Спинорные сферические гармоники

В квантовой механике спинорные сферические гармоники ^[1] (также известные как спиновые сферические гармоники , ^[2] спинорные гармоники ^[3] и спиноры Паули ^[4]) — специальные функции, определенные над сферой. Спинорные сферические гармоники являются естественным спинорным аналогом векторных сферических гармоник . В то время как стандартные сферические гармоники являются основой оператора углового момента , спинорные сферические гармоники являются основой оператора полного углового момента (угловой момент плюс спин ). Эти функции используются при аналитическом решении уравнения Дирака в радиальном потенциале . ^[3] Сферические гармоники спинора иногда называют спинорами центрального поля Паули , в честь Вольфганга Паули , который использовал их при решении атома водорода со спин-орбитальным взаимодействием . ^[1]

Характеристики

Сферические гармоники спинора $Y l, s, j, m$ представляют собой спиноров собственные состояния оператора полного момента импульса в квадрате:

{\begin{aligned}\mathbf {j} ^{2}Y_{l,s,j,m}&=j(j+1)Y_{l,s,j,m}\\\mathrm {j} _{\mathrm {z} }Y_{l,s,j,m}&=mY_{l,s,j,m}\;;\;m=-j,-(j-1),\cdots ,j-1,j\\\mathbf {l} ^{2}Y_{l,s,j,m}&=l(l+1)Y_{l,s,j,m}\\\mathbf {s} ^{2}Y_{l,s,j,m}&=s(s+1)Y_{l,s,j,m}\end{aligned}}

где $j = l + s$ , где $j$ , $l$ и $s$ — (безразмерные) операторы полного, орбитального и спинового углового момента, j — полное азимутальное квантовое число , а m — полное магнитное квантовое число .

При операции четности мы имеем

PY_{l,sj,m}=(-1)^{l}Y_{l,s,j,m}.

Для систем со спином 1/2 они задаются в матричной форме выражением ^[1]^[3]^[5]

Y_{l,\pm {\frac {1}{2}},j,m}={\frac {1}{\sqrt {2{\bigl (}j\mp {\frac {1}{2}}{\bigr )}+1}}}{\begin{pmatrix}\pm {\sqrt {j\mp {\frac {1}{2}}\pm m+{\frac {1}{2}}}}Y_{l}^{m-{\frac {1}{2}}}\\{\sqrt {j\mp {\frac {1}{2}}\mp m+{\frac {1}{2}}}}Y_{l}^{m+{\frac {1}{2}}}\end{pmatrix}}.

где $Y_{l}^{m}$ являются обычными сферическими гармониками .

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Биденхарн, LC ; Лук, Дж. Д. (1981), Угловой момент в квантовой физике: теория и применение , Математическая энциклопедия, том. 8, Чтение: Аддисон-Уэсли , с. 283, ISBN 0-201-13507-8
^ Эдмондс, AR (1957), Угловой момент в квантовой механике , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07912-7
^ Jump up to: ^а ^б ^с Грейнер, Уолтер (6 декабря 2012 г.). «9.3 Разделение переменных для уравнения Дирака с центральным потенциалом (минимально связанным)». Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения . Спрингер. ISBN 978-3-642-88082-7 .
^ Роуз, Мэн (20 декабря 2013 г.). Элементарная теория углового момента . Dover Publications, Incorporated. ISBN 978-0-486-78879-1 .
^ Берестецкий В.Б.; Е.М. Лифшиц; Л.П. Питаевский (2008). Квантовая электродинамика . Перевод Дж. Б. Сайкса; Дж. С. Белл (2-е изд.). Оксфорд: Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0-08-050346-2 . OCLC 785780331 .

Эта квантовой механике статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[biedenharn-1] Jump up to: ^а ^б ^с Биденхарн, LC ; Лук, Дж. Д. (1981), Угловой момент в квантовой физике: теория и применение , Математическая энциклопедия, том. 8, Чтение: Аддисон-Уэсли , с. 283, ISBN 0-201-13507-8

[2] Эдмондс, AR (1957), Угловой момент в квантовой механике , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07912-7

[:1-3] Jump up to: ^а ^б ^с Грейнер, Уолтер (6 декабря 2012 г.). «9.3 Разделение переменных для уравнения Дирака с центральным потенциалом (минимально связанным)». Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения . Спрингер. ISBN 978-3-642-88082-7 .

[4] Роуз, Мэн (20 декабря 2013 г.). Элементарная теория углового момента . Dover Publications, Incorporated. ISBN 978-0-486-78879-1 .

[5] Берестецкий В.Б.; Е.М. Лифшиц; Л.П. Питаевский (2008). Квантовая электродинамика . Перевод Дж. Б. Сайкса; Дж. С. Белл (2-е изд.). Оксфорд: Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0-08-050346-2 . OCLC 785780331 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]