Действие Эйнштейна – Гильберта

Действие Эйнштейна-Гильберта в общей теории относительности — это действие , которое приводит к уравнениям поля Эйнштейна посредством принципа стационарного действия . С (− + + +) метрической сигнатурой гравитационная часть действия задается как

$S={1 \over 2\kappa }\int R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x,$

где $g=\det(g_{\mu \nu })$ – определитель матрицы метрического тензора , $R$ является скаляром Риччи , и $\kappa =8\pi Gc^{-4}$ Эйнштейна гравитационная постоянная ( $G$ гравитационная постоянная и $c$ — скорость света в вакууме). Если оно сходится, то интеграл берется по всему пространству-времени . Если он не сходится, $S$ больше не является четко определенным, но модифицированное определение, при котором происходит интегрирование по сколь угодно большим, относительно компактным областям, по-прежнему дает уравнение Эйнштейна как уравнение Эйлера-Лагранжа действия Эйнштейна-Гильберта. Акция была предложена Дэвидом Гильбертом в 1915 году как часть его применения вариационного принципа к сочетанию гравитации и электромагнетизма.

Обсуждение

Вывод уравнений движения на основе действия имеет ряд преимуществ. Во-первых, это позволяет легко объединить общую теорию относительности с другими классическими теориями поля (такими как теория Максвелла ), которые также формулируются в терминах действия. При этом вывод идентифицирует естественного кандидата на роль исходного термина, связывающего метрику с полями материи. Более того, симметрия действия позволяет легко идентифицировать сохраняющиеся величины с помощью теоремы Нётер .

В общей теории относительности обычно предполагается, что действие является функционалом метрики (и полей материи), а связь задается связью Леви-Чивита . Формулировка общей теории относительности Палатини предполагает, что метрика и связь независимы и варьируются относительно обеих независимо, что позволяет включать поля фермионной материи с нецелым спином.

Уравнения Эйнштейна в присутствии материи задаются путем добавления действия материи к действию Эйнштейна – Гильберта.

Вывод уравнений поля Эйнштейна

Предположим, что полное действие теории задается слагаемым Эйнштейна–Гильберта плюс слагаемым ${\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }$ описывающих любые поля материи, возникающие в теории.

$S=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$. ( 1 )

Тогда принцип стационарного действия говорит нам, что для восстановления физического закона мы должны потребовать, чтобы изменение этого действия по отношению к обратной метрике было равно нулю, что дает

${\begin{aligned}0&=\delta S\\&=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}{\frac {\delta \left({\sqrt {-g}}R\right)}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta \left({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right)}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}\left({\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right)+{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta \left({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right)}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}$.

Поскольку это уравнение должно выполняться для любого изменения $\delta g^{\mu \nu }$, это означает, что

${\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2\kappa {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}$ ( 2 )

— уравнение движения метрического поля. Правая часть этого уравнения (по определению) пропорциональна тензору энергии-импульса ,

$T_{\mu \nu }:={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }$.

Чтобы вычислить левую часть уравнения, нам нужны вариации скаляра Риччи $R$ и определитель метрики. Их можно получить с помощью стандартных расчетов из учебников, таких как приведенный ниже, который в значительной степени основан на расчете, приведенном в Carroll (2004).

Вариация скаляра Риччи

Изменение скаляра Риччи следует из изменения тензора кривизны Римана , а затем и тензора кривизны Риччи .

Первый шаг отражен в тождестве Палатини.

$\delta R_{\sigma \nu }\equiv \delta {R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }=\nabla _{\rho }\left(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }\right)-\nabla _{\nu }\left(\delta \Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }\right)$.

Используя правило произведения, изменение скаляра Риччи $R=g^{\sigma \nu }R_{\sigma \nu }$ затем становится

${\begin{aligned}\delta R&=R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+g^{\sigma \nu }\delta R_{\sigma \nu }\\&=R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+\nabla _{\rho }\left(g^{\sigma \nu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\mu }\right),\end{aligned}}$

где мы также использовали метрическую совместимость $\nabla _{\sigma }g^{\mu \nu }=0$и переименовал индексы суммирования $(\rho ,\nu )\rightarrow (\mu ,\rho )$ в последний срок.

При умножении на ${\sqrt {-g}}$, термин $\nabla _{\rho }\left(g^{\sigma \nu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\mu }\right)$ становится полной производной , так как для любого вектора $A^{\lambda }$ и любая тензорная плотность ${\sqrt {-g}}\,A^{\lambda }$, у нас есть

${\sqrt {-g}}\,A_{;\lambda }^{\lambda }=\left({\sqrt {-g}}\,A^{\lambda }\right)_{;\lambda }=\left({\sqrt {-g}}\,A^{\lambda }\right)_{,\lambda }$ или ${\sqrt {-g}}\,\nabla _{\mu }A^{\mu }=\nabla _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\,A^{\mu }\right)=\partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\,A^{\mu }\right)$.

По теореме Стокса это дает граничный член только при интегрировании. Граничный член вообще не равен нулю, поскольку подынтегральная функция зависит не только от $\delta g^{\mu \nu },$ но и о его частных производных $\partial _{\lambda }\,\delta g^{\mu \nu }\equiv \delta \,\partial _{\lambda }g^{\mu \nu }$; см. в статье « Граничный термин Гиббонса – Хокинга – Йорка» Подробности . Однако при изменении метрики $\delta g^{\mu \nu }$ обращается в нуль в окрестности границы или когда граница отсутствует, этот член не вносит вклада в изменение действия. Таким образом, мы можем забыть об этом члене и просто получить

${\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}=R_{\mu \nu }$. ( 3 )

на мероприятиях не по закрытию границы.

Изменение определителя

Формула Якоби , правило дифференцирования определителя , дает:

$\delta g=\delta \det(g_{\mu \nu })=gg^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }$,

или можно преобразовать в систему координат, где $g_{\mu \nu }$ является диагональю, а затем примените правило произведения, чтобы дифференцировать произведение факторов на главной диагонали. Используя это, мы получаем

$\delta {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2{\sqrt {-g}}}}\delta g={\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\left(g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }\right)=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\left(g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }\right)$

В последнем равенстве мы использовали тот факт, что

$g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }$

которое следует из правила дифференцирования обратной матрицы

$\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \alpha }\left(\delta g_{\alpha \beta }\right)g^{\beta \nu }$.

Таким образом, мы заключаем, что

${\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }$. ( 4 )

Уравнение движения

Теперь, когда в нашем распоряжении есть все необходимые вариации, мы можем подставить ( 3 ) и ( 4 ) в уравнение движения ( 2 ) метрического поля, чтобы получить

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$, ( 5 )

что представляет собой уравнения поля Эйнштейна , и

$\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}$

был выбран таким образом, что нерелятивистский предел дает обычную форму закона гравитации Ньютона , где $G$ — гравитационная постоянная ( см. здесь подробнее ).

Космологическая постоянная

Когда космологическая постоянная Λ включена в лагранжиан , действие:

$S=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$

Взяв вариации относительно обратной метрики:

${\begin{aligned}\delta S&=\int \left[{\frac {\sqrt {-g}}{2\kappa }}{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}-{\frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\sqrt {-g}}{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}-{\frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}$

Используя принцип действия :

$0=\delta S={\frac {1}{2\kappa }}{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}-{\frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}$

Объединив это выражение с результатами, полученными ранее:

${\begin{aligned}{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}&=R_{\mu \nu }\\{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}&={\frac {-g_{\mu \nu }}{2}}\\T_{\mu \nu }&={\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }g_{\mu \nu }-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}\end{aligned}}$

Мы можем получить:

${\begin{aligned}{\frac {1}{2\kappa }}R_{\mu \nu }+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {-g_{\mu \nu }}{2}}-{\frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {-g_{\mu \nu }}{2}}+\left({\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }{\frac {-g_{\mu \nu }}{2}}\right)&=0\\R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }+\kappa \left(2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}-{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }g_{\mu \nu }\right)&=0\\R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }-\kappa T_{\mu \nu }&=0\end{aligned}}$

С ${\textstyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$, выражение принимает вид уравнений поля с космологической постоянной :

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.$

См. также

• Тензор Белинфанте – Розенфельда
• Теория Бранса – Дике (в которой константа k заменена скалярным полем).
• Теория Эйнштейна – Картана
• f(R) гравитация (в которой скаляр Риччи заменен функцией кривизны Риччи)
• Граничный член Гиббонса – Хокинга – Йорка
• Теория Калуцы – Клейна
• Комарский суперпотенциал
• Палатини иск
• Телепараллелизм
• Тетрадное действие Палатини
• Вариационные методы в общей теории относительности
• Теорема Вермейля

Библиография

• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип. С .; Уиллер, Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN  978-0-7167-0344-0
• Уолд, Роберт М. (1984), Общая теория относительности , Издательство Чикагского университета, ISBN  978-0-226-87033-5
• Кэрролл, Шон М. (2004), Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности , Сан-Франциско: Аддисон-Уэсли, ISBN  978-0-8053-8732-2
• Гильберт, Д. (1915) Основы физики (немецкий оригинал бесплатно) (английский перевод за 25 долларов) , Konigl. Общество д. Знать. Геттинген, Новости математики-физики. Кл. 395-407
• Соколов, Д.Д. (2001) [1994], «Космологическая постоянная» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Фейнман, Ричард П. (1995), Фейнмановские лекции по гравитации , Аддисон-Уэсли, ISBN  0-201-62734-5
• Кристофер М. Хирата, лекция 33: Лагранжева формулировка ОТО (27 апреля 2012 г.).