Jump to content

Кольцо симметричных функций

В алгебре и, в частности в алгебраической комбинаторике , кольцо симметричных функций является специфическим пределом колец симметричных многочленов от n неопределенных чисел, когда n стремится к бесконечности. Это кольцо служит универсальной структурой, в которой отношения между симметричными полиномами могут быть выражены способом, не зависящим от числа n неопределенных величин (но его элементы не являются ни полиномами, ни функциями). Помимо прочего, это кольцо играет важную роль в теории представлений симметрической группы .

Кольцу симметричных функций можно придать копроизведение и билинейную форму, превратив его в положительную самосопряженную градуированную алгебру Хопфа , которая является одновременно коммутативной и кокоммутативной.

Симметричные полиномы

[ редактировать ]

Изучение симметричных функций основано на изучении симметричных многочленов. В кольце многочленов от некоторого конечного набора неопределенных многочлен называется симметричным , если он остается неизменным при любой перестановке неопределенных. Более формально, существует действие кольцевых автоморфизмов симметрической группы Sn . на кольцо многочленов от n неопределенных, где перестановка действует на многочлен путем одновременной замены каждого из неопределенных чисел на другое в соответствии с используемой перестановкой Инварианты подкольцо этого действия образуют симметричных многочленов. Если неопределенными являются X 1 , ..., X n , то примерами таких симметричных полиномов являются

и

Несколько более сложный пример: х 1 3 Х 2 Х 3 + Х 1 Х 2 3 Х 3 + Х X2X1 3 + Х 1 3 Х 2 Х 4 + Х 1 Х 2 3 Х 4 + Х 1 Х 2 Х 4 3 + ...где суммирование включает все произведения третьей степени некоторой переменной и двух других переменных. Существует много конкретных видов симметричных полиномов, таких как элементарные симметричные полиномы , симметричные полиномы с степенной суммой , мономиальные симметричные полиномы , полные однородные симметричные полиномы и полиномы Шура .

Кольцо симметричных функций

[ редактировать ]

Большинство отношений между симметричными полиномами не зависят от количества n неопределенных чисел, за исключением того, что для некоторых многочленов в отношениях может потребоваться, чтобы n было достаточно большим, чтобы их можно было определить. Например, тождество Ньютона для полинома суммы третьей степени p 3 приводит к

где обозначают элементарные симметрические многочлены; эта формула действительна для всех натуральных чисел n , и единственная заметная зависимость от нее состоит в том, что e k ( X 1 ,..., X n ) = 0 всякий раз, когда n < k . Это хотелось бы записать как тождество

которое вообще не зависит от n , и это можно сделать в кольце симметрических функций. В этом кольце существуют ненулевые элементы для ek всех целых чисел k ≥ 1, и любой элемент кольца может быть задан полиномиальным выражением от ek элементов .

Определения

[ редактировать ]

Кольцо симметрических функций может быть определено над любым коммутативным кольцом R и будет обозначаться Λ R ; основной случай R = Z. — Кольцо ΛR на самом деле является градуированной R - алгеброй . Для этого есть две основные конструкции; первый, приведенный ниже, можно найти в (Stanley, 1999), а второй, по сути, тот же, что и в (Macdonald, 1979).

Как кольцо формальных степенных рядов

[ редактировать ]

Самая простая (хотя и несколько тяжелая) конструкция начинается с кольца формальных степенных рядов. над R в бесконечном ( счетном ) числе неопределенностей; элементы этого кольца степенных рядов представляют собой формальные бесконечные суммы слагаемых, каждая из которых состоит из коэффициента из R, умноженного на моном , где каждый моном является произведением конечного числа конечных степеней неопределенных чисел. Определим Λ R как его подкольцо, состоящее из тех степенных рядов S , которые удовлетворяют

  1. S инвариантен относительно любой перестановки неопределенных, и
  2. степени S мономов, входящих в , ограничены.

Обратите внимание, что из-за второго условия степенные ряды используются здесь только для того, чтобы разрешить бесконечное количество членов фиксированной степени, а не для суммирования членов всех возможных степеней. Это необходимо, поскольку элемент, который содержит, например, терм X 1, должен также содержать терм X i для каждого i > 1, чтобы быть симметричным. В отличие от всего кольца степенных рядов, подкольцо Λ R градуировано по полной степени мономов: в силу условия 2 каждый элемент Λ R представляет собой конечную сумму однородных элементов Λ R (которые сами являются бесконечными суммами членов равных степень). Для каждого k ≥ 0 элемент e k ∈ Λ R определяется как формальная сумма всех произведений k различных неопределенных величин, которая, очевидно, является однородной степени k .

Как алгебраический предел

[ редактировать ]

Другая конструкция Λ R требует несколько больше времени для описания, но лучше указывает на связь с кольцами R [ X 1 ,..., X n ] С н симметричных многочленов от n неопределённых. Для каждого n существует сюръективный гомоморфизм колец ρ n из аналогичного кольца R [ X 1 ,..., X n +1 ] С н +1 с еще одним неопределенным на R [ X 1 ,..., X n ] С н , определяемый установкой последнего неопределенного числа X n +1 равным 0. Хотя ρ n имеет нетривиальное ядро , ненулевые элементы этого ядра имеют степень не ниже (они кратны X 1 X 2 ... X n +1 ). что ограничение ρn Xn на элементы степени не выше n является биективным линейным отображением и ρn ek ( ek , ( X1 , ..., + означает 1 ) = ( X1 ) , Это .. ., X n ) для всех k n . Обратное к этому ограничению можно единственным образом расширить до кольцевого гомоморфизма φ n из R [ X 1 ,..., X n ] С н к R [ X 1 ,..., X n +1 ] С н +1 , как следует, например, из основной теоремы о симметричных полиномах . Поскольку образы φ n ( e k ( X 1 ,..., X n )) = ek +1 ( X 1 ,..., X n k ) для = 1,..., n еще алгебраически независимы над R гомоморфизм φ n инъективен ; и может рассматриваться как (несколько необычное) включение колец применение φ n к многочлену равнозначно добавлению всех мономов, содержащих новую неопределенную величину, полученную симметрией из уже присутствующих мономов. Тогда кольцо Λ R является «объединением» ( прямым пределом ) всех этих колец, подчиненных этим включениям. Поскольку все φ n совместимы с градуировкой по полной степени задействованных колец, Λ R приобретает структуру градуированного кольца.

Эта конструкция несколько отличается от конструкции (Macdonald, 1979). конструкция использует только сюръективные морфизмы ρn , упоминая инъективные морфизмы φn Эта : она строит однородные компоненты Λ R отдельно и снабжает их прямую сумму кольцевой структурой с помощью ρn не . Также замечено, что результат можно описать как предел в категории градуированных обратный колец. Однако это описание несколько затемняет важное свойство, типичное для прямого предела инъективных морфизмов, а именно то, что каждый отдельный элемент (симметричная функция) уже точно представлен в некотором объекте, используемом в предельной конструкции, в данном случае в кольце R [ X 1 ,... , Х д ] С д . достаточно взять В качестве d степень симметрической функции, так как часть степени d этого кольца изоморфно отображается в кольца с большим количеством неопределенных по φ n для всех n d . Это означает, что для изучения связей между отдельными элементами нет принципиальной разницы между симметричными полиномами и симметричными функциями.

Определение отдельных симметричных функций

[ редактировать ]

Название «симметричная функция» для элементов Λ R является неправильным : ни в одной из конструкций элементы не являются функциями , и фактически, в отличие от симметричных многочленов, никакая функция независимых переменных не может быть связана с такими элементами (например, e 1 будет сумма всех бесконечно многих переменных, которая не определена, если на переменные не наложены ограничения). Однако название традиционное и устоявшееся; его можно найти как в (Macdonald, 1979), где говорится (сноска на стр. 12):

Элементы Λ (в отличие от элементов Λ n ) больше не являются полиномами: они представляют собой формальные бесконечные суммы мономов. Поэтому мы вернулись к старой терминологии симметричных функций.

(здесь Λ n обозначает кольцо симметричных многочленов от n неопределенных), а также в (Stanley, 1999).

Чтобы определить симметричную функцию, нужно либо непосредственно указать степенной ряд, как в первой конструкции, либо дать симметричный многочлен от n неопределенных для каждого натурального числа n способом, совместимым со второй конструкцией. Выражение с неопределенным числом неопределенных значений может выполнять и то, и другое, например

можно принять как определение элементарной симметричной функции, если число неопределённых бесконечно, или как определение элементарного симметричного многочлена от любого конечного числа неопределённых. Симметричные многочлены для одной и той же симметричной функции должны быть согласованы с гомоморфизмами ρ n (уменьшение числа неопределенных достигается приравниванием некоторых из них к нулю, так что коэффициенты любого монома в остальных неопределенных остаются неизменными), а их степень должна оставаться ограниченным. (Пример семейства симметричных полиномов, не удовлетворяющего обоим условиям: ; семья не удовлетворяет только второе условие.) Любой симметричный полином от n неопределенных можно использовать для построения совместимого семейства симметричных многочленов, используя гомоморфизмы ρ i для i < n для уменьшения количества неопределенных чисел и φ i для i n для увеличения количество неопределенных (которое сводится к добавлению всех одночленов в новые неопределенные, полученные путем симметрии из уже имеющихся одночленов).

Ниже приведены фундаментальные примеры симметричных функций.

  • Мономиальные симметрические функции m α . Предположим, α = (α 1 2 ,...) — последовательность неотрицательных целых чисел, лишь конечное число из которых отличны от нуля. Тогда мы можем рассмотреть моном , определяемый α: X а = Х 1 1 х 2 2 х 3 3 .... Тогда m α — симметричная функция, определяемая X а , т.е. сумма всех мономов, полученных из X а по симметрии. Для формального определения определим β ~ α, что означает, что последовательность β является перестановкой последовательности α, и положим
Эта симметричная функция соответствует мономиальному симметричному многочлену m α ( X 1 ,..., X n ) для любого n, достаточно большого, чтобы иметь моном X а . Различные мономиальные симметричные функции параметризуются целочисленными разбиениями (каждое m α имеет уникальный представительный моном X л с частями λ i в слабо убывающем порядке). Поскольку любая симметричная функция, содержащая любой из мономов некоторого m α, должна содержать их все с одним и тем же коэффициентом, каждую симметричную функцию можно записать как R -линейную комбинацию мономиальных симметричных функций, и поэтому различные мономиальные симметричные функции образуют базис Λ R как R - модуля .
  • Элементарные симметрические функции для ek любого натурального числа k ; имеем e k = m α , где . Как степенной ряд, это сумма всех различных произведений k различных неопределенных чисел. Эта симметричная функция соответствует элементарному симметричному многочлену e k ( X 1 ,..., X n ) для любого n k .
  • Симметричные функции суммы степеней p k для любого положительного целого числа k ; , мономиальная p k = m ( k ) симметричная функция для монома X 1 к . Эта симметричная функция соответствует симметричному многочлену суммы степеней p k ( X 1 ,..., X n ) = X 1 к + ... + Х н к для любого n ≥ 1.
  • Полные однородные симметрические функции hk для любого натурального числа k ; h k — сумма всех мономиальных симметричных функций α , где α — разбиение k m . Как степенной ряд, это сумма всех мономов степени k , что и объясняет его название. Эта симметричная функция соответствует полному однородному симметричному полиному h k ( X 1 ,..., X n ) для любого n k .
  • Функции Шура s λ для любого разбиения λ, что соответствует полиному Шура s λ ( X 1 ,..., X n ) для любого n, достаточно большого, чтобы иметь моном X л .

Не существует симметричной функции суммы степеней p 0 : хотя возможно (и в некоторых контекстах естественно) определить как симметричный полином от n переменных, эти значения несовместимы с морфизмами ρ n . «Дискриминант» это еще один пример выражения, дающего симметричный полином для всех n , но не определяющего какую-либо симметричную функцию. Выражения, определяющие полиномы Шура как частное чередующихся многочленов, в некоторой степени аналогичны выражениям для дискриминанта, но полиномы s λ ( X 1 ,..., X n ) оказываются совместимыми при изменении n и, следовательно, определяют симметричная функция.

Принцип связи симметричных полиномов и симметричных функций.

[ редактировать ]

Для любой симметричной функции P соответствующие симметричные многочлены от n неопределенных значений для любого натурального числа n могут обозначаться P ( X 1 ,..., X n ). Второе определение кольца симметричных функций подразумевает следующий фундаментальный принцип:

Если P и Q — симметричные функции степени d , то имеет место тождество симметричных функций тогда и только тогда, когда имеется тождество P ( X 1 ,..., X d ) = Q ( X 1 ,..., X d ) симметричных многочленов от d неопределенных. В этом случае фактически P ( X 1 ,..., X n ) = Q ( X 1 ,..., X n ) для любого числа n неопределенных величин.

Это потому, что всегда можно уменьшить количество переменных, заменяя некоторые переменные нулем, и можно увеличить количество переменных, применяя гомоморфизмы φ n ; определение этих гомоморфизмов гарантирует, что φ n ( P ( X 1 ,..., X n )) = P ( X 1 ,..., X n +1 ) (и аналогично для Q ) всякий раз, когда n d . См. доказательство тождеств Ньютона для эффективного применения этого принципа.

Свойства кольца симметрических функций

[ редактировать ]

Личности

[ редактировать ]

Кольцо симметрических функций — удобный инструмент для записи тождеств между симметричными многочленами, не зависящими от числа неопределенных: в Λ R такого числа нет, однако по изложенному выше принципу любое тождество в Λ R автоматически дает тождества кольца симметрических функций. полиномы над R от любого числа неопределенных. Некоторые фундаментальные тождества

который показывает симметрию между элементарными и полными однородными симметрическими функциями; эти отношения объясняются в рамках полного однородного симметричного полинома .

тождества Ньютона , которые также имеют вариант для полных однородных симметричных функций:

Структурные свойства Λ R

[ редактировать ]

Важные свойства Λ R заключаются в следующем.

  1. Множество мономиальных симметричных функций, параметризованных разбиениями, образует базис Λ R как градуированного R - модуля , параметризованных разбиениями d, однородных степени d ; то же самое верно и для набора функций Шура (также параметризованных разбиениями).
  2. Λ R изоморфна > 0, причем как градуированная R -алгебра кольцу многочленов R [ Y 1 , Y 2 , ...] от бесконечного числа переменных, где Y i имеет заданную степень i для всех i одним изоморфизмом является тот, который отправляет Y i в e i ∈ Λ R для каждого i .
  3. Существует инволютивный автоморфизм ω группы Λ R , который меняет местами элементарные симметрические функции e i и полную однородную симметрическую функцию h i для всех i . Он также отправляет каждую симметричную функцию суммы степеней p i в (-1) я -1 p i , и он переставляет функции Шура между собой, меняя местами s λ и s λ т где λ т — транспонированное разбиение λ.

Свойство 2 составляет суть основной теоремы о симметричных полиномах . Отсюда сразу вытекают и некоторые другие свойства:

  • Подкольцо Λ R, порожденное его элементами степени не выше n, изоморфно кольцу симметричных многочленов над R от n переменных;
  • Ряд Гильберта–Пуанкаре Λ R равен , производящая функция целочисленных разбиений (это также следует из свойства 1);
  • Для каждого n > 0 R -модуль, образованный однородной частью Λ R степени n по модулю его пересечения с подкольцом, порожденным его элементами степени строго меньше n , свободен от ранга 1 и (образ ) en генератор этого R -модуля;
  • Для любого семейства симметричных функций ( f i ) i >0 , в котором f i однородно степени i и дает генератор свободного R -модуля предыдущей точки (для всех i ), существует альтернативный изоморфизм градуированного R -алгебры из R [ Y 1 , Y 2 , ...], как указано выше, в Λ , который переводит Y i в fi R ; другими словами, семейство ( i > fi ) 0 образует набор свободных полиномиальных генераторов Λ R .

последний пункт применим, в частности, к семейству ( hi Этот ) i >0 полных однородных симметричных функций. Если R содержит поле   рациональных чисел это применимо также к семейству ( p i ) i >0 симметричных функций суммы степеней. Это объясняет, почему первые n элементов каждого из этих семейств определяют наборы симметричных многочленов от n переменных, которые являются свободными полиномиальными генераторами этого кольца симметричных многочленов.

Тот факт, что полные однородные симметрические функции образуют множество свободных полиномиальных образующих Λ R, уже показывает существование автоморфизма ω, переводящего элементарные симметрические функции в полные однородные, как указано в свойстве 3. Тот факт, что ω является инволюцией Λ R следует из симметрии между элементарными и полными однородными симметрическими функциями, выражаемыми первым набором приведенных выше соотношений.

Кольцо симметрических функций Λ Z является кольцом Exp целых чисел Z . Это также лямбда-кольцо в естественном виде; по сути это универсальное лямбда-кольцо в одном генераторе.

Генерирующие функции

[ редактировать ]

Первое определение Λ R как подкольца позволяет производящие функции элегантно выразить нескольких последовательностей симметричных функций. В отличие от отношений, упомянутых ранее, которые являются внутренними для Λ R , эти выражения включают в себя операции, происходящие в R [[ X 1 , X 2 ,...; t ]], но вне его подкольца Λ R [[ t ]], поэтому они имеют смысл только в том случае, если симметричные функции рассматриваются как формальные степенные ряды от неопределенных X i . Мы будем писать «( X )» после симметричных функций, чтобы подчеркнуть эту интерпретацию.

Производящая функция для элементарных симметричных функций равна

Аналогично для полных однородных симметрических функций

Очевидный факт, что объясняет симметрию между элементарными и полными однородными симметрическими функциями.Производящая функция для симметричных функций суммы степеней может быть выражена как

((Макдональд, 1979) определяет P ( t ) как Σ k >0   p k ( X ) t к -1 , и поэтому в его выражениях отсутствует множитель t по сравнению с приведенными здесь). Два последних выражения, включающие формальные производные производящих функций E ( t ) и H ( t ), подразумевают тождества Ньютона и их варианты для полных однородных симметричных функций. Эти выражения иногда записываются как

что означает то же самое, но требует, чтобы R содержало рациональные числа, так что логарифм степенного ряда с постоянным членом 1 определяется (по формуле ).

Специализации

[ редактировать ]

Позволять — кольцо симметрических функций и коммутативная алгебра с единичным элементом. Гомоморфизм алгебры называется специализацией . [1]

Пример:

  • Учитывая некоторые реальные цифры и , то замена и это специализация.
  • Позволять , затем называется основной специализацией .

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Стэнли, Ричард П.; Фомин, Сергей Петрович Перечислительная комбинаторика . Том. 2. Издательство Кембриджского университета.
  • Макдональд, И.Г. Симметричные функции и полиномы Холла. Оксфордские математические монографии. The Clarendon Press, Oxford University Press, Оксфорд, 1979. viii+180 стр. ISBN   0-19-853530-9 МР 553598
  • Макдональд, И.Г. Симметричные функции и полиномы Холла. Второе издание. Оксфордские математические монографии. Оксфордские научные публикации. The Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк, 1995. x+475 стр. ISBN   0-19-853489-2 МР 1354144
  • Стэнли, Ричард П. Перечислительная комбинаторика , Vol. 2, Издательство Кембриджского университета, 1999. ISBN   0-521-56069-1 (в твердом переплете) ISBN   0-521-78987-7 (мягкая обложка).
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: f6e333621af9d7d6fc668b316e188fae__1709046480
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/f6/ae/f6e333621af9d7d6fc668b316e188fae.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Ring of symmetric functions - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)