Extension of the scalar spherical harmonics for use with vector fields
В математике векторные сферические гармоники ( VSH ) являются расширением скалярных сферических гармоник для использования с векторными полями . Компоненты VSH представляют собой комплексные функции, выраженные в базисных векторах сферических координат .
Для определения VSH использовалось несколько соглашений. [1] [2] [3] [4] [5] и др. . Учитывая скалярную сферическую гармонику Y ℓm ( θ , φ )
Y ℓ m = Y ℓ m r ^ , {\displaystyle \mathbf {Y} _{\ell m}=Y_{\ell m}{\hat {\mathbf {r} }},} Ψ ℓ m = r ∇ Y ℓ m , {\displaystyle \mathbf {\Psi } _{\ell m}=r\nabla Y_{\ell m},} Φ ℓ m = r × ∇ Y ℓ m , {\displaystyle \mathbf {\Phi } _{\ell m}=\mathbf {r} \times \nabla Y_{\ell m},} с r ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}} единичным вектором в радиальном направлении в сферических координатах и r {\displaystyle \mathbf {r} } r = r r ^ {\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}}
Интерес этих новых векторных полей состоит в том, чтобы отделить радиальную зависимость от угловой при использовании сферических координат, чтобы векторное поле допускало мультипольное разложение.
E = ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ ( E ℓ m r ( r ) Y ℓ m + E ℓ m ( 1 ) ( r ) Ψ ℓ m + E ℓ m ( 2 ) ( r ) Φ ℓ m ) . {\displaystyle \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(E_{\ell m}^{r}(r)\mathbf {Y} _{\ell m}+E_{\ell m}^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}+E_{\ell m}^{(2)}(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right).}
Этикетки на компонентах отражают это. E ℓ m r {\displaystyle E_{\ell m}^{r}} E ℓ m ( 1 ) {\displaystyle E_{\ell m}^{(1)}} E ℓ m ( 2 ) {\displaystyle E_{\ell m}^{(2)}} r {\displaystyle \mathbf {r} }
Как и скалярные сферические гармоники, VSH удовлетворяет
Y ℓ , − m = ( − 1 ) m Y ℓ m ∗ , Ψ ℓ , − m = ( − 1 ) m Ψ ℓ m ∗ , Φ ℓ , − m = ( − 1 ) m Φ ℓ m ∗ , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {Y} _{\ell m}^{*},\\\mathbf {\Psi } _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Psi } _{\ell m}^{*},\\\mathbf {\Phi } _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Phi } _{\ell m}^{*},\end{aligned}}}
что сокращает количество независимых функций примерно вдвое. Звездочка указывает на комплексное сопряжение .
VSH ортогональны обычным трехмерным образом в каждой точке. r {\displaystyle \mathbf {r} }
Y ℓ m ( r ) ⋅ Ψ ℓ m ( r ) = 0 , Y ℓ m ( r ) ⋅ Φ ℓ m ( r ) = 0 , Ψ ℓ m ( r ) ⋅ Φ ℓ m ( r ) = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {\Psi } _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}
Они также ортогональны в гильбертовом пространстве:
∫ Y ℓ m ⋅ Y ℓ ′ m ′ ∗ d Ω = δ ℓ ℓ ′ δ m m ′ , ∫ Ψ ℓ m ⋅ Ψ ℓ ′ m ′ ∗ d Ω = ℓ ( ℓ + 1 ) δ ℓ ℓ ′ δ m m ′ , ∫ Φ ℓ m ⋅ Φ ℓ ′ m ′ ∗ d Ω = ℓ ( ℓ + 1 ) δ ℓ ℓ ′ δ m m ′ , ∫ Y ℓ m ⋅ Ψ ℓ ′ m ′ ∗ d Ω = 0 , ∫ Y ℓ m ⋅ Φ ℓ ′ m ′ ∗ d Ω = 0 , ∫ Ψ ℓ m ⋅ Φ ℓ ′ m ′ ∗ d Ω = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {Y} _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {\Psi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\ell (\ell +1)\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {\Phi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\ell (\ell +1)\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {\Psi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0.\end{aligned}}}
Дополнительный результат в одной точке r {\displaystyle \mathbf {r} } ℓ , m , ℓ ′ , m ′ {\displaystyle \ell ,m,\ell ',m'}
Y ℓ m ( r ) ⋅ Ψ ℓ ′ m ′ ( r ) = 0 , Y ℓ m ( r ) ⋅ Φ ℓ ′ m ′ ( r ) = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}(\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}
Соотношения ортогональности позволяют вычислять сферические мультипольные моменты векторного поля как
E ℓ m r = ∫ E ⋅ Y ℓ m ∗ d Ω , E ℓ m ( 1 ) = 1 ℓ ( ℓ + 1 ) ∫ E ⋅ Ψ ℓ m ∗ d Ω , E ℓ m ( 2 ) = 1 ℓ ( ℓ + 1 ) ∫ E ⋅ Φ ℓ m ∗ d Ω . {\displaystyle {\begin{aligned}E_{\ell m}^{r}&=\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {Y} _{\ell m}^{*}\,d\Omega ,\\E_{\ell m}^{(1)}&={\frac {1}{\ell (\ell +1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Psi } _{\ell m}^{*}\,d\Omega ,\\E_{\ell m}^{(2)}&={\frac {1}{\ell (\ell +1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}^{*}\,d\Omega .\end{aligned}}}
Учитывая мультипольное разложение скалярного поля
ϕ = ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ ϕ ℓ m ( r ) Y ℓ m ( θ , ϕ ) , {\displaystyle \phi =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\phi _{\ell m}(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),}
мы можем выразить его градиент через VSH как
∇ ϕ = ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ ( d ϕ ℓ m d r Y ℓ m + ϕ ℓ m r Ψ ℓ m ) . {\displaystyle \nabla \phi =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {d\phi _{\ell m}}{dr}}\mathbf {Y} _{\ell m}+{\frac {\phi _{\ell m}}{r}}\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right).}
Для любого мультипольного поля имеем
∇ ⋅ ( f ( r ) Y ℓ m ) = ( d f d r + 2 r f ) Y ℓ m , ∇ ⋅ ( f ( r ) Ψ ℓ m ) = − ℓ ( ℓ + 1 ) r f Y ℓ m , ∇ ⋅ ( f ( r ) Φ ℓ m ) = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {Y} _{\ell m}\right)&=\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {2}{r}}f\right)Y_{\ell m},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right)&=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}fY_{\ell m},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right)&=0.\end{aligned}}}
Путем суперпозиции получаем дивергенцию любого векторного поля:
∇ ⋅ E = ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ ( d E ℓ m r d r + 2 r E ℓ m r − ℓ ( ℓ + 1 ) r E ℓ m ( 1 ) ) Y ℓ m . {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {dE_{\ell m}^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}E_{\ell m}^{r}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}E_{\ell m}^{(1)}\right)Y_{\ell m}.}
Мы видим, что компонента на Φ ℓm соленоидальна .
Для любого мультипольного поля имеем
∇ × ( f ( r ) Y ℓ m ) = − 1 r f Φ ℓ m , ∇ × ( f ( r ) Ψ ℓ m ) = ( d f d r + 1 r f ) Φ ℓ m , ∇ × ( f ( r ) Φ ℓ m ) = − ℓ ( ℓ + 1 ) r f Y ℓ m − ( d f d r + 1 r f ) Ψ ℓ m . {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \left(f(r)\mathbf {Y} _{\ell m}\right)&=-{\frac {1}{r}}f\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right)&=\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right)&=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}f\mathbf {Y} _{\ell m}-\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Psi } _{\ell m}.\end{aligned}}}
Методом суперпозиции получаем ротор любого векторного поля:
∇ × E = ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ ( − ℓ ( ℓ + 1 ) r E ℓ m ( 2 ) Y ℓ m − ( d E ℓ m ( 2 ) d r + 1 r E ℓ m ( 2 ) ) Ψ ℓ m + ( − 1 r E ℓ m r + d E ℓ m ( 1 ) d r + 1 r E ℓ m ( 1 ) ) Φ ℓ m ) . {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}E_{\ell m}^{(2)}\mathbf {Y} _{\ell m}-\left({\frac {dE_{\ell m}^{(2)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{(2)}\right)\mathbf {\Psi } _{\ell m}+\left(-{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{r}+{\frac {dE_{\ell m}^{(1)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{(1)}\right)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right).}
Действие оператора Лапласа Δ = ∇ ⋅ ∇ {\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla }
Δ ( f ( r ) Z ℓ m ) = ( 1 r 2 ∂ ∂ r r 2 ∂ f ∂ r ) Z ℓ m + f ( r ) Δ Z ℓ m , {\displaystyle \Delta \left(f(r)\mathbf {Z} _{\ell m}\right)=\left({\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)\mathbf {Z} _{\ell m}+f(r)\Delta \mathbf {Z} _{\ell m},} Z ℓ m = Y ℓ m , Ψ ℓ m , Φ ℓ m {\displaystyle \mathbf {Z} _{\ell m}=\mathbf {Y} _{\ell m},\mathbf {\Psi } _{\ell m},\mathbf {\Phi } _{\ell m}}
Δ Y ℓ m = − 1 r 2 ( 2 + ℓ ( ℓ + 1 ) ) Y ℓ m + 2 r 2 Ψ ℓ m , Δ Ψ ℓ m = 2 r 2 ℓ ( ℓ + 1 ) Y ℓ m − 1 r 2 ℓ ( ℓ + 1 ) Ψ ℓ m , Δ Φ ℓ m = − 1 r 2 ℓ ( ℓ + 1 ) Φ ℓ m . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {Y} _{\ell m}&=-{\frac {1}{r^{2}}}(2+\ell (\ell +1))\mathbf {Y} _{\ell m}+{\frac {2}{r^{2}}}\mathbf {\Psi } _{\ell m},\\\Delta \mathbf {\Psi } _{\ell m}&={\frac {2}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {Y} _{\ell m}-{\frac {1}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {\Psi } _{\ell m},\\\Delta \mathbf {\Phi } _{\ell m}&=-{\frac {1}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {\Phi } _{\ell m}.\end{aligned}}}
Также обратите внимание, что это действие становится симметричным , т.е. недиагональные коэффициенты равны 2 r 2 ℓ ( ℓ + 1 ) {\textstyle {\frac {2}{r^{2}}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}} нормализованного VSH.
ℓ = 0 {\displaystyle \ell =0} Y 00 = 1 4 π r ^ , Ψ 00 = 0 , Φ 00 = 0 . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{00}&={\sqrt {\frac {1}{4\pi }}}{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {\Psi } _{00}&=\mathbf {0} ,\\\mathbf {\Phi } _{00}&=\mathbf {0} .\end{aligned}}} ℓ = 1 {\displaystyle \ell =1} Y 10 = 3 4 π cos θ r ^ , Y 11 = − 3 8 π e i φ sin θ r ^ , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{10}&={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\sin \theta \,{\hat {\mathbf {r} }},\end{aligned}}} Ψ 10 = − 3 4 π sin θ θ ^ , Ψ 11 = − 3 8 π e i φ ( cos θ θ ^ + i φ ^ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Psi } _{10}&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }},\\\mathbf {\Psi } _{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\end{aligned}}} Φ 10 = − 3 4 π sin θ φ ^ , Φ 11 = 3 8 π e i φ ( i θ ^ − cos θ φ ^ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Phi } _{10}&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }},\\\mathbf {\Phi } _{11}&={\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\left(i\,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}} ℓ = 2 {\displaystyle \ell =2} Y 20 = 1 4 5 π ( 3 cos 2 θ − 1 ) r ^ , Y 21 = − 15 8 π sin θ cos θ e i φ r ^ , Y 22 = 1 4 15 2 π sin 2 θ e 2 i φ r ^ . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{20}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{22}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\,{\hat {\mathbf {r} }}.\end{aligned}}} Ψ 20 = − 3 2 5 π sin θ cos θ θ ^ , Ψ 21 = − 15 8 π e i φ ( cos 2 θ θ ^ + i cos θ φ ^ ) , Ψ 22 = 15 8 π sin θ e 2 i φ ( cos θ θ ^ + i φ ^ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Psi } _{20}&=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }},\\\mathbf {\Psi } _{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,e^{i\varphi }\,\left(\cos 2\theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\\\mathbf {\Psi } _{22}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}} Φ 20 = − 3 2 5 π sin θ cos θ φ ^ , Φ 21 = 15 8 π e i φ ( i cos θ θ ^ − cos 2 θ φ ^ ) , Φ 22 = 15 8 π sin θ e 2 i φ ( − i θ ^ + cos θ φ ^ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Phi } _{20}&=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\sin \theta \,\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }},\\\mathbf {\Phi } _{21}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,e^{i\varphi }\,\left(i\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos 2\theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\\\mathbf {\Phi } _{22}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\left(-i\,{\hat {\mathbf {\theta } }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}} Выражения для отрицательных значений m получены применением соотношений симметрии.
ВСГ особенно полезны при изучении мультипольных полей излучения . Например, магнитный мультиполь возникает из-за колеблющегося тока с угловой частотой ω {\displaystyle \omega }
J ^ = J ( r ) Φ ℓ m , {\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}=J(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m},}
и соответствующие электрическое и магнитное поля можно записать как
E ^ = E ( r ) Φ ℓ m , B ^ = B r ( r ) Y ℓ m + B ( 1 ) ( r ) Ψ ℓ m . {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {E} }}&=E(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\{\hat {\mathbf {B} }}&=B^{r}(r)\mathbf {Y} _{\ell m}+B^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}.\end{aligned}}}
Подставляя в уравнения Максвелла, закон Гаусса автоматически выполняется.
∇ ⋅ E ^ = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot {\hat {\mathbf {E} }}=0,}
в то время как закон Фарадея разделяется как
∇ × E ^ = − i ω B ^ ⇒ { ℓ ( ℓ + 1 ) r E = i ω B r , d E d r + E r = i ω B ( 1 ) . {\displaystyle \nabla \times {\hat {\mathbf {E} }}=-i\omega {\hat {\mathbf {B} }}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}{\dfrac {\ell (\ell +1)}{r}}E=i\omega B^{r},\\{\dfrac {dE}{dr}}+{\dfrac {E}{r}}=i\omega B^{(1)}.\end{cases}}}
Закон Гаусса для магнитного поля подразумевает
∇ ⋅ B ^ = 0 ⇒ d B r d r + 2 r B r − ℓ ( ℓ + 1 ) r B ( 1 ) = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot {\hat {\mathbf {B} }}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {dB^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}B^{r}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}B^{(1)}=0,}
и уравнение Ампера – Максвелла дает
∇ × B ^ = μ 0 J ^ + i μ 0 ε 0 ω E ^ ⇒ − B r r + d B ( 1 ) d r + B ( 1 ) r = μ 0 J + i ω μ 0 ε 0 E . {\displaystyle \nabla \times {\hat {\mathbf {B} }}=\mu _{0}{\hat {\mathbf {J} }}+i\mu _{0}\varepsilon _{0}\omega {\hat {\mathbf {E} }}\quad \Rightarrow \quad -{\frac {B^{r}}{r}}+{\frac {dB^{(1)}}{dr}}+{\frac {B^{(1)}}{r}}=\mu _{0}J+i\omega \mu _{0}\varepsilon _{0}E.}
Таким образом, уравнения в частных производных были преобразованы в систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
Угловая часть магнитных и электрических векторных сферических гармоник. Красные и зеленые стрелки показывают направление поля. Также представлены производящие скалярные функции, показаны только первые три порядка (диполи, квадруполи, октуполи). Во многих приложениях векторные сферические гармоники определяются как фундаментальный набор решений векторного уравнения Гельмгольца в сферических координатах. [6] [7]
В этом случае векторные сферические гармоники порождаются скалярными функциями, которые являются решениями скалярного уравнения Гельмгольца с волновым вектором k {\displaystyle \mathbf {k} } ψ e m n = cos m φ P n m ( cos ϑ ) z n ( k r ) ψ o m n = sin m φ P n m ( cos ϑ ) z n ( k r ) {\displaystyle {\begin{array}{l}{\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\\{\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\end{array}}} P n m ( cos θ ) {\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )} ассоциированными полиномами Лежандра и z n ( k r ) {\displaystyle z_{n}({k}r)} сферических функций Бесселя .
Векторные сферические гармоники определяются как:
продольные гармоники L o e m n = ∇ ψ o e m n {\displaystyle \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}=\mathbf {\nabla } \psi _{^{e}_{o}mn}} магнитные гармоники M o e m n = ∇ × ( r ψ o e m n ) {\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)} электрические гармоники N o e m n = ∇ × M o e m n k {\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}{k}}} Здесь мы используем действительную угловую часть гармоник, где m ≥ 0 {\displaystyle m\geq 0}
Введем обозначения ρ = k r {\displaystyle \rho =kr} M e m n ( k , r ) = − m sin ( θ ) sin ( m φ ) P n m ( cos ( θ ) ) z n ( ρ ) e θ − cos ( m φ ) d P n m ( cos ( θ ) ) d θ z n ( ρ ) e φ {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {M} _{emn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {{\frac {-m}{\sin(\theta )}}\sin(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }}\\{{}-\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}} M o m n ( k , r ) = m sin ( θ ) cos ( m φ ) P n m ( cos ( θ ) ) z n ( ρ ) e θ − sin ( m φ ) d P n m ( cos ( θ ) ) d θ z n ( ρ ) e φ {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {M} _{omn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {{\frac {m}{\sin(\theta )}}\cos(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }\\{{}-\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }}\end{aligned}}}
N e m n ( k , r ) = z n ( ρ ) ρ cos ( m φ ) n ( n + 1 ) P n m ( cos ( θ ) ) e r + cos ( m φ ) d P n m ( cos ( θ ) ) d θ 1 ρ d d ρ [ ρ z n ( ρ ) ] e θ − m sin ( m φ ) P n m ( cos ( θ ) ) sin ( θ ) 1 ρ d d ρ [ ρ z n ( ρ ) ] e φ {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {N} _{emn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\cos(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }}\\{{}+\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }\\{{}-m\sin(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}
N o m n ( k , r ) = z n ( ρ ) ρ sin ( m φ ) n ( n + 1 ) P n m ( cos ( θ ) ) e r + sin ( m φ ) d P n m ( cos ( θ ) ) d θ 1 ρ d d ρ [ ρ z n ( ρ ) ] e θ + m cos ( m φ ) P n m ( cos ( θ ) ) sin ( θ ) 1 ρ d d ρ [ ρ z n ( ρ ) ] e φ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {N} _{omn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\sin(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }\\{}+\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }\\{}+{m\cos(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}} ρ {\displaystyle \rho } ρ {\displaystyle \rho }
Продольные гармоники: L o e m n ( k , r ) = ∂ ∂ r z n ( k r ) P n m ( cos θ ) sin cos m φ e r + 1 r z n ( k r ) ∂ ∂ θ P n m ( cos θ ) sin cos m φ e θ ∓ m r sin θ z n ( k r ) P n m ( cos θ ) cos sin m φ e φ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} _{^{e}_{o}{mn}}(k,\mathbf {r} ){}=\qquad &{\frac {\partial }{\partial r}}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}{m\varphi }\mathbf {e} _{r}\\{}+{}&{\frac {1}{r}}z_{n}(kr){\frac {\partial }{\partial \theta }}P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}m\varphi \mathbf {e} _{\theta }\\{}\mp {}&{\frac {m}{r\sin \theta }}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\sin }_{\cos }}m\varphi \mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}
Решения векторного уравнения Гельмгольца подчиняются следующим соотношениям ортогональности: [7] ∫ 0 2 π ∫ 0 π L o e m n ⋅ L o e m n sin ϑ d ϑ d φ = ( 1 + δ m , 0 ) 2 π ( 2 n + 1 ) 2 ( n + m ) ! ( n − m ) ! k 2 { n [ z n − 1 ( k r ) ] 2 + ( n + 1 ) [ z n + 1 ( k r ) ] 2 } ∫ 0 2 π ∫ 0 π M o e m n ⋅ M o e m n sin ϑ d ϑ d φ = ( 1 + δ m , 0 ) 2 π 2 n + 1 ( n + m ) ! ( n − m ) ! n ( n + 1 ) [ z n ( k r ) ] 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 π N o e m n ⋅ N o e m n sin ϑ d ϑ d φ = ( 1 + δ m , 0 ) 2 π ( 2 n + 1 ) 2 ( n + m ) ! ( n − m ) ! n ( n + 1 ) { ( n + 1 ) [ z n − 1 ( k r ) ] 2 + n [ z n + 1 ( k r ) ] 2 } ∫ 0 π ∫ 0 2 π L o e m n ⋅ N o e m n sin ϑ d ϑ d φ = ( 1 + δ m , 0 ) 2 π ( 2 n + 1 ) 2 ( n + m ) ! ( n − m ) ! n ( n + 1 ) k { [ z n − 1 ( k r ) ] 2 − [ z n + 1 ( k r ) ] 2 } {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}k^{2}\left\{n\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+(n+1)\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\\[3pt]\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{2n+1}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left[z_{n}(kr)\right]^{2}\\[3pt]\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left\{(n+1)\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+n\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\\[3pt]\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)k\left\{\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}-\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\end{aligned}}}
Все остальные интегралы по углам между разными функциями или функциями с разными индексами равны нулю.
Иллюстрация трансформации векторных сферических гармоник при вращении. Видно, что они преобразуются так же, как и соответствующие скалярные функции. При вращении векторные сферические гармоники преобразуются друг в друга так же, как и соответствующие скалярные сферические функции , генерирующие для конкретного типа векторные гармоники. Например, если производящими функциями являются обычные сферические гармоники , то векторные гармоники также будут преобразованы через D-матрицы Вигнера [8] [9] [10] D ^ ( α , β , γ ) Y J M ( s ) ( θ , φ ) = ∑ M ′ = − J J [ D M M ′ ( J ) ( α , β , γ ) ] ∗ Y J M ′ ( s ) ( θ , φ ) , {\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {Y} _{JM}^{(s)}(\theta ,\varphi )=\sum _{M'=-J}^{J}[D_{MM'}^{(J)}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}\mathbf {Y} _{JM'}^{(s)}(\theta ,\varphi ),}
При инверсии электрические и продольные сферические гармоники ведут себя так же, как скалярные сферические функции, т.е. I ^ N J M ( θ , φ ) = ( − 1 ) J N J M ( θ , φ ) , {\displaystyle {\hat {I}}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi ),} I ^ M J M ( θ , φ ) = ( − 1 ) J + 1 M J M ( θ , φ ) , {\displaystyle {\hat {I}}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J+1}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi ),}
При расчете закона Стокса для сопротивления, оказываемого вязкой жидкостью на малую сферическую частицу, распределение скорости подчиняется уравнениям Навье–Стокса без пренебрежения инерцией, т.е.
0 = ∇ ⋅ v , 0 = − ∇ p + η ∇ 2 v , {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\nabla \cdot \mathbf {v} ,\\\mathbf {0} &=-\nabla p+\eta \nabla ^{2}\mathbf {v} ,\end{aligned}}}
с граничными условиями
v = { 0 r = a , − U 0 r → ∞ . {\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{cases}\mathbf {0} &r=a,\\-\mathbf {U} _{0}&r\to \infty .\end{cases}}}
где U — относительная скорость частицы относительно жидкости вдали от частицы. В сферических координатах эту скорость на бесконечности можно записать как
U 0 = U 0 ( cos θ r ^ − sin θ θ ^ ) = U 0 ( Y 10 + Ψ 10 ) . {\displaystyle \mathbf {U} _{0}=U_{0}\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}\right)=U_{0}\left(\mathbf {Y} _{10}+\mathbf {\Psi } _{10}\right).}
Последнее выражение предполагает разложение по сферическим гармоникам скорости жидкости и давления
p = p ( r ) Y 10 , v = v r ( r ) Y 10 + v ( 1 ) ( r ) Ψ 10 . {\displaystyle {\begin{aligned}p&=p(r)Y_{10},\\\mathbf {v} &=v^{r}(r)\mathbf {Y} _{10}+v^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{10}.\end{aligned}}}
Подстановка в уравнениях Навье – Стокса дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов.
Здесь используются следующие определения:
Y e m n = cos m φ P n m ( cos θ ) Y o m n = sin m φ P n m ( cos θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}Y_{emn}&=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\\Y_{omn}&=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\end{aligned}}}
X o e m n ( k k ) = ∇ × ( k Y e o m n ( k k ) ) {\displaystyle \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)=\nabla \times \left(\mathbf {k} Y_{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right)}
Z e o m n ( k k ) = i k k × X o e m n ( k k ) {\displaystyle \mathbf {Z} _{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)=i{\frac {\mathbf {k} }{k}}\times \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)} z n {\displaystyle z_{n}} сферическими функциями Бесселя , с помощью разложения по плоским волнам можно получить следующие интегральные соотношения: [11]
N p m n ( 1 ) ( k , r ) = i − n 4 π ∫ Z p m n ( k k ) e i k ⋅ r d Ω k {\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}^{(1)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }d\Omega _{k}}
M p m n ( 1 ) ( k , r ) = i − n 4 π ∫ X p m n ( k k ) e i k ⋅ r d Ω k {\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}^{(1)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }d\Omega _{k}}
В случае, когда z n {\displaystyle z_{n}} [12] [11]
M p m n ( 3 ) ( k , r ) = i − n 2 π k ∬ − ∞ ∞ d k ‖ e i ( k x x + k y y ± k z z ) k z X p m n ( k k ) {\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)}
N p m n ( 3 ) ( k , r ) = i − n 2 π k ∬ − ∞ ∞ d k ‖ e i ( k x x + k y y ± k z z ) k z Z p m n ( k k ) {\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)} k z = k 2 − k x 2 − k y 2 {\textstyle k_{z}={\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}} ( 3 ) {\displaystyle (3)}
^ Баррера, Р.Г.; Эстевес, Джорджия; Хиральдо, Дж (1 октября 1985 г.). «Векторные сферические гармоники и их применение в магнитостатике». Европейский журнал физики . 6 (4). Издательство ИОП: 287–294. Бибкод : 1985EJPh....6..287B . CiteSeerX 10.1.1.718.2001 дои : 10.1088/0143-0807/6/4/014 . ISSN 0143-0807 . S2CID 250894245 . ^ Карраскаль, Б; Эстевес, Джорджия; Ли, Пейлянь; Лоренцо, В. (1 июля 1991 г.). «Векторные сферические гармоники и их приложение к классической электродинамике». Европейский журнал физики . 12 (4). Издательство ИОП: 184–191. Бибкод : 1991EJPh...12..184C . дои : 10.1088/0143-0807/12/4/007 . ISSN 0143-0807 . S2CID 250886412 . ^ Хилл, Эл. (1954). «Теория векторных сферических гармоник» (PDF) . Американский журнал физики . 22 (4). Американская ассоциация учителей физики (AAPT): 211–214. Бибкод : 1954AmJPh..22..211H . дои : 10.1119/1.1933682 . ISSN 0002-9505 . S2CID 124182424 . Архивировано из оригинала (PDF) 12 апреля 2020 г. ^ Вайнберг, Эрик Дж. (15 января 1994 г.). «Монопольные векторные сферические гармоники». Физический обзор D . 49 (2). Американское физическое общество (APS): 1086–1092. arXiv : hep-th/9308054 Бибкод : 1994PhRvD..49.1086W . дои : 10.1103/physrevd.49.1086 . ISSN 0556-2821 . ПМИД 10017069 . S2CID 6429605 . ^ П. М. Морс и Х. Фешбах, Методы теоретической физики, Часть II , Нью-Йорк: McGraw-Hill, 1898-1901 (1953) ^ Борен, Крейг Ф. и Дональд Р. Хаффман, Поглощение и рассеяние света малыми частицами, Нью-Йорк: Wiley, 1998, 530 стр., ISBN 0-471-29340-7 , ISBN 978-0-471-29340-8 (второе издание) ^ Jump up to: а б Страттон, Дж. А. (1941). Электромагнитная теория ^ D. A. Varhalovich, A. N. Moskalev, and V. K. Khersonskii, Quantum Theory of Angular Momentum [in Russian], Nauka, Leningrad (1975) ^ Чжан, Хуайонг; Хан, Ипин (2008). «Теорема сложения для сферических векторных волновых функций и ее применение к коэффициентам формы луча». J. Опт. Соц. Являюсь. Б. 25 (2): 255–260. Бибкод : 2008JOSAB..25..255Z . дои : 10.1364/JOSAB.25.000255 . ^ Штейн, Сеймур (1961). «Теоремы сложения для сферических волновых функций». Ежеквартальный журнал прикладной математики . 19 (1): 15–24. дои : 10.1090/qam/120407 . ^ Jump up to: а б Стаут, Б. (2012). Попов, Е (ред.). «Суммы сферических гармонических решеток для решеток» (PDF) . Институт Френеля, Университет Экс-Марсель 6. Решетки: теория и численные приложения. ^ Виттманн, RC (1988). «Операторы сферических волн и формулы перевода» . Транзакции IEEE по антеннам и распространению . 36 (8): 1078–1087. Бибкод : 1988ITAP...36.1078W . дои : 10.1109/8.7220 . 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {N} _{emn}(k,\mathbf {r})=\qquad {\frac {z_{n}(\rho)}{\rho }}\ cos(m\varphi)n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }}\\{{}+\cos (m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d} {d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }\\{{}-m\sin(m\varphi ){\frac { P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }} \left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8331b5c5a9b7381413a4230f6dd294ea6e29ddca)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {N} _{omn}(k,\mathbf {r})=\qquad {\frac {z_{n}(\rho)}{\rho }}\sin (m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }\\{}+\sin(m\ varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }\\{}+{m\cos(m\varphi ){\frac {P_{n} ^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\ rho z_ {n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d56063fb7f9fabaf20e04730bd1eeaf79296847)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\ cdot \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi } {(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(nm)!}}k^{2}\left\{n\left[z_{n-1}( kr)\right]^{2}+(n+1)\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\\[3pt]\int _{0}^ {2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o} mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{2n+1}}{\frac {(n+m)! }{(нм)!}}n(n+1)\left[z_{n}(kr)\right]^{2}\\[3pt]\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d \vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!} {(нм)!}}n(n+1)\left\{(n+1)\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+n\left[z_{n+ 1 }(kr)\right]^{2}\right\}\\[3pt]\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathbf {L} _ { ^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m , 0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(nm)!}}n(n+1)k\ left \{\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}-\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\end{aligned } }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f3423865810fc65f5eb7bc80cfd88e8c9c9f16b)
![{\hat {D}}(\alpha,\beta,\gamma)\mathbf {Y} _{JM}^{(s)}(\theta,\varphi)=\sum _{M'= -J} ^{J}[D_{MM'}^{(J)}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}\mathbf {Y} _{JM'}^{(s)} (\theta ,\варфи ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95badc97e00d533b5a7ba1dba9d762bfb9bcaca2)
