Лемма Накаямы

В математике , точнее абстрактной алгебре и коммутативной алгебре , лемма Накаямы , также известная как теорема Крулла-Адзумайи. — управляет взаимодействием между радикалом Джекобсона кольца конечно (обычно коммутативного кольца ) и его порожденными модулями . Неформально лемма сразу дает точный смысл, в котором конечно порожденные модули над коммутативным кольцом ведут себя как векторные пространства над полем . Это важный инструмент в алгебраической геометрии локальные данные об алгебраических многообразиях в форме модулей над локальными кольцами , поскольку он позволяет изучать как векторные пространства над полем вычетов кольца.

Лемма названа в честь японского математика Тадаси Накаямы и в современном виде введена в Накаяме (1951) , хотя впервые в частном случае идеалов в коммутативном кольце она была открыта Вольфгангом Круллем , а затем в целом Горо Адзумайей ( 1951 ). . В коммутативном случае лемма является простым следствием обобщенной формы теоремы Кэли-Гамильтона , наблюдения, сделанного Майклом Атьей ( 1969 ). Частный случай некоммутативной версии леммы для правых идеалов появляется у Натана Джейкобсона ( 1945 ), поэтому некоммутативная лемма Накаямы иногда известна как теорема Джекобсона-Адзумайи . Последнее имеет различные приложения в теории радикалов Джекобсона .

Заявление

Позволять $R$ — коммутативное кольцо с тождеством 1. Ниже приводится лемма Накаямы, сформулированная Мацумурой (1989) :

Утверждение 1 : Пусть $I$ быть идеалом в $R$, и $M$ модуль конечно порожденный над $R$. Если $IM=M$, то существует $r\in R$ с $r\equiv 1\;(\operatorname {mod} I)$ такой, что $rM=0$.

Это доказано ниже . Полезная мнемоника для леммы Накаямы: « $IM=M\implies im=m$". Это резюмирует следующую альтернативную формулировку:

Утверждение 2 : Пусть $I$ быть идеалом в $R$, и $M$ модуль конечно порожденный над $R$. Если $IM=M$, то существует $i\in I$ такой, что $im=m$ для всех $m\in M$.

Доказательство : Возьмите $i=1-r$ в Утверждении 1.

Следующее следствие известно также как лемма Накаямы, и именно в такой форме оно встречается чаще всего.

Утверждение 3 : Если $M$ является конечно порожденным модулем над $R$, $J(R)$ Джекобсона радикал ​ $R$, и $J(R)M=M$, затем $M=0$.

Доказательство : $1-r$ (с $r$ как и в утверждении 1), находится в радикале Джекобсона, поэтому $r$ является обратимым.

В общем, у человека есть такое $J(R)M$ является лишним подмодулем $M$ когда $M$ конечно порождено.

Утверждение 4 : Если $M$ является конечно порожденным модулем над $R$, $N$ является подмодулем $M$, и $M$ = $N+J(R)M$, затем $M$ = $N$.

Доказательство . Примените утверждение 3 к $M/N$.

Следующий результат демонстрирует лемму Накаямы в терминах генераторов.

Утверждение 5 : Если $M$ является конечно порожденным модулем над $R$ и изображения элементов $m$₁ ,..., $m$_$n$ из $M$ в $M/J(R)M$ генерировать $M/J(R)M$ как $R$-модуль, то $m$₁ ,..., $m$_$n$ также генерировать $M$ как $R$-модуль.

Доказательство . Примените утверждение 4 к $\textstyle {N=\sum _{i}Rm_{i}}$.

Если вместо этого предположить, что $R$ является полным и $M$ разделен по отношению к $I$-адическая топология идеала $I$ в $R$, это последнее утверждение справедливо для $I$ вместо $J(R)$ и не предполагая заранее, что $M$ конечно порождено. Здесь обособленность означает, что $I$-адическая топология удовлетворяет аксиоме разделения T ₁ и эквивалентна $\textstyle {\bigcap _{k=1}^{\infty }I^{k}M=0.}$

Последствия

Местные кольца

В частном случае конечно порожденного модуля $M$ по местному кольцу $R$ с максимальным идеалом ${\mathfrak {m}}$, частное $M/{\mathfrak {m}}M$ — векторное пространство над полем $R/{\mathfrak {m}}$. Тогда из утверждения 5 следует, основа что $M/{\mathfrak {m}}M$ поднимается к минимальному набору образующих $M$. Обратно, каждый минимальный набор образующих $M$ получается таким образом, и любые два таких набора образующих связаны обратимой матрицей с элементами в кольце.

Геометрическая интерпретация

В этой форме лемма Накаямы приобретает конкретный геометрический смысл. Локальные кольца возникают в геометрии как ростки функций в точке. Конечно порожденные модули над локальными кольцами нередко возникают как ростки сечений векторных расслоений . Работая на уровне ростков, а не точек, понятие конечномерного векторного расслоения уступает место понятию когерентного пучка . Неформально лемма Накаямы гласит, что когерентный пучок в некотором смысле все еще можно рассматривать как происходящий из векторного расслоения. Точнее, пусть ${\mathcal {M}}$ быть связной связкой ${\mathcal {O}}_{X}$-модули по произвольной схеме $X$. Стебель ​ ​ ${\mathcal {M}}$ в какой-то момент $p\in X$, обозначенный ${\mathcal {M}}_{p}$, — модуль над локальным кольцом $({\mathcal {O}}_{X,p},{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}})$ и волокна ${\mathcal {M}}$ в $p$ векторное пространство ${\mathcal {M}}(p)={\mathcal {M}}_{p}/{\mathfrak {m}}_{p}{\mathcal {M}}_{p}$. Из леммы Накаямы следует, что базис слоя ${\mathcal {M}}(p)$ поднимается к минимальному набору образующих ${\mathcal {M}}_{p}$. То есть:

• Любая основа волокна когерентного пучка ${\mathcal {M}}$ в какой-то момент происходит из минимальной базы локальных разделов.

Переформулируя это геометрически, если ${\mathcal {M}}$ является локально бесплатным ${\mathcal {O}}_{X}$-модуль, представляющий векторное расслоение $E\to X$, а если взять за базис векторное расслоение в точке схемы $X$, этот базис можно поднять до базиса сечений векторного расслоения в некоторой окрестности точки. Мы можем организовать эти данные в виде диаграммы.

${\begin{matrix}E|_{p}&\to &E|_{U}&\to &E\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\p&\to &U&\to &X\end{matrix}}$

где $E|_{p}$ представляет собой n-мерное векторное пространство, так сказать, базис в $E|_{p}$ (который является основой разделов связки $E_{p}\to p$) можно поднять на основу разделов $E|_{U}\to U$ для какого-то района $U$ из $p$.

Поднимаемся и опускаемся

Основная статья: Подъем и спуск

Теорема о повышении, по сути, является следствием леммы Накаямы. Он утверждает:

• Позволять $R\hookrightarrow S$ быть целым расширением коммутативных колец и ${\mathfrak {p}}$ главный идеал ​ $R$. Тогда существует простой идеал ${\mathfrak {q}}$ в $S$ такой, что ${\mathfrak {q}}\cap R={\mathfrak {p}}$. Более того, ${\mathfrak {q}}$ можно выбрать так, чтобы оно содержало любое простое число ${\mathfrak {q}}_{1}$ из $S$ такой, что ${\mathfrak {q}}_{1}\cap R\subset {\mathfrak {p}}$.

Эпиморфизмы модулей

Лемма Накаямы уточняет один смысл, в котором конечно порожденные модули над коммутативным кольцом подобны векторным пространствам над полем. Следующее следствие леммы Накаямы дает еще одно подтверждение этому:

• Если $M$ является конечно порожденным $R$-модуль и $f:M\to M$ является сюръективным эндоморфизмом, то $f$ является изоморфизмом.

Над локальным кольцом можно сказать больше об эпиморфизмах модулей:

• Предположим, что $R$ является локальным кольцом с максимальным идеалом ${\mathfrak {m}}$, и $M,N$ конечно генерируются $R$-модули. Если $\phi :M\to N$ это $R$-линейное отображение такое, что частное $\phi _{\mathfrak {m}}:M/{\mathfrak {m}}M\to N/{\mathfrak {m}}N$ сюръективно, то $\phi$ является сюръективным.

Гомологические версии

Лемма Накаямы также имеет несколько версий в гомологической алгебре . Приведенное выше утверждение об эпиморфизмах можно использовать, чтобы показать:

• Позволять $M$ — конечно порожденный модуль над локальным кольцом. Затем $M$ проективно тогда и только тогда , когда оно свободно . Это можно использовать для вычисления группы Гротендика любого локального кольца. $R$ как $K(R)=\mathbb {Z}$.

Геометрическим и глобальным аналогом этого является теорема Серра-Свана , связывающая проективные модули и когерентные пучки.

В более общем смысле, у человека есть

• Позволять $R$ быть местным кольцом и $M$ конечно порожденный модуль над $R$. Тогда проективная размерность $M$ над $R$ равна длине каждой минимальной свободной резолюции $M$. При этом проективная размерность равна глобальной размерности $M$, что по определению является наименьшим целым числом $i\geq 0$ такой, что

$\operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(k,M)=0.$

Здесь $k$ является полем вычетов $R$ и ${\text{Tor}}$ является функтором Tor .

Теорема об обратной функции

Лемма Накаямы используется для доказательства версии теоремы об обратной функции в алгебраической геометрии:

• Позволять ${\textstyle f:X\to Y}$ — проективный морфизм между квазипроективными многообразиями . Затем ${\textstyle f}$ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он является биекцией и дифференциал ${\textstyle df_{p}}$ является инъективным для всех $p\in X$.

Доказательство

Стандартное доказательство леммы Накаямы использует следующую технику, предложенную Атьей и Макдональдом (1969) .

• Пусть M - модуль — R , порожденный n элементами, и φ: M → M — -линейное отображение R . Если существует идеал I кольца R такой, что φ( M ) ⊂ IM , то существует монический многочлен

$p(x)=x^{n}+p_{1}x^{n-1}+\cdots +p_{n}$

где p _k ∈ I ^к , такой, что

$p(\varphi )=0$

как эндоморфизм M .

Это утверждение является в точности обобщенной версией теоремы Кэли–Гамильтона , и доказательство проводится по той же схеме. На генераторах x _i группы M имеется соотношение вида

$\varphi (x_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}$

где ij _​ ∈ I . Таким образом

$\sum _{j=1}^{n}\left(\varphi \delta _{ij}-a_{ij}\right)x_{j}=0.$

Требуемый результат получается путем умножения на сопряженную матрицу (φδ _ij − a _ij ) и применения правила Крамера . Тогда обнаруживается, что det(φδ _ij − a _ij ) = 0, поэтому искомый многочлен равен

$p(t)=\det(t\delta _{ij}-a_{ij}).$

Чтобы доказать лемму Накаямы из теоремы Кэли–Гамильтона, предположим, что IM = M , и возьмем φ в качестве единицы на M . Затем определите полином p ( x ), как указано выше. Затем

$r=p(1)=1+p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}$

имеет необходимое свойство: $r\equiv 1\;(\operatorname {mod} I)$ и $rM=0$.

Некоммутативный случай

Вариант леммы справедлив для правых модулей над некоммутативными кольцами с единицей R . Полученную теорему иногда называют теоремой Джейкобсона–Азумая .

( R ) радикал Джекобсона R Пусть J . Если U — правый модуль над кольцом, R и I — правый идеал в R , то определим U · I как множество всех (конечных) сумм элементов формы u · i , где · — это просто действие R на U. ​Обязательно U · I является подмодулем U .

Если V — подмодуль U . , U / V простой то максимальный Таким образом, U · J( R ) обязательно является подмножеством V в силу определения J( R ) и того факта, что U / V является простым. Таким образом, если U содержит хотя бы один (собственный) максимальный подмодуль, U · J( R ) является собственным подмодулем U . Однако это не обязательно справедливо для произвольных модулей U над R , поскольку U не обязательно содержит максимальные подмодули. Естественно, если U — нётеров модуль, это справедливо. Если R нетерово, а U , конечно порождено то U — нётеров модуль над R , и заключение выполнено. Несколько примечательно то, что более слабое предположение, а именно, что U конечно порождено как R -модуль (и нет предположения конечности на R ), достаточно, чтобы гарантировать заключение. По сути, это утверждение леммы Накаямы.

Точнее, у человека есть:

Лемма Накаямы : пусть U — конечно порожденный кольцом R. правый модуль над (единичным ) Если U — ненулевой модуль, то U · J( R ) — собственный U. подмодуль

Доказательство

Позволять $X$ быть конечным подмножеством $U$минимальна по отношению к свойству, которое она порождает $U$. С $U$ ненулевое значение, этот набор $X$ непусто. Обозначим каждый элемент $X$ к $x_{i}$ для $i\in \{1,\ldots ,n\}$. С $X$ генерирует $U$, $\sum _{i=1}^{n}x_{i}R=U$.

Предполагать $U\cdot \operatorname {J} (R)=U$, чтобы получить противоречие. Тогда каждый элемент $u\in U$может быть выражено как конечная комбинация $u=\sum \limits _{s=1}^{m}u_{s}j_{s}$ для некоторых $m\in \mathbb {N} ,\,u_{s}\in U,\,j_{s}\in \operatorname {J} (R),\,s=1,\dots ,m$.

Каждый $u_{s}$ может быть дополнительно разложено как $u_{s}=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}r_{i,s}$ для некоторых $r_{i,s}\in R$. Поэтому у нас есть

$u=\sum _{s=1}^{m}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}r_{i,s}\right)j_{s}=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\left(\sum _{s=1}^{m}r_{i,s}j_{s}\right)$.

С $\operatorname {J} (R)$ является (двусторонним) идеалом в $R$, у нас есть $\sum _{s=1}^{m}r_{i,s}j_{s}\in \operatorname {J} (R)$ для каждого $i\in \{1,\dots ,n\}$, и таким образом это становится

$u=\sum _{i=1}^{n}x_{i}k_{i}$ для некоторых $k_{i}\in \operatorname {J} (R)$, $i=1,\dots ,n$.

положить $u=\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ и применяя дистрибутивность, получаем

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}(1-k_{i})=0$.

Выберите несколько $j\in \{1,\dots ,n\}$. Если правильный идеал $(1-k_{j})R$ были собственными, то они содержались бы в максимальном правом идеале $M\neq R$ и оба $1-k_{j}$ и $k_{j}$ принадлежал бы $M$, что приводит к противоречию (заметим, что $\operatorname {J} (R)\subseteq M$ по определению радикала Джекобсона). Таким образом $(1-k_{j})R=R$ и $1-k_{j}$ имеет правый обратный $(1-k_{j})^{-1}$ в $R$. У нас есть

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}(1-k_{i})(1-k_{j})^{-1}=0$.

Поэтому,

$\sum _{i\neq j}x_{i}(1-k_{i})(1-k_{j})^{-1}=-x_{j}$.

Таким образом $x_{j}$ представляет собой линейную комбинацию элементов из $X\setminus \{x_{j}\}$. Это противоречит минимальности $X$ и устанавливает результат.

Градуированная версия

Существует также градуированная версия леммы Накаямы. Пусть R — кольцо, градуированное упорядоченной полугруппой неотрицательных целых чисел, и пусть $R_{+}$ обозначают идеал, порожденный положительно градуированными элементами. Тогда если M — градуированный модуль над R , для которого $M_{i}=0$ для i достаточно отрицательного (в частности, если M конечно порождено и R не содержит элементов отрицательной степени) такого, что $R_{+}M=M$, затем $M=0$. Особое значение имеет случай, когда R — кольцо многочленов стандартной градуировки, а M — конечно порожденный модуль.

Доказательство намного проще, чем в неклассифицированном случае: взять i за наименьшее целое число такое, что $M_{i}\neq 0$, мы видим это $M_{i}$ не появляется в $R_{+}M$, так что либо $M\neq R_{+}M$, или такого i не существует, т.е. $M=0$.

См. также

• Теория модулей
• Теорема Серра – Свона

Ссылки

• Атья, Майкл Ф .; Макдональд, Ян Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли .
• Адзумая, Горо (1951), «О максимально центральных алгебрах», Nagoya Mathematical Journal , 2 : 119–150, doi : 10.1017/s0027763000010114 , ISSN   0027-7630 , MR   0040287 .
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике, том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-5350-1 , ISBN.  978-0-387-94268-1 , МР   1322960
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека классики Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN  978-0-471-05059-9 , МР   1288523
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике, том. 52, Шпрингер-Верлаг .
• Айзекс, И. Мартин (1993), Алгебра, аспирантура (1-е изд.), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN  0-534-19002-2
• Джейкобсон, Натан (1945), «Радикальность и полупростота произвольных колец», American Journal of Mathematics , 67 (2): 300–320, doi : 10.2307/2371731 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2371731 , MR   0012271 .
• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 8 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-36764-6 , МР   1011461 .
• Нагата, Масаеши (1975), Местные кольца , Издательство Роберта Э. Кригера, Хантингтон, Нью-Йорк, ISBN  978-0-88275-228-0 , МР   0460307 .
• Накаяма, Тадаси (1951), «Замечание о конечно порожденных модулях», Nagoya Mathematical Journal , 3 : 139–140, doi : 10.1017/s0027763000012265 , ISSN   0027-7630 , MR   0043770 .

Ссылки

• Как понять лемму Накаямы и ее следствия