Топология лексикографического порядка на единичном квадрате

В общей топологии лексикографический порядок на единичном квадрате (иногда словарный порядок на единичном квадрате) ) — это топология на единичном квадрате S , т. е. на множестве точек ( x , y ) на плоскости таких, что 0 ⩽ x ⩽ 1 и 0 ⩽ y ⩽ 1.

Строительство

Лексикографический порядок дает тотальный порядок. $\prec$ по точкам единичного квадрата: если ( x , y ) и ( u , v ) две точки в квадрате, ( x , y ) $\scriptstyle \prec$ ( u , v ) тогда и только тогда, когда либо x < u , либо оба x = u и y < v . Символически говоря, $$(x,y)\prec (u,v)\iff (x<u)\lor (x=u\land y<v)$$

Топология лексикографического порядка на единичном квадрате — это топология порядка, индуцированная этим упорядочением.

Характеристики

Порядковая топология превращает S в совершенно нормальное хаусдорфово пространство . лексикографический порядок на S Поскольку можно доказать, что является полным , эта топология превращает S в компактное пространство . В то же время S содержит несчетное число попарно непересекающихся открытых интервалов, каждый из которых гомеоморфен вещественной прямой , например интервалы $U_{x}=\{(x,y):1/4<y<1/2\}$ для $0\leq x\leq 1$. Таким образом, S не является сепарабельным , поскольку любое плотное подмножество должно содержать хотя бы одну точку в каждом. $U_{x}$. Следовательно, S не метризуемо (поскольку любой компактное метрическое пространство сепарабельно); однако оно во-первых счетно . Кроме того, S подключен и локально подключен, но не подключен по пути и не подключен локально по пути. Его фундаментальная группа тривиальна.

См. также

• Список топологий
• Длинная линия

Ссылки

• Стин, Луизиана; Зеебах, Дж. А. (1995), Контрпримеры в топологии , Дувр, ISBN  0-486-68735-Х