Перемещение по методу наименьших квадратов

Перемещение метода наименьших квадратов — это метод восстановления непрерывных функций из набора неорганизованных точечных выборок посредством расчета наименьших квадратов, взвешенной меры смещенной в сторону области вокруг точки, в которой запрашивается восстановленное значение.

В компьютерной графике метод скользящих наименьших квадратов полезен для восстановления поверхности по набору точек. Часто он используется для создания 3D-поверхности из облака точек посредством понижающей или повышающей дискретизации .

В численном анализе для учета вкладов геометрии там, где трудно получить дискретизацию, также использовались и обобщались методы скользящих наименьших квадратов для решения УЧП на искривленных поверхностях и других геометриях. ^[1]^[2]^[3] Сюда входят численные методы, разработанные для искривленных поверхностей для решения скалярных параболических уравнений в уравнениях. ^[1] ^[3] и векторнозначные гидродинамические УЧП. ^[2]

В машинном обучении методы перемещения наименьших квадратов также использовались для разработки классов моделей и методов обучения. Сюда входят методы функциональной регрессии. ^[4] а также подходы к функциям нейронных сетей и операторской регрессии, такие как GMLS-Nets. ^[5]

Определение

Рассмотрим функцию $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ и набор точек выборки $S=\{(x_{i},f_{i})|f(x_{i})=f_{i}\}$ . Тогда скользящее приближение наименьших квадратов степени $m$ в точку $x$ является ${\tilde {p}}(x)$ где ${\tilde {p}}$ минимизирует взвешенную ошибку наименьших квадратов

\sum _{i\in I}(p(x_{i})-f_{i})^{2}\theta (\|x-x_{i}\|)

по всем полиномам $p$ степени $m$ в $\mathbb {R} ^{n}$ . $\theta (s)$ - вес, и он стремится к нулю, так как $s\to \infty$ .

В примере $\theta (s)=e^{-s^{2}}$ . Гладкий интерполятор «порядка 3» является квадратичным интерполятором.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Лян, Цзянь; Чжао, Хункай (январь 2013 г.). «Решение уравнений в частных производных на облаках точек». SIAM Журнал по научным вычислениям . 35 (3): А1461–А1486. Бибкод : 2013SJSC...35A1461L . дои : 10.1137/120869730 . S2CID 9984491 .
^ Jump up to: ^а ^б Гросс, Би Джей; Траск, Н.; Кубери, П.; Ацбергер, П.Дж. (15 мая 2020 г.). «Бессеточные методы на многообразиях для гидродинамических потоков на искривленных поверхностях: подход обобщенного скользящего наименьших квадратов (GMLS)». Журнал вычислительной физики . 409 : 109340. arXiv : 1905.10469 . Бибкод : 2020JCoPh.40909340G . дои : 10.1016/j.jcp.2020.109340 . S2CID 166228451 .
^ Jump up to: ^а ^б Гросс, Би Джей; Кубери, П.; Ацбергер, П.Дж. (15 марта 2022 г.). «Статистика времени первого прохождения на поверхностях общей формы: решатели PDE для поверхностей с использованием метода обобщенных скользящих наименьших квадратов (GMLS)» . Журнал вычислительной физики . 453 : 110932. arXiv : 2102.02421 . Бибкод : 2022JCoPh.45310932G . дои : 10.1016/j.jcp.2021.110932 . ISSN 0021-9991 . S2CID 231802303 .
^ Ван, Хун-Янь; Сян, Дао-Хун; Чжоу, Дин-Сюань (1 марта 2010 г.). «Подвижный метод наименьших квадратов в теории обучения» . Журнал теории приближения . 162 (3): 599–614. дои : 10.1016/j.jat.2009.12.002 . ISSN 0021-9045 .
^ Траск, Натаниэль; Патель, Рави Г.; Гросс, Бен Дж.; Ацбергер, Пол Дж. (13 сентября 2019 г.). «GMLS-Nets: основа для обучения на неструктурированных данных». arXiv : 1909.05371 [ cs.LG ].

Степень аппроксимации перемещения по методу наименьших квадратов Дэвид Левин, Mathematics of Computing, Volume 67, 1517–1531, 1998 [1]
Аппроксимация подвижной поверхности отклика методом наименьших квадратов: Применения в области рецептур и обработки металлов Петр Брайткопф; Хаким Насер; Ален Рассиньё; Пьер Вийон, Компьютеры и конструкции, том 83, 17–18, 2005 г.
Обобщение метода конечных элементов: диффузная аппроксимация и диффузные элементы , Б. Нейролес, Г. Тузо. Пьер Вийон, П., Вычислительная механика, том 10, стр. 307–318, 1992 г.

Внешние ссылки

Максимально краткое введение в методы наименьших квадратов, взвешенные наименьшие квадраты и скользящие наименьшие квадраты для аппроксимации и интерполяции разбросанных данных

Эта прикладной математике, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[Liang-1] Jump up to: ^а ^б Лян, Цзянь; Чжао, Хункай (январь 2013 г.). «Решение уравнений в частных производных на облаках точек». SIAM Журнал по научным вычислениям . 35 (3): А1461–А1486. Бибкод : 2013SJSC...35A1461L . дои : 10.1137/120869730 . S2CID 9984491 .

[Gross-2] Jump up to: ^а ^б Гросс, Би Джей; Траск, Н.; Кубери, П.; Ацбергер, П.Дж. (15 мая 2020 г.). «Бессеточные методы на многообразиях для гидродинамических потоков на искривленных поверхностях: подход обобщенного скользящего наименьших квадратов (GMLS)». Журнал вычислительной физики . 409 : 109340. arXiv : 1905.10469 . Бибкод : 2020JCoPh.40909340G . дои : 10.1016/j.jcp.2020.109340 . S2CID 166228451 .

[Gross2-3] Jump up to: ^а ^б Гросс, Би Джей; Кубери, П.; Ацбергер, П.Дж. (15 марта 2022 г.). «Статистика времени первого прохождения на поверхностях общей формы: решатели PDE для поверхностей с использованием метода обобщенных скользящих наименьших квадратов (GMLS)» . Журнал вычислительной физики . 453 : 110932. arXiv : 2102.02421 . Бибкод : 2022JCoPh.45310932G . дои : 10.1016/j.jcp.2021.110932 . ISSN 0021-9991 . S2CID 231802303 .

[4] Ван, Хун-Янь; Сян, Дао-Хун; Чжоу, Дин-Сюань (1 марта 2010 г.). «Подвижный метод наименьших квадратов в теории обучения» . Журнал теории приближения . 162 (3): 599–614. дои : 10.1016/j.jat.2009.12.002 . ISSN 0021-9045 .

[5] Траск, Натаниэль; Патель, Рави Г.; Гросс, Бен Дж.; Ацбергер, Пол Дж. (13 сентября 2019 г.). «GMLS-Nets: основа для обучения на неструктурированных данных». arXiv : 1909.05371 [ cs.LG ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]