Функция распределения Костанта

В теории представлений , разделе математики, статистическая сумма Костанта , введенная Бертрамом Костантом ( 1958 , 1959 ), корневой системы $\Delta$ — это количество способов, которыми можно представить вектор ( вес ) как неотрицательное целочисленное линейное сочетание положительных корней. $\Delta ^{+}\subset \Delta$ . Костант использовал ее, чтобы переписать формулу характера Вейля в формулу ( формула кратности Костанта ) для кратности веса неприводимого представления полупростой алгебры Ли . Альтернативной формулой, которая в некоторых случаях более эффективна в вычислительном отношении, является формула Фрейденталя .

Статистическая сумма Костанта также может быть определена для алгебр Каца – Муди и имеет аналогичные свойства.

Примеры

А ₂

Рассмотрим корневую систему А2 с положительными корнями. $\alpha _{1}$ , $\alpha _{2}$ , и $\alpha _{3}:=\alpha _{1}+\alpha _{2}$ . Если элемент $\mu$ может быть выражено как неотрицательная целочисленная линейная комбинация $\alpha _{1}$ , $\alpha _{2}$ , и $\alpha _{3}$ , то поскольку $\alpha _{3}=\alpha _{1}+\alpha _{2}$ , его также можно выразить как неотрицательную целочисленную линейную комбинацию положительных простых корней $\alpha _{1}$ и $\alpha _{2}$ :

\mu =n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}

с $n_{1}$ и $n_{2}$ являются неотрицательными целыми числами. Это выражение дает один из способов записи $\mu$ как неотрицательное целочисленное сочетание положительных корней; остальные выражения можно получить заменой $\alpha _{1}+\alpha _{2}$ с $\alpha _{3}$ некоторое количество раз. Можем сделать замену $k$ времена, где $0\leq k\leq \mathrm {min} (n_{1},n_{2})$ . Таким образом, если статистическую сумму Костанта обозначить через $p$ , получим формулу

p(n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2})=1+\mathrm {min} (n_{1},n_{2})

.

Этот результат показан графически на изображении справа. Если элемент $\mu$ не имеет формы $\mu =n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}$ , затем $p(\mu )=0$ .

B_Б2

Статистическая сумма для других корневых систем ранга 2 более сложна, но известна явно. ^[1]^[2]

Для B ₂ положительные простые корни равны $\alpha _{1}=(1,0),\alpha _{2}=(0,1)$ , а положительные корни — это простые корни вместе с $\alpha _{3}=(1,1)$ и $\alpha _{4}=(2,1)$ . Статистическая сумма может рассматриваться как функция двух неотрицательных целых чисел. $n_{1}$ и $n_{2}$ , которые представляют элемент $n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}$ . Тогда статистическая сумма $P(n_{1},n_{2})$ может быть определена кусочно с помощью двух вспомогательных функций.

Если $n_{1}\leq n_{2}$ , затем $P(n_{1},n_{2})=b(n_{1})$ . Если $n_{2}\leq n_{1}\leq 2n_{2}$ , затем $P(n_{1},n_{2})=q_{2}(n_{2})-b(2n_{2}-n_{1}-1)=b(n_{1})-q_{2}(n_{1}-n_{2}-1)$ . Если $2n_{2}\leq n_{1}$ , затем $P(n_{1},n_{2})=q_{2}(n_{2})$ . Вспомогательные функции определены для $n\geq 1$ и даны $q_{2}(n)={\frac {1}{2}}(n+1)(n+2)$ и $b(n)={\frac {1}{4}}(n+2)^{2}$ для $n$ даже, ${\frac {1}{4}}(n+1)(n+3)$ для $n$ странный.

Г ₂

Для G ₂ положительные корни равны $(1,0),(0,1),(1,1),(2,1),(3,1)$ и $(3,2)$ , с $(1,0)$ обозначающий короткий простой корень и $(0,1)$ обозначающий длинный простой корень.

Статистическая сумма определяется кусочно с разделением области на пять областей с помощью двух вспомогательных функций.

Связь с формулой характера Вейля

Инвертирование знаменателя Вейля

Для каждого корня $\alpha$ и каждый $H\in {\mathfrak {h}}$ , мы можем формально применить формулу суммы геометрической прогрессии, чтобы получить

{\frac {1}{1-e^{-\alpha (H)}}}=1+e^{-\alpha (H)}+e^{-2\alpha (H)}+\cdots

где мы не беспокоимся о сходимости, то есть равенство понимается на уровне формальных степенных рядов . Использование формулы знаменателя Вейля

{\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}=e^{\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha (H)})},

получим формальное выражение для обратной знаменателя Вейля: ^[3]

{\begin{aligned}{\frac {1}{\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}}}&{}=e^{-\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1+e^{-\alpha (H)}+e^{-2\alpha (H)}+e^{-3\alpha (H)}+\cdots )\\&{}=e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^{-\mu (H)}\end{aligned}}

Здесь первое равенство получается путем произведения произведения положительных корней формулы геометрической прогрессии, а второе равенство заключается в подсчете всех способов, которыми данная экспонента $e^{\mu (H)}$ может возникнуть в продукте. Функция $\ell (w)$ равно нулю, если аргумент является вращением, и единице, если аргумент является отражением.

Переписывание формулы символа

Этот аргумент показывает, что мы можем преобразовать формулу характера Вейля для неприводимого представления с наибольшим весом $\lambda$ :

\operatorname {ch} (V)={\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot (\lambda +\rho )(H)} \over \sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}}

от частного к произведению:

\operatorname {ch} (V)=\left(\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot (\lambda +\rho )(H)}\right)\left(e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^{-\mu (H)}\right).

Формула кратности

Используя предыдущее переписывание формулы символа, относительно легко записать символ как сумму экспонент. Коэффициенты этих экспонент являются кратностями соответствующих весов. Таким образом, мы получаем формулу кратности данного веса $\mu$ в неприводимом представлении с наибольшим весом $\lambda$ : ^[4]

\mathrm {mult} (\mu )=\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}p(w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho ))

.

Этот результат представляет собой формулу множественности Костанта .

Доминирующим членом в этой формуле является член $w=1$ ; вклад этого члена $p(\lambda -\mu )$ , что и есть кратность $\mu$ в модуле Verma с наибольшим весом $\lambda$ . Если $\lambda$ находится достаточно далеко внутри фундаментальной камеры Вейля и $\mu$ достаточно близко к $\lambda$ , может случиться так, что все остальные члены формулы будут равны нулю. Конкретно, если только $w\cdot (\lambda +\rho )$ выше, чем $\mu +\rho$ , значение статистической суммы Костанта на $w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho )$ будет нулевым. Таким образом, хотя сумма номинально ведется по всей группе Вейля, в большинстве случаев число ненулевых членов меньше порядка группы Вейля.

Ссылки

^ Тарский, Ян; Калифорнийский университет, Беркли. (апрель 1963 г.). «Функция статистической суммы некоторых простых алгебр Ли» . Журнал математической физики . 4 (4). ВВС США, Управление научных исследований: 569–574. дои : 10.1063/1.1703992 . hdl : 2027/mdp.39015095253541 . Проверено 4 июня 2023 г.
^ Каппарелли, Стефано (2003). «Вычисление статистической суммы Костанта» . Бюллетень Итальянского математического союза . 6-Б (1): 89–110. ISSN 0392-4041 .
^ Зал 2015 г., Предложение 10.27
^ Холл, 2015 г. , Теорема 10.29.

Источники

Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
Хамфрис, Дж. Э. Введение в алгебры Ли и теорию представлений, Springer, 1972.
Костант, Бертрам (1958), «Формула кратности веса», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 44 (6), National Academy of Sciences: 588–589, Bibcode : 1958PNAS. ..44..588K , doi : 10.1073/pnas.44.6.588 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 89667 , MR 0099387 , PMC 528626 , PMID 16590246
Костант, Бертрам (1959), «Формула кратности веса», Труды Американского математического общества , 93 (1), Американское математическое общество: 53–73, doi : 10.2307/1993422 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993422 , МР 0109192 , ПМК 528626

[tar-1] Тарский, Ян; Калифорнийский университет, Беркли. (апрель 1963 г.). «Функция статистической суммы некоторых простых алгебр Ли» . Журнал математической физики . 4 (4). ВВС США, Управление научных исследований: 569–574. дои : 10.1063/1.1703992 . hdl : 2027/mdp.39015095253541 . Проверено 4 июня 2023 г.

[2] Каппарелли, Стефано (2003). «Вычисление статистической суммы Костанта» . Бюллетень Итальянского математического союза . 6-Б (1): 89–110. ISSN 0392-4041 .

[3] Зал 2015 г., Предложение 10.27

[4] Холл, 2015 г. , Теорема 10.29.

[1]

[2]

[3]

[4]