Когомологии Брауна – Петерсона

В математике когомологии Брауна – Петерсона — это обобщенная теория когомологий, введенная Эдгар Х. Браун и Франклин П. Петерсон ( 1966 ), в зависимости от выбора простого числа p . Подробно это описано Дугласом Рэвенелом ( 2003 , глава 4).Его представляющий спектр обозначается BP.

Комплексный кобордизм и идемпотент Квиллена

Когомологии Брауна-Петерсона BP — это слагаемое MU _{( p )} , которое представляет собой комплексный кобордизм MU, локализованный в простом числе p . Фактически MU _p) является клиновым произведением суспензий ( БП.

что для каждого простого числа p показал , Дэниел Квиллен существует уникальное идемпотентное отображение кольцевых спектров ε из MUQ _{( p )} в себя со свойством, что ε([CP ^н ]) — это [CP ^н ] если n +1 является степенью p и 0 в противном случае. Спектр BP является образом этого идемпотента ε.

Структура БП

Кольцо коэффициентов $\pi _{*}({\text{BP}})$ является полиномиальной алгеброй над $\mathbb {Z} _{(p)}$ на генераторах $v_{n}$ в градусах $2(p^{n}-1)$ для $n\geq 1$.

${\text{BP}}_{*}({\text{BP}})$ изоморфно кольцу полиномов $\pi _{*}({\text{BP}})[t_{1},t_{2},\ldots ]$ над $\pi _{*}({\text{BP}})$ с генераторами $t_{i}$ в ${\text{BP}}_{2(p^{i}-1)}({\text{BP}})$ степеней $2(p^{i}-1)$.

Когомологии алгеброида Хопфа $(\pi _{*}({\text{BP}}),{\text{BP}}_{*}({\text{BP}}))$ — начальный член спектральной последовательности Адамса–Новикова для вычисления p-локальных гомотопических групп сфер .

BP является универсальным примером комплексно-ориентированной теории когомологий, связанный с ней формальный групповой закон p-типичен.

См. также

• Список теорий когомологии # Когомологии Брауна – Петерсона

Ссылки

• Адамс, Дж. Франк (1974), Стабильная гомотопия и обобщенная гомология , University of Chicago Press , ISBN  978-0-226-00524-9
• Браун, Эдгар Х. младший ; Петерсон, Франклин П. (1966), «Спектр, чьи когомологии Z _p являются алгеброй приведенных p ^й полномочия», Топология , 5 (2): 149–154, doi : 10.1016/0040-9383(66)90015-2 , MR   0192494 .
• Куиллен, Дэниел (1969), «О формальных групповых законах неориентированной и сложной теории кобордизмов» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 75 (6): 1293–1298, doi : 10.1090/S0002-9904-1969- 12401-8 , МР   0253350 .
• Равенел, Дуглас К. (2003), Комплексный кобордизм и стабильные гомотопические группы сфер (2-е изд.), AMS Chelsea, ISBN  978-0-8218-2967-7
• Уилсон, В. Стивен (1982), Гомологии Брауна-Петерсона: введение и образец , Серия региональных конференций CBMS по математике, том. 48, Вашингтон, округ Колумбия: Совет конференции математических наук, ISBN.  978-0-8219-1699-5 , МР   0655040