Ассоциативный биальгеброид

В математике , если $L$ является ассоциативной алгеброй над некоторым основным полем k , то левая ассоциативная алгебра $L$ -биалалгеброид — еще одна ассоциативная k -алгебра $H$ вместе со следующими дополнительными картами: ^[1]карта алгебры $\alpha :L\to H$ называется исходной картой, карта алгебры $\beta :L^{\mathrm {op} }\to H$ называется целевой картой, так что элементы изображений $\alpha$ и $\beta$ ездить на работу $H$ , тем самым вызывая $L$ -бимодульная структура на $H$ через правило $a.h.b=\alpha (a)\beta (b)h$ для $a,b\in L,h\in H$ ; а $L$ -бимодульный морфизм $\Delta :H\to H\otimes _{L}H$ которое должно быть коассоциативным коумножением на $H$ в моноидальной категории $L$ -бимодули с моноидальным произведением $\otimes _{L}$ .

Соответствующая единица $\varepsilon :H\to L$ должен быть левым символом (эквивалентно, карта $H\otimes L\ni h\otimes \ell \mapsto \varepsilon (h\alpha (\ell ))\in L$ должно быть левым действием, расширяющим умножение $L\otimes L\to L$ вдоль $\alpha \otimes \mathrm {id} _{L}$ ).

Кроме того, совместимость между коумножением $\Delta$ и умножения на $H$ и дальше $H\otimes H$ требуется. Для некоммутативного $L$ , тензорный квадрат $H\otimes _{L}H$ не является алгеброй, поэтому требуется совместимость, подобная биалгебре, которая $\Delta :H\to H\otimes _{L}H$ является морфизмом k -алгебр, не имеет смысла. Вместо этого требуется, чтобы $H\otimes _{L}H$ имеет k -подпространство $T$ который содержит изображение $\Delta$ и имеет корректно определенное умножение, индуцированное из его прообраза при проекции из обычной тензорной квадратной алгебры $H\otimes H$ . Тогда требуется, чтобы коограничение $\Delta |^{T}:H\to T$ является гомоморфизмом алгебр с единицей. Если это гомоморфизм для одного такого $T$ , можно сделать канонический выбор для $T$ , а именно так называемый продукт Такеучи $H\times _{L}H\subset H\otimes _{L}H$ , ^[2] который всегда наследует ассоциативное умножение через проекцию от $H\otimes H$ . Таким образом, достаточно проверить, является ли образ $\Delta$ содержится в продукте Такеучи, а не искать другие $T$ . Как показали Бжезинский и Милитару, понятие биальгеброида эквивалентно понятию $\times _{L}$ -алгебра, введенная Такеучи ранее, в 1977 году. ^[3]

Ассоциативный биалгеброид — это обобщение понятия k - биалгебры , в котором коммутативное основное кольцо k заменяется возможно некоммутативной k -алгеброй. $L$ . Алгеброиды Хопфа — это ассоциативные биалгеброиды с дополнительным отображением антипода, которое является антиавтоморфизмом $H$ удовлетворяющее дополнительным аксиомам.

Термин «биальгеброид» для этого понятия впервые был предложен Дж.Х. Лу. ^[4] Ассоциативный модификатор часто опускается из названия и сохраняется главным образом только тогда, когда мы хотим отличить его от понятия биальгеброида Ли , часто также называемого просто биальгеброидом. Ассоциативные биальгеброиды бывают двух хиральных версий: левой и правой. Двойственным понятием является понятие бикоалгеброида. ^[5]

Существует обобщение - внутренний биалгеброид , который абстрагирует структуру ассоциативного биалгеброида до схемы, в которой категория векторных пространств заменяется абстрактной симметричной моноидальной категорией, допускающей коэквалайзеры, коммутирующие с тензорным произведением.

Ссылки

^ Бём, Габриэлла (2008), Алгеброиды Хопфа , arXiv : 0805.3806
^ Бжезинский, Томаш; Милитару, Гигель (2000), Биалгеброиды, $\times _{A}$ -биалгебры и двойственность , arXiv : math.QA/0012164
^ М. Такеучи, Группы алгебр над $A\times {\bar {A}}$ , Дж. Матем. Соц. Япония. 29, 459–492, 1977 г.
^ Лу, Цзян-ХУА (1996), «Алгеброиды Хопфа и квантовые группоиды» , Международный журнал математики , 07 : 47–70, arXiv : q-alg/9505024 , doi : 10.1142/S0129167X96000050 , S2CID 9861060
^ Имре Балинт, Скалярное расширение бикоалгеброидов, Appl. Категория. Структура. 16, 29–55 (2008)

Внешние ссылки

nLab, Ассоциативный биальгеброид, https://ncatlab.org/nlab/show/bialgebroid
Степан Мельянац, Зоран Шкода, Мартина Стойич, Некоммутативные фазовые пространства типа алгебры Ли являются алгеброидами Хопфа, Lett. Математика. Физ. 107:3, 475–503 (2017) http://dx.doi.org/10.1007/s11005-016-0908-9 http://arxiv.org/abs/1409.8188

[1] Бём, Габриэлла (2008), Алгеброиды Хопфа , arXiv : 0805.3806

[2] Бжезинский, Томаш; Милитару, Гигель (2000), Биалгеброиды, $\times _{A}$ -биалгебры и двойственность , arXiv : math.QA/0012164

[3] М. Такеучи, Группы алгебр над $A\times {\bar {A}}$ , Дж. Матем. Соц. Япония. 29, 459–492, 1977 г.

[4] Лу, Цзян-ХУА (1996), «Алгеброиды Хопфа и квантовые группоиды» , Международный журнал математики , 07 : 47–70, arXiv : q-alg/9505024 , doi : 10.1142/S0129167X96000050 , S2CID 9861060

[5] Имре Балинт, Скалярное расширение бикоалгеброидов, Appl. Категория. Структура. 16, 29–55 (2008)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]