином, но без электрического заряда, такие как фотон или Z-бозон , не имеют магнитного момента.

Температура Кюри и потеря выравнивания

В обычных материалах магнитные дипольные моменты отдельных атомов создают магнитные поля, которые нейтрализуют друг друга, поскольку каждый диполь направлен в случайном направлении, а общее среднее значение очень близко к нулю. ферромагнитные материалы ниже температуры Кюри Однако имеют магнитные домены , в которых атомные дипольные моменты спонтанно выравниваются локально, создавая макроскопическое ненулевое магнитное поле из домена. Это обычные «магниты», с которыми мы все знакомы.

В парамагнетиках магнитные дипольные моменты отдельных атомов частично совпадают с внешним магнитным полем. С другой стороны, в диамагнетиках магнитные дипольные моменты отдельных атомов выравниваются противоположно любому внешнему магнитному полю, даже если для этого требуется энергия.

Изучение поведения таких « спиновых моделей » является бурно развивающейся областью исследований в физике конденсированного состояния . Например, модель Изинга описывает спины (диполи), которые имеют только два возможных состояния: вверх и вниз, тогда как в модели Гейзенберга вектор спина может указывать в любом направлении. Эти модели обладают многими интересными свойствами, которые привели к интересным результатам в теории фазовых переходов .

Направление

Дополнительная информация: Оператор углового момента.

Квантовое число и кратность проекции спина

В классической механике момент импульса частицы обладает не только величиной (насколько быстро вращается тело), ​​но и направлением (вверх или вниз по оси вращения частицы). Квантово-механический спин также содержит информацию о направлении, но в более тонкой форме. Квантовая механика утверждает, что составляющая углового момента частицы со спином s, измеренная вдоль любого направления, может принимать только значения

$S_{i}=\hbar s_{i},\quad s_{i}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},$

где S _i — компонент спина вдоль i -й оси (либо x , y , либо z ), s _i — квантовое число проекции спина вдоль i -й оси, а s — главное квантовое число спина (обсуждается в предыдущий раздел). Обычно выбранным направлением является ось z :

$S_{z}=\hbar s_{z},\quad s_{z}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},$

где S _z — спиновая компонента вдоль оси z , s _z — квантовое число проекции спина вдоль оси z .

Видно, что существует 2 s + 1 возможных значений s _z . Число « 2s » +1 — это кратность спиновой системы. Например, существует только два возможных значения спина . ⁠ 1/2 ⁠ = z : s _{частица} + ⁠ 1 / 2 ⁠ и s _z = - ⁠ 1/2 ​ ⁠ ​ . Они соответствуют квантовым состояниям, в которых спиновая компонента направлена ​​в направлениях + z или - z соответственно, и их часто называют «спин вверх» и «спин вниз». Для спин- ⁠ 3/2 дельта частица ⁠ , типа -бариона , возможные значения: + ⁠ 3 / 2 ⁠ , + ⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 3 / 2 ⁠ .

Вектор

Одна точка в пространстве может вращаться непрерывно, не запутываясь. Обратите внимание, что после поворота на 360 градусов спираль переключается между ориентацией по часовой стрелке и против часовой стрелки. Он возвращается к исходной конфигурации после поворота на полные 720° .

Для данного квантового состояния можно представить себе вектор спина ${\textstyle \langle S\rangle }$ чьи компоненты являются средними значениями компонентов спина вдоль каждой оси, т. е. ${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$. Тогда этот вектор будет описывать «направление», в котором указывает вращение, что соответствует классической концепции оси вращения . Оказывается, вектор спина не очень полезен в реальных квантово-механических расчетах, поскольку его нельзя измерить напрямую: s _x , s _y и s _z не могут одновременно иметь определенные значения из-за соотношения квантовой неопределенности между ними. Однако для статистически больших коллекций частиц, которые были помещены в одно и то же чистое квантовое состояние, например, с помощью аппарата Штерна-Герлаха , вектор спина действительно имеет четко определенное экспериментальное значение: он определяет направление в обычном пространстве. при котором последующий детектор должен быть ориентирован так, чтобы достичь максимально возможной вероятности (100%) обнаружения каждой частицы в коллекции. Для спин- ⁠ 1/2 частиц, эта ожидание ⁠ вероятность плавно падает с увеличением угла между вектором спина и детектором, пока под углом 180°, т. е. для детекторов, ориентированных в направлении, противоположном вектору спина, не наступает обнаружение частиц из коллекции достигает минимум 0%.

В качестве качественного понятия вектор спина часто бывает удобен, поскольку его легко представить классически. Например, квантово-механический спин может проявлять явления, аналогичные классическим гироскопическим эффектам . Например, можно приложить к электрону своего рода « крутящий момент », поместив его в магнитное поле электрона (поле воздействует на собственный магнитный дипольный момент — см. следующий раздел). В результате вектор спина претерпевает прецессию , как в классическом гироскопе. Это явление известно как электронный спиновый резонанс (ЭПР). Эквивалентное поведение протонов в атомных ядрах используется в спектроскопии ядерного магнитного резонанса (ЯМР) и визуализации.

Математически квантово-механические спиновые состояния описываются вектороподобными объектами, известными как спиноры . Существуют тонкие различия между поведением спиноров и векторов при вращении координат . Например, вращение спин- ⁠ 1/2 квантовой частица на 360 ⁠ ° возвращает ее не в то же самое квантовое состояние, а в состояние с противоположной фазой ; в принципе это можно обнаружить с помощью интерференционных экспериментов. Чтобы вернуть частицу в исходное состояние, необходимо повернуть ее на 720°. ( Трюк с пластиной и лента Мёбиуса дают неквантовые аналогии.) Частица с нулевым спином может иметь только одно квантовое состояние, даже после приложения крутящего момента. Поворот частицы со спином 2 на 180° может вернуть ее в то же квантовое состояние, а частицу со спином 4 следует повернуть на 90°, чтобы вернуть ее в то же квантовое состояние. Частицу со спином 2 можно представить как прямую палку, которая выглядит одинаково даже после поворота на 180°, а частицу со спином 0 можно представить как сферу, которая выглядит одинаково под любым углом, на который ее поворачивают.

Математическая формулировка

Оператор

Спин подчиняется коммутационным соотношениям. аналогично орбитальному угловому моменту : $$\left[{\hat {S}}_{j},{\hat {S}}_{k}\right]=i\hbar \varepsilon _{jkl}{\hat {S}}_{l},$$ где ε _jkl — символ Леви-Чивита . Отсюда следует (как и в случае с угловым моментом ), что собственные векторы ${\hat {S}}^{2}$ и ${\hat {S}}_{z}$ (выраженные как кеты в общем S- базисе ) равны $${\begin{aligned}{\hat {S}}^{2}|s,m_{s}\rangle &=\hbar ^{2}s(s+1)|s,m_{s}\rangle ,\\{\hat {S}}_{z}|s,m_{s}\rangle &=\hbar m_{s}|s,m_{s}\rangle .\end{aligned}}$$

спина Операторы повышения и понижения , действующие на эти собственные векторы, дают $${\hat {S}}_{\pm }|s,m_{s}\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)}}|s,m_{s}\pm 1\rangle ,$$ где ${\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}$.

Но в отличие от орбитального углового момента собственные векторы не являются сферическими гармониками . Они не являются функциями θ и φ . Также нет причин исключать полуцелые значения s и m _s .

Все квантовомеханические частицы обладают собственным спином. $s$ (хотя это значение может быть равно нулю). Проекция вращения $s$ на любой оси квантуется в единицах приведенной постоянной Планка , так что функция состояния частицы, скажем, не $\psi =\psi (\mathbf {r} )$, но $\psi =\psi (\mathbf {r} ,s_{z})$, где $s_{z}$ может принимать только значения из следующего дискретного набора: $$s_{z}\in \{-s\hbar ,-(s-1)\hbar ,\dots ,+(s-1)\hbar ,+s\hbar \}.$$

Различают бозоны (целый спин) и фермионы (полуцелый спин). Тогда полный угловой момент, сохраняющийся в процессах взаимодействия, представляет собой сумму орбитального углового момента и спина.

Паули умирает

Основная статья: матрицы Паули

Квантово -механические операторы, связанные со спин- ⁠ 1 / 2 ⁠ наблюдаемые ​ $${\hat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }},$$ где в декартовых компонентах $$S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x},\quad S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y},\quad S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}.$$

Для частного случая спин- ⁠ 1/2 — частицы ⁠ , σ _x , σ _y и σ _z три матрицы Паули : $$\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.$$

Принцип исключения Паули

Принцип исключения Паули гласит, что волновая функция $\psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})$ для системы из N одинаковых частиц, имеющих спин s, при обмене местами любых двух из N частиц должно меняться соотношение $$\psi (\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots )=(-1)^{2s}\psi (\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ).$$

Таким образом, для бозонов префактор (−1) ^{2 с} уменьшится до +1, для фермионов до −1. Этот постулат перестановки функций состояния N -частиц имеет наиболее важные последствия в повседневной жизни, например, в периодической таблице химических элементов.

Ротации

Смотрите также: Симметрия в квантовой механике.

Как описано выше, квантовая механика утверждает, что компоненты углового момента, измеренные в любом направлении, могут принимать только несколько дискретных значений. Поэтому наиболее удобным квантовомеханическим описанием спина частицы является набор комплексных чисел, соответствующих амплитудам нахождения заданного значения проекции ее собственного углового момента на заданную ось. Например, для спин- ⁠ 1/2 , дающие ⁠ амплитуды ее нахождения с проекцией углового момента , частица, нам понадобятся два числа a _±1/2 равной + ⁠ ħ / 2 ⁠ и − ⁠ ħ / 2 ⁠ , удовлетворяющий требованию $$|a_{+1/2}|^{2}+|a_{-1/2}|^{2}=1.$$

Для обычной частицы со спином s нам понадобится 2 s + 1 таких параметров. Поскольку эти числа зависят от выбора оси, они нетривиально переходят друг в друга при вращении этой оси. Понятно, что закон преобразования должен быть линейным, поэтому мы можем представить его, сопоставляя каждому вращению матрицу, а произведение двух матриц преобразования, соответствующих вращениям A и B, должно быть равно (с точностью до фазы) матрице, представляющей вращение. АБ. Кроме того, вращения сохраняют квантовомеханический внутренний продукт, как и наши матрицы преобразования: $$\sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}=\sum _{m=-j}^{j}\left(\sum _{n=-j}^{j}U_{nm}a_{n}\right)^{*}\left(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k}\right),$$ $$\sum _{n=-j}^{j}\sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}=\delta _{pq}.$$

Говоря математическим языком, эти матрицы представляют собой унитарное проективное представление группы вращений SO(3) . Каждое такое представление соответствует представлению накрывающей группы SO(3), которым является SU(2) . Существует одно n -мерное неприводимое представление SU(2) для каждого измерения, хотя это представление является n -мерным действительным для нечетного n и n -мерным комплексным для четного n (следовательно, имеет действительную размерность 2 n ). При повороте на угол θ в плоскости с вектором нормали ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$, $$U=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {S} },$$ где ${\textstyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$, S – вектор операторов спина .

Доказательство

Работаем в системе координат, где ${\textstyle {\hat {\theta }}={\hat {z}}}$, мы хотели бы показать, что S _x и S _y повернуты друг к другу на угол θ . с Sx _{Начиная} . Использование единиц измерения, где ħ = 1 : $${\begin{aligned}S_{x}\rightarrow U^{\dagger }S_{x}U&=e^{i\theta S_{z}}S_{x}e^{-i\theta S_{z}}\\&=S_{x}+(i\theta )\left[S_{z},S_{x}\right]+\left({\frac {1}{2!}}\right)(i\theta )^{2}\left[S_{z},\left[S_{z},S_{x}\right]\right]+\left({\frac {1}{3!}}\right)(i\theta )^{3}\left[S_{z},\left[S_{z},\left[S_{z},S_{x}\right]\right]\right]+\cdots \end{aligned}}$$

Используя соотношения коммутации спинового оператора , мы видим, что коммутаторы оцениваются как i S _y для нечетных членов ряда и как S _x для всех четных членов. Таким образом: $${\begin{aligned}U^{\dagger }S_{x}U&=S_{x}\left[1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+\cdots \right]-S_{y}\left[\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}\cdots \right]\\&=S_{x}\cos \theta -S_{y}\sin \theta ,\end{aligned}}$$ как и ожидалось. Обратите внимание: поскольку мы полагались только на коммутационные соотношения спинового оператора, это доказательство справедливо для любой размерности (т. е. для любого главного квантового числа спина s )

Типовое вращение в трехмерном пространстве можно построить путем объединения операторов этого типа с использованием углов Эйлера : $${\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha S_{x}}e^{-i\beta S_{y}}e^{-i\gamma S_{z}}.$$

Неприводимое представление этой группы операторов дает D-матрица Вигнера : $$D_{m'm}^{s}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle sm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|sm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{s}(\beta )e^{-im\gamma },$$ где $$d_{m'm}^{s}(\beta )=\langle sm'|e^{-i\beta s_{y}}|sm\rangle$$ — малая d-матрица Вигнера . Обратите внимание, что для γ = 2π и α = β = 0 ; т. е. при полном повороте вокруг оси z элементы D-матрицы Вигнера становятся $$D_{m'm}^{s}(0,0,2\pi )=d_{m'm}^{s}(0)e^{-im2\pi }=\delta _{m'm}(-1)^{2m}.$$

Вспоминая, что общее состояние спина может быть записано как суперпозиция состояний с определенным m , мы видим, что если s является целым числом, все значения m являются целыми числами, и эта матрица соответствует тождественному оператору. Однако, если s является полуцелым числом, все значения m также являются полуцелыми числами, что дает (−1) ^22м = −1 для всех m , и, следовательно, при повороте на 2 π состояние принимает знак минус. Этот факт является ключевым элементом доказательства теоремы о спин-статистике .

Преобразования Лоренца

Мы могли бы попробовать тот же подход, чтобы определить поведение спина при общих преобразованиях Лоренца , но мы сразу же обнаружили бы серьезное препятствие. В отличие от SO(3), группа преобразований Лоренца SO(3,1) и некомпактна поэтому не имеет точных унитарных конечномерных представлений.

В случае спин- ⁠ 1/2 частиц, можно найти конструкцию , . ⁠ включающую как конечномерное представление, так и скалярное произведение, сохраняемое этим представлением мы сопоставляем 4-компонентный спинор Дирака ψ Каждой частице . Эти спиноры преобразуются при преобразованиях Лоренца по закону $$\psi '=\exp {\left({\tfrac {1}{8}}\omega _{\mu \nu }[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]\right)}\psi ,$$ где γ _ν — гамма-матрицы , а ω _µν — антисимметричная матрица размера 4 × 4, параметризующая преобразование. Можно показать, что скалярное произведение $$\langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi$$ сохраняется. Однако оно не является положительно-определенным, поэтому представление не является унитарным.

Измерение вращения вдоль x , y или z осей

Каждая из ( эрмитовых ) матриц Паули спин- ⁠ 1/2 , +1 частицы ⁠ имеет два собственных значения и −1. Соответствующие нормированные собственные векторы : $${\begin{array}{lclc}\psi _{x+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}},&\psi _{x-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}},\\\psi _{y+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},&\psi _{y-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}},\\\psi _{z+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},&\psi _{z-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.\end{array}}$$

(Поскольку любой собственный вектор, умноженный на константу, по-прежнему является собственным вектором, общий знак остается неоднозначным. В этой статье выбрано соглашение, позволяющее сделать первый элемент мнимым и отрицательным, если существует неоднозначность знака. Настоящее соглашение используется программное обеспечение, такое как SymPy ; в то время как многие учебники по физике, такие как Сакураи и Гриффитс, предпочитают делать это реальным и позитивным.)

Согласно постулатам квантовой механики , эксперимент, предназначенный для измерения спина электрона на оси x , y или z , может дать только собственное значение соответствующего оператора спина ( S _x , S _y или S _z ) на этой оси, т.е. ⁠ ħ / 2 ⁠ или – ⁠ ħ / 2 ⁠ . Квантовое состояние частицы (относительно спина) может быть представлено двухкомпонентным спинором : $$\psi ={\begin{pmatrix}a+bi\\c+di\end{pmatrix}}.$$

Когда спин этой частицы измеряется относительно заданной оси (в данном примере оси x ), вероятность того, что ее спин будет измерен как ⁠ ħ / 2 ⁠ просто ${\big |}\langle \psi _{x+}|\psi \rangle {\big |}^{2}$. Соответственно, вероятность того, что его спин будет измерен как – ⁠ ħ / 2 ⁠ просто ${\big |}\langle \psi _{x-}|\psi \rangle {\big |}^{2}$. После измерения спиновое состояние частицы схлопывается в соответствующее собственное состояние. В результате, если было измерено, что спин частицы вдоль данной оси имеет заданное собственное значение, все измерения дадут одно и то же собственное значение (поскольку ${\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{x+}\rangle {\big |}^{2}=1$и т. д.), при условии, что измерения вращения по другим осям не производятся.

Измерение вращения вдоль произвольной оси

Оператор измерения спина в произвольном направлении оси легко получить из спиновых матриц Паули. Пусть u = ( u _x , u _y , u _z ) — произвольный единичный вектор. Тогда оператор вращения в этом направлении будет просто $$S_{u}={\frac {\hbar }{2}}(u_{x}\sigma _{x}+u_{y}\sigma _{y}+u_{z}\sigma _{z}).$$

Оператор S _u имеет собственные значения ± ⁠ ħ / 2 ⁠ , как и обычные спиновые матрицы. Этот метод нахождения оператора вращения в произвольном направлении распространяется на состояния с более высоким спином: берется скалярное произведение направления с вектором трех операторов для трех x , y , z направлений осей .

Нормированный спинор для спин- ⁠ 1/2 (что работает для всех состояний вращения , ⁠ кроме в направлении ( u _x , u _y , u _z ) вращения вниз, где это даст ⁠ 0 / 0 ⁠ ) это $${\frac {1}{\sqrt {2+2u_{z}}}}{\begin{pmatrix}1+u_{z}\\u_{x}+iu_{y}\end{pmatrix}}.$$

Указанный спинор получается обычным способом путем диагонализации матрицы σ _u и нахождения собственных состояний, соответствующих собственным значениям. В квантовой механике векторы называются «нормализованными», если их умножить на нормализующий коэффициент, в результате чего вектор имеет длину, равную единице.

Совместимость измерений вращения

Поскольку матрицы Паули не коммутируют , измерения вращения по разным осям несовместимы. Это означает, что если, например, мы знаем вращение по оси X , а затем измеряем вращение по оси Y , мы лишаем законной силы наши предыдущие знания о X. вращении по оси Это видно из свойства собственных векторов (т.е. собственных состояний) матриц Паули, которые $${\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{y\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{y\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\tfrac {1}{2}}.$$

Поэтому, когда физики измеряют спин частицы вдоль оси x , например, ⁠ ħ / 2 ⁠ , состояние спина частицы коллапсирует в собственное состояние. $|\psi _{x+}\rangle$. Когда мы впоследствии измерим спин частицы вдоль оси y , состояние спина теперь коллапсируется либо в $|\psi _{y+}\rangle$ или $|\psi _{y-}\rangle$, каждый с вероятностью ⁠ 1/2 ​ ⁠ ​ . Скажем, в нашем примере, что мы измеряем — ⁠ ħ / 2 ⁠ . Когда мы теперь вернемся к измерению вращения частицы вдоль оси x , вероятности, которые мы будем измерять, ⁠ ħ / 2 ⁠ или - ⁠ ħ / 2 ⁠ каждый ⁠ 1/2 ⁠ т.е. ( они ${\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}$ и ${\big |}\langle \psi _{x-}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}$ соответственно). Это означает, что исходное измерение вращения вдоль оси x больше недействительно, поскольку теперь будет измерено вращение вдоль оси x , имеющее любое собственное значение с равной вероятностью.

Высшие вращения

См. Также: Группа трехмерного вращения § Замечание об алгебрах Ли

Спин- ⁠ 1/2 ​ ​ ⁠ оператор S = ⁠ ħ / 2 ⁠ σ образует фундаментальное представление SU (2) . Многократно взяв с собой кронекеровские произведения этого представления, можно построить все высшие неприводимые представления. То есть результирующие операторы спина для систем с более высоким спином в трех пространственных измерениях могут быть рассчитаны для сколь угодно больших s с использованием этого оператора спина и лестничных операторов . Например, взяв произведение Кронекера двух спинов ⁠ 1/2 триплетные ⁠ состояния дает четырехмерное представление, которое можно разделить на трехмерное представление со спином 1 ( ) и одномерное представление со спином 0 ( синглетное состояние ).

В результате неприводимые представления дают следующие спиновые матрицы и собственные значения в z-базисе:

1. Для спина 1 они $${\begin{aligned}S_{x}&={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{x}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\{-{\sqrt {2}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{y}&={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1\\-i{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{y}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1\\i{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{z}&=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$$
2. Для вращения ⁠ 3 / 2 ⁠ они $${\begin{array}{lclc}S_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\{\sqrt {3}}\\{\sqrt {3}}\\1\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-{\sqrt {3}}}\\-1\\1\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}\\-1\\-1\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}-1\\{\sqrt {3}}\\{-{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{i}\\{-{\sqrt {3}}}\\{-i{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-i{\sqrt {3}}}\\1\\{-i}\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{i{\sqrt {3}}}\\1\\{i}\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-i}\\{-{\sqrt {3}}}\\{i{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\\\end{array}}$$
3. Для вращения ⁠ 5 / 2 ⁠ они $${\begin{aligned}{\boldsymbol {S}}_{x}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\{\sqrt {5}}&0&2{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2{\sqrt {2}}&0&3&0&0\\0&0&3&0&2{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {S}}_{y}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\i{\sqrt {5}}&0&-2i{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2i{\sqrt {2}}&0&-3i&0&0\\0&0&3i&0&-2i{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&i{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {S}}_{z}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-3&0\\0&0&0&0&0&-5\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$$
4. Обобщением этих матриц для произвольного спина s является $${\begin{aligned}\left(S_{x}\right)_{ab}&={\frac {\hbar }{2}}\left(\delta _{a,b+1}+\delta _{a+1,b}\right){\sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}},\\\left(S_{y}\right)_{ab}&={\frac {i\hbar }{2}}\left(\delta _{a,b+1}-\delta _{a+1,b}\right){\sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}},\\\left(S_{z}\right)_{ab}&=\hbar (s+1-a)\delta _{a,b}=\hbar (s+1-b)\delta _{a,b},\end{aligned}}$$ где индексы $a,b$ являются целыми числами такими, что $$1\leq a\leq 2s+1,\quad 1\leq b\leq 2s+1.$$

также полезна в квантовой механике Общая группа Паули G _n многочастичных систем и определяется как состоящая из всех n -кратных тензорных произведений матриц Паули.

Аналог формулы Эйлера в терминах матриц Паули $${\hat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})=e^{i{\frac {\theta }{2}}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}=I\cos {\frac {\theta }{2}}+i\left({\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)\sin {\frac {\theta }{2}}$$ для более высоких вращений это приемлемо, но менее просто.

Паритет

Основная статья: Паритет (физика)

В таблицах спинового квантового числа s для ядер или частиц за спином часто стоит «+» или «-». Это относится к четности с «+» для четности (волновая функция не изменяется в результате пространственной инверсии) и «-» для нечетной четности (волновая функция отрицается пространственной инверсией). Например, см. изотопы висмута , в которых список изотопов включает столбец ядерного спина и четности. Для Bi-209, самого долгоживущего изотопа, запись 9/2– означает, что спин ядра равен 9/2 и четность нечетная.

Измерение вращения

Ядерный спин атомов можно определить путем усовершенствования оригинального эксперимента Штерна-Герлаха . Одноэнергетический (монохроматический) молекулярный пучок атомов в неоднородном магнитном поле разделится на пучки, представляющие каждое возможное спиновое квантовое состояние. Для атома с электронным спином S и ядерным спином I существует (2 S + 1) (2 I + 1) спиновых состояний. Например, нейтральные атомы Na , имеющие S = 1/2 , пропускались через серию неоднородных магнитных полей, которые выбирали одно из двух электронных спиновых состояний и разделяли ядерные спиновые состояния, из которых наблюдались четыре пучка. Таким образом, ядерный спин для ²³ Было обнаружено, что атомы Na имеют соотношение I = 3/2 .

Спин пионов , типа элементарных частиц, определялся принципом детального баланса, применяемым к тем столкновениям протонов, в результате которых рождались заряженные пионы и дейтерий . $$p+p\rightarrow \pi _{-}+d$$ Известные значения спинов протонов и дейтерия позволяют анализировать сечение столкновения и показать, что $\pi _{-}$ имеет вращение $s_{\pi }=0$. Для нейтральных пионов необходим другой подход. В этом случае реакция распада на два фотона гамма-излучения со спином один: $$\pi _{0}\rightarrow 2\gamma$$ Эти результаты, дополненные дополнительным анализом, приводят к выводу, что нейтральный пион также имеет нулевой спин.

Приложения

Спин имеет важные теоретические последствия и практические применения. Хорошо зарекомендовавшие себя прямые применения спина включают:

• Спектроскопия ядерного магнитного резонанса (ЯМР) в химии;
• Спектроскопия электронного спинового резонанса (ЭПР или ЭПР) в химии и физике;
• Магнитно-резонансная томография (МРТ) в медицине, разновидность прикладного ЯМР, основанная на спиновой плотности протонов;
• Гигантская магниторезистивная технология (GMR) в современных жестких дисках .

Спин электрона играет важную роль в магнетизме , который находит применение, например, в компьютерной памяти. Манипулирование ядерным спином с помощью радиочастотных волн ( ядерный магнитный резонанс ) важно в химической спектроскопии и медицинской визуализации.

Спин-орбитальное взаимодействие приводит к тонкой структуре атомных спектров, которая используется в атомных часах и в современном определении секунды . Точные измерения g -фактора электрона сыграли важную роль в развитии и проверке квантовой электродинамики . Спин фотона связан с поляризацией света ( поляризация фотона ).

Новое применение спина – использование двоичного носителя информации в спиновых транзисторах . Оригинальная концепция, предложенная в 1990 году, известна как спиновый транзистор Датта-Даса . Электронику на основе спиновых транзисторов называют спинтроникой . Манипулирование спином в разбавленных магнитных полупроводниковых материалах , таких как легированный металлом ZnO или TiO _2, придает дополнительную степень свободы и потенциально может облегчить изготовление более эффективной электроники.

Существует множество косвенных применений и проявлений спина и связанного с ним принципа Паули , начиная с периодической таблицы в химии.

История

Смотрите также: История квантовой механики.

Вольфганг Паули читает лекции

Спин был впервые обнаружен в контексте спектра излучения щелочных металлов . Начиная примерно с 1910 года, многие эксперименты на различных атомах выявили ряд соотношений, включающих квантовые числа для уровней атомной энергии, частично обобщенных в модели атома Бора. Переходы между уровнями подчинялись правилам отбора , и было известно, что эти правила коррелируют с четным или нечетным атомным номером . Дополнительная информация была известна из изменений атомных спектров, наблюдаемых в сильных магнитных полях, известных как эффект Зеемана . В 1924 году Вольфганг Паули использовал эту большую коллекцию эмпирических наблюдений, чтобы предложить новую степень свободы. введя то, что он назвал «двузначностью, не поддающейся описанию классически». связанный с электроном на внешней оболочке .

Физическая интерпретация «степени свободы» Паули изначально была неизвестна. Ральф Крониг , один из помощников Альфреда Ланде , предположил в начале 1925 года, что он возник в результате самовращения электрона. Когда Паули услышал об этой идее, он резко раскритиковал ее, отметив, что гипотетическая поверхность электрона должна будет двигаться быстрее скорости света , чтобы вращаться достаточно быстро, чтобы создать необходимый угловой момент. Это нарушило бы теорию относительности . Во многом из-за критики Паули Крониг решил не публиковать свою идею.

Осенью 1925 года та же мысль пришла в голову голландским физикам Джорджу Уленбеку и Сэмюэлю Гаудсмиту из Лейденского университета . По совету Пауля Эренфеста они опубликовали свои результаты. Молодые физики сразу же пожалели о публикации: Хендрик Лоренц и Вернер Гейзенберг указали на проблемы с концепцией вращающегося электрона.

Паули был особенно неубежден и продолжал стремиться к своей двузначной степени свободы. Это позволило ему сформулировать принцип исключения Паули , утверждающий, что никакие два электрона не могут иметь одинаковое квантовое состояние в одной и той же квантовой системе.

К счастью, к февралю 1926 года Ллевеллину Томасу удалось устранить двукратное расхождение между экспериментальными результатами тонкой структуры спектра водорода и расчетами, основанными на модели Уленбека и Гаудсмита (и неопубликованной модели Кронига). Это несоответствие было связано с релятивистским эффектом, разницей между вращающейся системой покоя электрона и ядерной системой покоя; эффект теперь известен как прецессия Томаса . Результат Томаса убедил Паули в том, что спин электрона является правильной интерпретацией его двузначной степени свободы, в то время как он продолжал настаивать на том, что классическая модель вращающегося заряда недействительна.

В 1927 году Паули формализовал теорию спина, используя теорию квантовой механики, изобретенную Эрвином Шрёдингером и Вернером Гейзенбергом . Он был пионером в использовании матриц Паули для представления операторов спина и ввел двухкомпонентную спинорную волновую функцию.

Теория вращения Паули была нерелятивистской. В 1928 году Поль Дирак опубликовал свое релятивистское уравнение электрона, используя четырехкомпонентный спинор (известный как « спинор Дирака ») для волновой функции электрона. Релятивистский спин объяснил гиромагнитную аномалию. В 1940 году Паули доказал теорему спин-статистики , которая утверждает, что фермионы имеют полуцелый спин, а бозоны — целый спин.

Оглядываясь назад, можно сказать, что первым прямым экспериментальным доказательством спина электрона был эксперимент Штерна-Герлаха 1922 года. Однако правильное объяснение этого эксперимента было дано только в 1927 году. Первоначальная интерпретация предполагала, что два пятна, наблюдаемые в эксперименте, возникли из-за квантованного орбитального углового момента . Однако в 1927 году Рональд Фрейзер показал, что атомы натрия изотропны и не имеют орбитального углового момента, и предположил, что наблюдаемые магнитные свойства обусловлены спином электрона. В том же году Фиппс и Тейлор применили метод Штерна-Герлаха к атомам водорода; основное состояние водорода имеет нулевой угловой момент, но измерения снова показали два пика. Как только квантовая теория утвердилась, стало ясно, что первоначальная интерпретация не могла быть правильной: возможные значения орбитального углового момента вдоль одной оси всегда нечетное число, в отличие от наблюдений. Атомы водорода имеют один электрон с двумя спиновыми состояниями, что дает два наблюдаемых пятна; Атомы серебра имеют закрытые оболочки, которые не вносят вклад в магнитный момент, и на поле реагирует только несогласованный спин внешнего электрона.

См. также

• Хиральность (физика)
• Динамическая ядерная поляризация
• Спиральность (физика элементарных частиц)
• Преобразование Гольштейна – Примакова
• Теорема Крамерса
• уравнение Паули
• Псевдовектор Паули – Любанского
• Уравнение Рариты – Швингера
• Теория представлений SU(2)
• Спиновый угловой момент света
• Спиновая инженерия
• Спин-флип
• Спиновые изомеры водорода
• Спин-орбитальное взаимодействие
• Тензор спина
• Спинтроника
• Спиновая волна
• Есть

Дальнейшее чтение

• Коэн-Таннуджи, Клод; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (2006). Квантовая механика (2-томное изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-56952-7 .
• Кондон, ЕС; Шортли, GH (1935). «Особенно глава 3». Теория атомных спектров . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-09209-8 .
• Хиппл, Дж.А.; Соммер, Х.; Томас, штат Калифорния (1949). «Точный метод определения Фарадея методом магнитного резонанса» . Физический обзор . 76 (12): 1877–1878. Бибкод : 1949PhRv...76.1877H . дои : 10.1103/PhysRev.76.1877.2 .
• Эдмондс, Арканзас (1957). Угловой момент в квантовой механике . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-07912-7 .
• Джексон, Джон Дэвид (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-30932-1 .
• Сервей, Раймонд А.; Джуэтт, Джон В. (2004). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Брукс/Коул. ISBN  978-0-534-40842-8 .
• Томпсон, Уильям Дж. (1994). Угловой момент: иллюстрированное руководство по вращательной симметрии физических систем . Уайли. ISBN  978-0-471-55264-2 .
• Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: Механика, колебания и волны, Термодинамика (5-е изд.). У. Х. Фриман. ISBN  978-0-7167-0809-4 .
• Син-Итиро Томонага, История вращения, 1 997

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные со спином (физикой) в Wikiquote
• Гаудсмит об открытии спина электрона.
• Природа : « Вехи в развитии с 1896 года ».
• ECE 495N Лекция 36: Лекция С. Датты Spin Online