Схема Хэмминга

Схема Хэмминга , названная в честь Ричарда Хэмминга , также известна как схема гиперкубических ассоциаций и является наиболее важным примером для теории кодирования . В этой схеме $X={\mathcal {F}}^{n},$ набор двоичных векторов длины $n,$ и два вектора $x,y\in {\mathcal {F}}^{n}$ являются $i$-ые партнеры, если они находятся на расстоянии Хэмминга $i$ отдельно.

Напомним, что схема ассоциации визуализируется как полный граф с помеченными ребрами. На графике есть $v$ вершины, по одной на каждую точку $X,$ и ребро, соединяющее вершины $x$ и $y$ помечен $i$ если $x$ и $y$ являются $i$-ые соратники. Каждое ребро имеет уникальную метку, а количество треугольников с фиксированным основанием отмечено меткой $k$ имея другие края, помеченные $i$ и $j$ является константой $c_{ijk},$ в зависимости от $i,j,k$ а не о выборе базы. В частности, каждая вершина инцидентна ровно $c_{ii0}=v_{i}$ края помечены $i$; $v_{i}$ валентность ​ отношения ​ $R_{i}.$ $c_{ijk}$ в схеме Хэмминга имеют вид

$c_{ijk}={\begin{cases}{\dbinom {k}{{\frac {1}{2}}(i-j+k)}}{\dbinom {n-k}{{\frac {1}{2}}(i-j+k)}}&i+j-k\equiv 0{\pmod {2}}\\\\0&i+j-k\equiv 1{\pmod {2}}\end{cases}}$

Здесь, $v=|X|=2^{n}$ и $v_{i}={\tbinom {n}{i}}.$ Матрицы алгебре Бозе в -Меснера имеют вид $2^{n}\times 2^{n}$ матрицы со строками и столбцами, помеченными векторами $x\in {\mathcal {F}}^{n}.$ В частности $(x,y)$-я запись $D_{k}$ является $1$ тогда и только тогда, когда $d_{H}(x,y)=k.$