Уравнение Каллана – Симанзика

В физике уравнение Каллана -Симанзика представляет собой дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию n -точечных корреляционных функций при изменении энергетического масштаба, в котором определена теория, и включает в себя бета-функцию теории и аномальные измерения.

Например, для квантовой теории поля с одним безмассовым скалярным полем и одним членом самосвязи обозначим голую напряженность поля через $\phi _{0}$ и затравочная константа связи на $g_{0}$. В процессе перенормировки масштаб массы M. необходимо выбрать В зависимости от M напряженность поля масштабируется на константу: $\phi =Z\phi _{0}$, и, как следствие, затравочная константа связи $g_{0}$ соответственно смещается к перенормированной константе связи g .

Физическое значение имеют перенормированные n -точечные функции, вычисляемые по связным диаграммам Фейнмана , схематически имеющие вид

$G^{(n)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n};M,g)=\langle \phi (x_{1})\phi (x_{2})\cdots \phi (x_{n})\rangle$

Для данного выбора схемы перенормировки вычисление этой величины зависит от выбора M , который влияет на сдвиг g и изменение масштаба $\phi$. Если выбор $M$ немного изменен по $\delta M$, то произойдут следующие сдвиги:

$M\to M+\delta M$

$g\to g+\delta g$

$\phi =Z\phi _{0}\to Z'\phi _{0}=(1+\delta \eta )\phi$

$G^{(n)}\to (1+n\,\delta \eta )G^{(n)}$

Уравнение Каллана-Симанзика связывает эти сдвиги:

$n\,\delta \eta G^{(n)}={\frac {\partial G^{(n)}}{\partial M}}\delta M+{\frac {\partial G^{(n)}}{\partial g}}\delta g$

После следующих определений

$\beta ={\frac {M}{\delta M}}\delta g$

$\gamma =-{\frac {M}{\delta M}}\delta \eta$

уравнение Каллана–Симанзика можно представить в общепринятом виде:

$\left[M{\frac {\partial }{\partial M}}+\beta (g){\frac {\partial }{\partial g}}+n\gamma \right]G^{(n)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n};M,g)=0$

$\beta (g)$ являющаяся бета-функцией .

В квантовой электродинамике это уравнение принимает вид

$\left[M{\frac {\partial }{\partial M}}+\beta (e){\frac {\partial }{\partial e}}+n\gamma _{2}+m\gamma _{3}\right]G^{(n,m)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n};y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m};M,e)=0$

где n и m — числа электронных и фотонных полей соответственно, для которых корреляционная функция $G^{(n,m)}$ определяется. Перенормированная константа связи теперь представляет собой перенормированный элементарный заряд e . Поле электрона и поле фотонов по-разному масштабируются при перенормировке и, таким образом, приводят к двум отдельным функциям: $\gamma _{2}$ и $\gamma _{3}$, соответственно.

Уравнение Каллана-Симанзика было открыто независимо Кертисом Калланом. и Курт Симанзик в 1970 году. Позже его использовали для понимания асимптотической свободы .

Это уравнение возникает в рамках ренормгруппы . Уравнение можно рассматривать, используя теорию возмущений .

См. также

• Ренормгруппа
• Бета-функция

Ссылки

• Жан Зинн-Джастин, Квантовая теория поля и критические явления , Oxford University Press, 2003, ISBN   0-19-850923-5
• Джон Клементс Коллинз, Перенормировка , Издательство Кембриджского университета, 1986, ISBN   0-521-31177-2
• Майкл Э. Пескин и Дэниел В. Шредер, Введение в квантовую теорию поля , Аддисон-Уэсли, Ридинг, 1995. 2-е издание, ПБК . Вествью Пресс. 2015.