Парадокс Клейна

В релятивистской квантовой механике парадокс Клейна (также известный как туннелирование Клейна ) — это квантовое явление, связанное с тем, что частицы сталкиваются с высокоэнергетическими потенциальными барьерами. Он назван в честь физика Оскара Кляйна , открывшего его в 1929 году. Первоначально Клейн получил парадоксальный результат, применив уравнение Дирака к знакомой задаче рассеяния электронов на потенциальном барьере . В нерелятивистской квантовой механике туннелирование электронов наблюдается в барьер с экспоненциальным затуханием . Однако результат Клейна показал, что если потенциал хотя бы порядка массы электрона $Ve\approx mc^{2}$ (где V — электрический потенциал , e — элементарный заряд , m — масса электрона и c — скорость света ), барьер почти прозрачен. Более того, по мере приближения потенциала к бесконечности отражение уменьшается и электрон всегда передается.

Непосредственное применение парадокса имело место в протон-электронной модели Резерфорда для нейтральных частиц внутри ядра до открытия нейтрона . Этот парадокс представляет собой квантовомеханическое возражение против идеи об электроне, заключенном внутри ядра. Этот ясный и точный парадокс предполагал, что электрон не может быть удержан внутри ядра какой-либо потенциальной ямой. Смысл этого парадокса в то время активно обсуждался.

Безмассовые частицы

Рассмотрим безмассовую релятивистскую частицу, приближающуюся к потенциальной ступеньке высоты. $V_{0}$ с энергией $E_{0}<V_{0}e$ и импульс $p$.

Волновая функция частицы, $\psi$, следует независимому от времени уравнению Дирака :

$\left(\sigma _{x}p+V\right)\psi =E_{0}\psi ,\quad V={\begin{cases}0,&x<0\\V_{0},&x>0\end{cases}}$

И $\sigma _{x}$ матрица Паули :

$\sigma _{x}=\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}}\right)$

Рис. 1. Изображение дисперсионного уравнения: ось x представляет импульс, а ось y представляет энергию.

Полагая, что частица распространяется слева, получим два решения — одно перед ступенькой, в области (1) и одно под потенциалом, в области (2):

$\psi _{1}=Ae^{ipx}\left({\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right)+A'e^{-ipx}\left({\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}}\right),\quad p=E_{0}\,$

$\psi _{2}=Be^{ikx}\left({\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right),\quad \left|k\right|=V_{0}-E_{0}\,$

где коэффициенты A , A ' и B являются комплексными числами.И приходящая, и передаваемая волновые функции связаны с положительной групповой скоростью (синие линии на рис. 1), тогда как отраженная волновая функция связана с отрицательной групповой скоростью. (Зеленые линии на рис.1)

Теперь мы хотим вычислить коэффициенты прохождения и отражения, $T,R.$Они выводятся из токов амплитуды вероятности .

Определение вероятностного тока, связанного с уравнением Дирака, следующее:

$J_{i}=\psi _{i}^{\dagger }\sigma _{x}\psi _{i},\ i=1,2\,$

В этом случае:

$J_{1}=2\left[\left|A\right|^{2}-\left|A'\right|^{2}\right],\quad J_{2}=2\left|B\right|^{2}\,$

Коэффициенты передачи и отражения:

$R={\frac {\left|A'\right|^{2}}{\left|A\right|^{2}}},\quad T={\frac {\left|B\right|^{2}}{\left|A\right|^{2}}}\,$

Непрерывность волновой функции при $x=0$, дает:

$\left|A\right|^{2}=\left|B\right|^{2}\,$

$\left|A'\right|^{2}=0\,$

И так коэффициент передачи равен 1 и отражения нет.

Одна из интерпретаций парадокса состоит в том, что потенциальный шаг не может изменить направление групповой скорости безмассовой релятивистской частицы. Это объяснение лучше всего подходит для решения с одной частицей, упомянутого выше. Другие, более сложные интерпретации предлагаются в литературе в контексте квантовой теории поля , где показано, что неограниченное туннелирование происходит из-за существования пар частица-античастица в потенциале.

Массивный случай

Для массивного случая расчеты аналогичны приведенным выше.Результаты столь же неожиданны, как и в безмассовом случае. Коэффициент передачи всегда больше нуля и приближается к 1, когда потенциальный шаг стремится к бесконечности.

Зона Клейна

Если энергия частицы находится в пределах $mc^{2}<E<Ve-mc^{2}$, то получится частичное, а не полное отражение.

Решения по массовому делу

В то время как традиционное решение использует образование пар частица-античастица в контексте квантовой теории поля (Hansen 1981), существует более простое решение, которое заменяет физическое образование пар рассеянием решений с отрицательной энергией под барьером (Alhaidari 2009). Эта стратегия также была применена для получения аналитических решений уравнения Дирака для бесконечной квадратной ямы.

Другие случаи

Эти результаты были распространены на более высокие измерения и на другие типы потенциалов, такие как линейная ступенька, квадратный барьер, гладкий потенциал и т. д.Многие эксперименты по транспорту электронов в графене основаны на парадоксе Клейна для безмассовых частиц.

См. также

• Список парадоксов

Дальнейшее чтение

• Домби, Н.; Калогеракос, А. (июль 1999 г.). «Семьдесят лет парадокса Клейна». Отчеты по физике . 315 (1–3): 41–58. Бибкод : 1999PhR...315...41D . дои : 10.1016/S0370-1573(99)00023-X .
• Робинсон, Т.Р. (2012). «О туннелировании Клейна в графене». Американский журнал физики . 80 (2): 141–147. Бибкод : 2012AmJPh..80..141R . дои : 10.1119/1.3658629 .
• Калогеракос, А.; Домби, Н. (1999). «История и физика парадокса Клейна». Современная физика . 40 (5): 313–321. arXiv : Quant-ph/9905076 . Бибкод : 1999ConPh..40..313C . дои : 10.1080/001075199181387 . S2CID   18610861 .