Разложение Гордона

В математической физике Гордона разложение (названный в честь Уолтера Гордона ) тока Дирака представляет собой расщепление тока заряда или числа частиц на часть, возникающую из-за движения центра масс частиц, и часть, возникающую из-за градиентов спиновой плотности. В нем явно используется уравнение Дирака , поэтому оно применимо только к решениям уравнения Дирака «на оболочке».

Исходное заявление

Для любого решения $\psi$ массивного уравнения Дирака,

$(i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi =0,$

ковариантное число-ток Лоренца $j^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$ может быть выражено как

${\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ={\frac {i}{2m}}({\bar {\psi }}\nabla ^{\mu }\psi -(\nabla ^{\mu }{\bar {\psi }})\psi )+{\frac {1}{m}}\partial _{\nu }({\bar {\psi }}\Sigma ^{\mu \nu }\psi ),$

где

$\Sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]$

— спинорный генератор преобразований Лоренца , и

${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$

является сопряженным Дирака .

Соответствующая версия в импульсном пространстве для плоских волновых решений $u(p)$ и ${\bar {u}}(p')$ подчиняясь

$(\gamma ^{\mu }p_{\mu }-m)u(p)=0$

${\bar {u}}(p')(\gamma ^{\mu }p'_{\mu }-m)=0,$

является

${\bar {u}}(p')\gamma ^{\mu }u(p)={\bar {u}}(p')\left[{\frac {(p+p')^{\mu }}{2m}}+i\sigma ^{\mu \nu }{\frac {(p'-p)_{\nu }}{2m}}\right]u(p)~,$

где

$\sigma ^{\mu \nu }=2\Sigma ^{\mu \nu }.$

Доказательство

Это видно из уравнения Дирака, что

${\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(m\psi )={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(i\gamma ^{\nu }\nabla _{\nu }\psi )$

и, исходя из сопряженного уравнения Дирака,

$({\bar {\psi }}m)\gamma ^{\mu }\psi =((\nabla _{\nu }{\bar {\psi }})(-i\gamma ^{\nu }))\gamma ^{\mu }\psi .$

Сложение этих двух уравнений дает

${\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ={\frac {i}{2m}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\nabla _{\nu }\psi -(\nabla _{\nu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\psi ).$

Из алгебры Дирака можно показать, что матрицы Дирака удовлетворяют

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }=\eta ^{\mu \nu }-i\sigma ^{\mu \nu }=\eta ^{\nu \mu }+i\sigma ^{\nu \mu }.$

Используя это соотношение,

${\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ={\frac {i}{2m}}({\bar {\psi }}(\eta ^{\mu \nu }-i\sigma ^{\mu \nu })\nabla _{\nu }\psi -(\nabla _{\nu }{\bar {\psi }})(\eta ^{\mu \nu }+i\sigma ^{\mu \nu })\psi ),$

что после некоторой алгебры представляет собой просто разложение Гордона.

Утилита

Вторая, спин-зависимая, часть тока, связанная с полем фотонов, $-A_{\mu }j^{\mu }$ дает, с точностью до пренебрежимой полной дивергенции,

$-{\frac {e\hbar }{2mc}}\partial _{\nu }A_{\mu }{\bar {\psi }}\sigma ^{\nu \mu }\psi =-{\frac {e\hbar }{2mc}}{\tfrac {1}{2}}F_{\mu \nu }{\bar {\psi }}\sigma ^{\mu \nu }\psi ,$

то есть эффективный моментный член Паули , $-(e\hbar /2mc){\vec {B}}\cdot \psi ^{\dagger }{\vec {\sigma }}\psi$.

Безмассовое обобщение

Это разложение тока на поток числа частиц (первый член) и вклад связанного спина (второй член) требует $m\neq 0$.

Если предположить, что данное решение имеет энергию ${\textstyle E={\sqrt {|{\mathbf {k} }|^{2}+m^{2}}}}$ так что ${\textstyle \psi (\mathbf {r} ,t)=\psi ({\mathbf {r} })e^{-iEt}}$, можно получить разложение, справедливое как для массивных, так и для безмассовых случаев.

Снова воспользовавшись уравнением Дирака, можно найти, что

${\mathbf {j} }\equiv e{\bar {\psi }}{\boldsymbol {\gamma }}\psi ={\frac {e}{2iE}}\left(\psi ^{\dagger }\nabla \psi -(\nabla \psi ^{\dagger })\psi \right)+{\frac {e}{E}}(\nabla \times {\mathbf {S} }).$

Здесь ${\boldsymbol {\gamma }}=(\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3})$, и ${\mathbf {S} }=\psi ^{\dagger }{\hat {\mathbf {S} }}\psi$с $({\hat {S}}_{x},{\hat {S}}_{y},{\hat {S}}_{z})=(\Sigma ^{23},\Sigma ^{31},\Sigma ^{12}),$так что

${\hat {\mathbf {S} }}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{matrix}{\boldsymbol {\sigma }}&0\\0&{\boldsymbol {\sigma }}\end{matrix}}\right],$

где ${\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$ — вектор матриц Паули .

При плотности числа частиц, отождествляемой с $\rho =\psi ^{\dagger }\psi$, а для ближней плоской волнырешения конечной протяженности, можно интерпретировать первый член разложения как текущий ${\mathbf {j} }_{\rm {free}}=e\rho {\mathbf {k} }/E=e\rho {\mathbf {v} }$, из-за частиц, движущихся со скоростью ${\mathbf {v} }={\mathbf {k} }/E$.

Второй срок, ${\mathbf {j} }_{\rm {bound}}=(e/E)\nabla \times {\mathbf {S} }$ — ток, обусловленный градиентами плотности собственного магнитного момента. Сам магнитный момент находится путем интегрирования по частям, чтобы показать, что

${\boldsymbol {\mu }}{\stackrel {\rm {}}{=}}{\frac {1}{2}}\int {\mathbf {r} }\times {\mathbf {j} }_{\rm {bound}}\,d^{3}x={\frac {1}{2}}\int {\mathbf {r} }\times \left({\frac {e}{E}}\nabla \times {\mathbf {S} }\right)\,d^{3}x={\frac {e}{E}}\int {\mathbf {S} }\,d^{3}x~.$

Для одиночной массивной частицы в системе покоя, где $E=m$, магнитный момент уменьшается до

${\boldsymbol {\mu }}_{\rm {Dirac}}=\left({\frac {e}{m}}\right){\mathbf {S} }=\left({\frac {eg}{2m}}\right){\mathbf {S} }.$

где $|{\mathbf {S} }|=\hbar /2$ и $g=2$ – значение Дирака гиромагнитного отношения .

Для одиночной безмассовой частицы, подчиняющейся правому уравнению Вейля, спин 1/2 зафиксирован в направлении ${\hat {\mathbf {k} }}$ его кинетического импульса, а магнитный момент становится

${\boldsymbol {\mu }}_{\rm {Weyl}}=\left({\frac {e}{E}}\right){\frac {\hbar {\hat {\mathbf {k} }}}{2}}.$

Плотность углового момента

Как для массивного, так и для безмассового случая также существует выражение для плотности импульса как части симметричного тензора энергии-напряжения Белинфанте – Розенфельда.

$T_{\rm {BR}}^{\mu \nu }={\frac {i}{4}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\nabla ^{\nu }\psi -(\nabla ^{\nu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\mu }\psi +{\bar {\psi }}\gamma ^{\nu }\nabla ^{\mu }\psi -(\nabla ^{\mu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\nu }\psi ).$

Используя уравнение Дирака, можно оценить $T_{\rm {BR}}^{0\mu }=({\mathcal {E}},{\mathbf {P} })$ найти плотность энергии, которая будет ${\mathcal {E}}=E\psi ^{\dagger }\psi$, а плотность импульса

${\mathbf {P} }={\frac {1}{2i}}\left(\psi ^{\dagger }(\nabla \psi )-(\nabla \psi ^{\dagger })\psi \right)+{\frac {1}{2}}\nabla \times {\mathbf {S} }.$

Если использовать несимметричный канонический тензор энергии-импульса

$T_{\rm {canonical}}^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\nabla ^{\nu }\psi -(\nabla ^{\nu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\mu }\psi ),$

нельзя найти вклад связанного спинового импульса.

Путем интегрирования по частям находим, что вклад спина в полный угловой момент равен

$\int {\mathbf {r} }\times \left({\frac {1}{2}}\nabla \times {\mathbf {S} }\right)\,d^{3}x=\int {\mathbf {S} }\,d^{3}x.$

Это то, что и ожидалось, поэтому необходимо деление спинового вклада в плотность импульса на 2. Отсутствие деления на 2 в формуле тока отражает $g=2$ гиромагнитное отношение электрона. Другими словами, градиент спиновой плотности в два раза более эффективен при создании электрического тока, чем при создании линейного импульса.

Спин в уравнениях Максвелла

Вдохновленный Римана – Зильберштейна векторной формой уравнений Максвелла , Майкл Берри использует стратегию Гордона для получения калибровочно-инвариантных выражений для собственной плотности спинового углового момента для решений уравнений Максвелла .

Он предполагает, что решения монохроматические, и использует векторные выражения $\mathbf {E} =\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}$, $\mathbf {H} =\mathbf {H} (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}$. Тогда среднее по времени плотность импульса вектора Пойнтинга определяется выражением $${\begin{aligned}\langle \mathbf {P} \rangle &={\frac {1}{4c^{2}}}[{\mathbf {E} }^{*}\times {\mathbf {H} }+{\mathbf {E} }\times {\mathbf {H} }^{*}]\\&={\frac {\epsilon _{0}}{4i\omega }}[{\mathbf {E} }^{*}\cdot (\nabla {\mathbf {E} })-(\nabla {\mathbf {E} }^{*})\cdot {\mathbf {E} }+\nabla \times ({\mathbf {E} }^{*}\times {\mathbf {E} })]\\&={\frac {\mu _{0}}{4i\omega }}[{\mathbf {H} }^{*}\cdot (\nabla {\mathbf {H} })-(\nabla {\mathbf {H} }^{*})\cdot {\mathbf {H} }+\nabla \times ({\mathbf {H} }^{*}\times {\mathbf {H} })].\end{aligned}}$$Мы использовали уравнения Максвелла при переходе от первой ко второй и третьей строкам и в таких выражениях, как ${\mathbf {H} }^{*}\cdot (\nabla {\mathbf {H} })$ скалярное произведение находится между полями, так что векторный характер определяется $\nabla$.

Как $$\mathbf {P} _{\text{tot}}=\mathbf {P} _{\text{free}}+{\mathbf {P} }_{\text{bound}},$$а для жидкости с собственной плотностью углового момента $\mathbf {S}$ у нас есть $$\mathbf {P} _{\text{bound}}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {S} ,$$эти тождества предполагают, что спиновую плотность можно идентифицировать как $$\mathbf {S} ={\frac {\mu _{0}}{2i\omega }}{\mathbf {H} }^{*}\times {\mathbf {H} }$$или $$\mathbf {S} ={\frac {\epsilon _{0}}{2i\omega }}{\mathbf {E} }^{*}\times {\mathbf {E} }.$$ Два разложения совпадают, когда поле параксиально. Они совпадают и тогда, когда поле находится в чисто спиральном состоянии, т. е. когда ${\mathbf {E} }=i\sigma c{\mathbf {B} }$ где спиральность $\sigma$ принимает значения $\pm 1$ для света с правой или левой циркулярной поляризацией соответственно. В других случаях они могут отличаться.