порядок рвоты

В математике порядок Брюа (также называемый сильным порядком , сильным порядком Брюа , порядком Шевалле , порядком Брюа-Шевалле или порядком Шевалле-Брюа ) — это частичный порядок элементов группы Коксетера , который соответствует порядку включения на Сорта Шуберта .

История

Порядок Брюа на многообразиях Шуберта или флагового многообразия грассманиана был впервые изучен Эресманном (1934) , а аналог для более общих полупростых алгебраических групп был изучен Шевалле (1958) . Верма (1968) начал комбинаторное исследование порядка Брюа на группе Вейля и ввёл название «порядок Брюа» из-за связи с разложением Брюа, введенным Франсуа Брюа .

Левый и правый слабые порядки Брюа изучались Бьёрнером ( 1984 ).

Определение

Если ( W , S ) — система Кокстера с образующими , то порядок Брюа является частичным порядком на группе W. S Напомним, что сокращенное слово для элемента w из W — это выражение минимальной длины w как произведения элементов S , а длина ℓ ( w ) элемента w — это длина сокращенного слова.

• (Сильный) порядок Брюа определяется условием u ≤ v , если некоторая подстрока некоторого (или каждого) приведенного слова для v является приведенным словом для u . (Обратите внимание, что здесь подстрока не обязательно является последовательной подстрокой.)

• Слабый левый порядок (Брюа) определяется равенством u ≤ _L   v , если некоторая конечная подстрока некоторого сокращенного слова для v является сокращенным словом для u .
• Слабый правый порядок (порядок Брюа) определяется равенством u ≤ _R   v , если некоторая начальная подстрока некоторого приведенного слова для v является приведенным словом для u .

Подробнее о слабых порядках см. в статье слабый порядок перестановок .

Граф Брюа

Граф Брюа — это ориентированный граф, относящийся к (сильному) порядку Брюа. Набор вершин — это набор элементов группы Коксетера, а набор ребер состоит из направленных ребер ( u , v ) всякий раз, когда u = tv для некоторого отражения t и ℓ ( u ) < ℓ ( v ). Граф можно рассматривать как ориентированный граф с метками ребер, метки ребер которых возникают из набора отражений. (Можно также определить граф Брюа, используя умножение справа; в качестве графов результирующие объекты изоморфны, но метки ребер различны.)

Сильный порядок Брюа на симметрической группе (перестановках) имеет функцию Мёбиуса, определяемую выражением $\mu (\pi ,\sigma )=(-1)^{\ell (\sigma )-\ell (\pi )}$, и, таким образом, это ЧУ-множество является эйлеровым, то есть его функция Мёбиуса создается ранговой функцией ЧУ-множества.

См. также

• Kazhdan–Lusztig polynomial

Ссылки

• Бьёрнер, Андерс (1984), «Упорядочение групп Кокстера» , в книге Грина Кертиса (редактор), Комбинаторика и алгебра (Боулдер, Колорадо, 1983) , Contemp. Матем., вып. 34, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 175–195, ISBN.  978-0-8218-5029-9 , МР   0777701
• Бьёрнер, Андерс; Бренти, Франческо (2005), Комбинаторика групп Кокстера , Тексты для аспирантов по математике, том. 231, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/3-540-27596-7 , ISBN.  978-3-540-44238-7 , МР   2133266
• Шевалле, К. (1958), «Sur les decompositions cellulaires des espaces G/B», в Хабуше, Уильям Дж.; Паршалл, Брайан Дж. (ред.), Алгебраические группы и их обобщения: классические методы (University Park, PA, 1991) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 56, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 1–23, ISBN.  978-0-8218-1540-3 , МР   1278698
• Эресманн, Чарльз (1934), «О топологии некоторых однородных пространств» , Annals of Mathematics , вторая серия (на французском языке), 35 (2), Annals of Mathematics: 396–443, doi : 10.2307/1968440 , ISSN   0003- 486С , ДЖФМ   60.1223.05 , ДЖСТОР   1968440
• Верма, Дайя-Нанд (1968), «Структура некоторых индуцированных представлений комплексных полупростых алгебр Ли», Бюллетень Американского математического общества , 74 : 160–166, doi : 10.1090/S0002-9904-1968-11921-4 , ISSN   0002-9904 , МР   0218417