Уравнение Леви-Леблона

В квантовой механике уравнение Леви-Леблона описывает динамику частицы со спином 1/2 . Это линеаризованная версия уравнения Шрёдингера и уравнения Паули . Его вывел французский физик Жан-Марк Леви-Леблон в 1967 году. ^{[ 1 ]}

Уравнение Леви-Леблона было получено с помощью тех же эвристических выводов, что и уравнение Дирака , но в отличие от последнего уравнение Леви-Леблона не является релятивистским . Поскольку оба уравнения восстанавливают гиромагнитное отношение электронов , предполагается, что вращение не обязательно является релятивистским явлением.

Уравнение

Для нерелятивистской частицы со спином 1/2 массы m представление независимого от времени уравнения Леви-Леблона выглядит следующим образом: ^{[ 1 ]}

\left\{{\begin{matrix}E\psi +({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} c)\chi =0\\({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} c)\psi +2mc^{2}\chi =0\end{matrix}}\right.

где c — скорость света , E — энергия нерелятивистской частицы, $\mathbf {p} =-i\hbar \nabla$ — оператор импульса , а ${\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$ — вектор матриц Паули , пропорциональный оператору вращения $\mathbf {S} ={\tfrac {1}{2}}\hbar {\boldsymbol {\sigma }}$ . Здесь $\psi ,\chi$ — это двухкомпонентные функции ( спиноры ), описывающие волновую функцию частицы.

При минимальной связи уравнение может быть изменено для учета присутствия электромагнитного поля : ^{[ 1 ]}

\left\{{\begin{matrix}(E-qV)\psi +[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} )c]\chi =0\\{[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} )c]}\psi +2mc^{2}\chi =0\end{matrix}}\right.

где q — электрический заряд частицы. V — электрический потенциал , а A — векторный магнитный потенциал . Это уравнение линейно в своих пространственных производных.

Отношение к вращению

В 1928 году Поль Дирак линеаризовал релятивистское дисперсионное уравнение и получил уравнение Дирака, описываемое биспинором . Это уравнение можно разделить на два спинора в нерелятивистском пределе, что позволяет предсказать магнитный момент электрона с гиромагнитным отношением. ${\textstyle g=2}$ . ^{[ 2 ]} Успех теории Дирака привел к тому, что в некоторых учебниках ошибочно утверждается, что вращение обязательно является релятивистским явлением. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Жан-Марк Леви-Леблон применил ту же технику к нерелятивистскому соотношению энергии, показав, что то же самое предсказание ${\textstyle g=2}$ можно получить. ^{[ 2 ]} На самом деле, чтобы вывести уравнение Паули из уравнения Дирака, нужно воспользоваться уравнением Леви-Леблона. ^{[ 2 ]} Тогда спин является результатом квантовой механики и линеаризации уравнений, но не обязательно релятивистским эффектом. ^{[ 3 ]}^{[ 5 ]}

Уравнение Леви-Леблона является инвариантом Галилея . не нужна полная группа Пуанкаре . Это уравнение показывает, что для объяснения спина 1/2 ^{[ 4 ]} В классическом пределе, где ${\textstyle c\to \infty }$ , квантовой механики в рамках группы преобразований Галилея достаточно. ^{[ 1 ]} Аналогично можно построить классическое линейное уравнение для любого произвольного спина. ^{[ 1 ]}^{[ 6 ]} По той же идее можно построить уравнения электромагнетизма Галилея . ^{[ 1 ]}

Связь с другими уравнениями

Уравнение Шредингера и Паули

Взяв вторую строку уравнения Леви-Леблона и подставив ее обратно в первую строку, с помощью алгебры матриц Паули получаем, что ^{[ 3 ]}

{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} )^{2}\psi -E\psi =\left[{\frac {1}{2m}}\mathbf {p} ^{2}-E\right]\psi =0

,

которое представляет собой уравнение Шрёдингера для двузначного спинора . Обратите внимание, что решение для $\chi$ также возвращает другое уравнение Шрёдингера. Выражение Паули для спина 1 ⁄ частицу в электромагнитном поле можно восстановить минимальной связью: ^{[ 3 ]}

\left\{{\frac {1}{2m}}[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} )]^{2}+qV\right\}\psi =E\psi

.

В то время как Леви-Леблонда линейны по своим производным, уравнения Паули и Шредингера являются квадратичными по пространственным производным.

Уравнение Дирака

Уравнение Дирака можно записать как: ^{[ 1 ]}

\left\{{\begin{matrix}({\mathcal {E}}-mc^{2})\psi +({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} c)\chi =0\\({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} c)\psi +({\mathcal {E}}+mc^{2})\chi =0\end{matrix}}\right.

где ${\textstyle {\mathcal {E}}}$ – полная релятивистская энергия. В нерелятивистском пределе ${\textstyle E\ll mc^{2}}$ и ${\textstyle {\mathcal {E}}\approx mc^{2}+E+\cdots }$ восстанавливаются уравнения Леви-Леблона.

Эвристический вывод

Подобно историческому выводу уравнения Дирака Полем Дираком , можно попытаться линеаризовать нерелятивистское дисперсионное уравнение. ${\textstyle E={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}}$ . Нам нужны два оператора $Θ$ и $Θ',$ линейные по ${\textstyle \mathbf {p} }$ (пространственные производные) и E , например ^{[ 3 ]}

\left\{{\begin{matrix}\Theta \Psi =[AE+\mathbf {B} \cdot \mathbf {p} c+2mc^{2}C]\Psi =0\\\Theta '\Psi =[A'E+\mathbf {B} '\cdot \mathbf {p} c+2mc^{2}C']\Psi =0\end{matrix}}\right.

для некоторых ${\textstyle A,A',\mathbf {B} =(B_{x},B_{y},B_{z}),\mathbf {B} '=(B_{x}',B_{y}',B_{z}'),C,C'}$ , так что их произведение восстанавливает классическое дисперсионное соотношение, т.е.

{\frac {1}{2mc^{2}}}\Theta '\Theta =E-{\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}

,

где коэффициент $2 mc 2$ является произвольным и предназначен только для нормализации. Выполняя продукт, можно обнаружить, что решения не существует, если ${\textstyle A,A',B_{i},B_{i}',C,C'}$ являются одномерными константами. Наименьшее измерение, где есть решение, равно 4. Тогда ${\textstyle A,A',\mathbf {B} ,\mathbf {B} ',C,C'}$ являются матрицами, которые должны удовлетворять следующим соотношениям:

\left\{{\begin{matrix}A'A=0\\C'C=0\\A'B_{i}+B_{i}'A=0\\C'B_{i}+B_{i}'C=0\\A'C+C'A=I_{4}\\B_{i}'B_{j}+B_{j}'B_{i}=-2\delta _{ij}\end{matrix}}\right.

эти отношения можно перестроить, включив в них гамма-матрицы из алгебры Клиффорда . ^{[ 3 ]}^{[ 2 ]} ${\textstyle I_{N}}$ — идентичности размерности N. матрица Одним из возможных представлений является

A=A'={\begin{pmatrix}0&0\\I_{2}&0\end{pmatrix}},B_{i}=-B_{i}'={\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\end{pmatrix}},C=C'={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\0&0\end{pmatrix}}

,

такой, что ${\textstyle \Theta \Psi =0}$ , с ${\textstyle \Psi =(\psi ,\chi )}$ , возвращает уравнение Леви-Леблона. Могут быть выбраны другие представления, приводящие к эквивалентным уравнениям с разными знаками или фазами. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Леви-Леблон, Жан-Марк (1 декабря 1967). «Нерелятивистские частицы и волновые уравнения» . Связь в математической физике . 6 (4): 286–311. дои : 10.1007/BF01646020 . ISSN 1432-0916 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Уилкс, Джеймс М. (01 мая 2020 г.). «Уравнения Паули и Леви-Леблона и плотность спинового тока» . Европейский журнал физики . 41 (3): 035402. arXiv : 1908.03276 . дои : 10.1088/1361-6404/ab7495 . ISSN 0143-0807 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Грейнер, Уолтер (4 октября 2000 г.). Квантовая механика: Введение . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67458-0 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Джаммер, Макс (1966). Концептуальное развитие квантовой механики . МакГроу-Хилл.
^ Фейнман, Ричард П. (19 февраля 2018 г.). Квантовая электродинамика . ЦРК Пресс. ISBN 978-0-429-97287-4 .
^ Херли, Уильям Дж. (15 мая 1971 г.). «Нерелятивистская квантовая механика для частиц с произвольным спином» . Физический обзор D . 3 (10): 2339–2347. дои : 10.1103/PhysRevD.3.2339 . ISSN 0556-2821 .

[:1-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Леви-Леблон, Жан-Марк (1 декабря 1967). «Нерелятивистские частицы и волновые уравнения» . Связь в математической физике . 6 (4): 286–311. дои : 10.1007/BF01646020 . ISSN 1432-0916 .

[:2-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Уилкс, Джеймс М. (01 мая 2020 г.). «Уравнения Паули и Леви-Леблона и плотность спинового тока» . Европейский журнал физики . 41 (3): 035402. arXiv : 1908.03276 . дои : 10.1088/1361-6404/ab7495 . ISSN 0143-0807 .

[:0-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Грейнер, Уолтер (4 октября 2000 г.). Квантовая механика: Введение . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67458-0 .

[:3-4] Перейти обратно: ^а ^б Джаммер, Макс (1966). Концептуальное развитие квантовой механики . МакГроу-Хилл.

[5] Фейнман, Ричард П. (19 февраля 2018 г.). Квантовая электродинамика . ЦРК Пресс. ISBN 978-0-429-97287-4 .

[6] Херли, Уильям Дж. (15 мая 1971 г.). «Нерелятивистская квантовая механика для частиц с произвольным спином» . Физический обзор D . 3 (10): 2339–2347. дои : 10.1103/PhysRevD.3.2339 . ISSN 0556-2821 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]