Статически неопределимый

В статике и строительной механике конструкция считается статически неопределимой , когда уравнения равновесия – условия равновесия сил и моментов – недостаточны для определения внутренних сил и реакций на эту конструкцию. ^[1]^[2]

Математика

Основываясь на законах движения Ньютона , уравнения равновесия, доступные для двумерного тела: ^[2]

\sum \mathbf {F} =0:

векторная . сумма сил, действующих на тело, равна нулю Это переводится как:

\sum \mathbf {H} =0:

сумма горизонтальных составляющих сил равна нулю;

\sum \mathbf {V} =0:

сумма вертикальных составляющих сил равна нулю;

\sum \mathbf {M} =0:

сумма моментов ( около произвольной точки) всех сил равна нулю.

В балочной справа четыре $VA неизвестные$ , $VB и$ , $VC :$ . $HA конструкции$ реакции Уравнения равновесия: ^[2]

{\begin{aligned}\sum \mathbf {V} =0\quad &\implies \quad \mathbf {V} _{A}-\mathbf {F} _{v}+\mathbf {V} _{B}+\mathbf {V} _{C}=0\\\sum \mathbf {H} =0\quad &\implies \quad \mathbf {H} _{A}=0\\\sum \mathbf {M} _{A}=0\quad &\implies \quad \mathbf {F} _{v}\cdot a-\mathbf {V} _{B}\cdot (a+b)-\mathbf {V} _{C}\cdot (a+b+c)=0\end{aligned}}

существует четыре неизвестных силы (или переменных ) ( $VA Поскольку$ , $VB и$ , $VC A$ , $H)$ но только три уравнения равновесия, эта система одновременных уравнений не имеет однозначного решения. Поэтому структура классифицируется как статически неопределимая .

Для решения статически неопределимых систем (определения различных моментных и силовых реакций внутри нее) учитываются свойства материала и совместимость при деформациях .

Статически определимый

Если опору в $точке B$ удалить, реакция $V B$ не может произойти, и система становится статически определенной (или изостатической ). ^[3] Обратите внимание, что здесь система полностью ограничена .Система становится точной кинематической связью .Решение проблемы следующее: ^[2]

{\begin{aligned}\mathbf {H} _{A}&=\mathbf {F} _{h}\\\mathbf {V} _{C}&={\frac {\mathbf {F} _{v}\cdot a}{a+b+c}}\\\mathbf {V} _{A}&=\mathbf {F} _{v}-\mathbf {V} _{C}\end{aligned}}

Если дополнительно опору $А$ заменить на роликовую, число реакций сократится до трех (без $) НА$ , но балку теперь можно будет перемещать горизонтально; система становится нестабильной или частично ограниченной — это скорее механизм , чем структура. Чтобы отличить это от ситуации, когда система, находящаяся в равновесии, нарушается и становится неустойчивой, здесь предпочтительнее использовать фразу « частично ограничена» . В этом случае две неизвестные $V A$ и $V C$ могут быть определены путем одновременного решения уравнения вертикальной силы и уравнения момента. Решение дает те же результаты, что и ранее полученные. Однако невозможно удовлетворить уравнению горизонтальной силы, если только $F h = 0$ . ^[2]

Статическая определенность

Описательно статически определимую конструкцию можно определить как конструкцию, в которой, если можно найти внутренние действия в равновесии с внешними нагрузками, эти внутренние действия уникальны. Конструкция не имеет возможных состояний самонапряжения, т.е. внутренние силы, находящиеся в равновесии с нулевыми внешними нагрузками, невозможны. Статическая неопределенность, однако, — это существование нетривиального (отличного от нуля) решения однородной системы уравнений равновесия. Это указывает на возможность самонапряжения (напряжения при отсутствии внешней нагрузки), которое может быть вызвано механическим или термическим воздействием.

Математически это требует, чтобы матрица жесткости имела полный ранг.

Статически неопределимую конструкцию можно проанализировать только путем включения дополнительной информации, такой как свойства материала и прогибы. Численно этого можно достичь с помощью матричного структурного анализа, метода конечных элементов (МКЭ) или метода распределения моментов ( Харди Кросс ).

На практике конструкция называется «статически переопределенной», если она содержит больше механических ограничений, таких как стены, колонны или болты, чем абсолютно необходимо для устойчивости.

См. также

Ссылки

^ Мэтисон, Джеймс Адам Луи (1971). Гиперстатические конструкции: введение в теорию статически неопределимых конструкций (2-е изд.). Лондон: Баттервортс. ISBN 0408701749 . ОСЛК 257600 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Мегсон, Томас Генри Гордон (2014). «Анализ статически неопределимых конструкций». Структурный и стрессовый анализ (Третье изд.). Амстердам: Эльзевир. стр. 489–570. ISBN 9780080999364 . OCLC 873568410 .
^ Карпинтери, Альберто (1997). Строительная механика: единый подход (1-е изд.). Лондон: E & FN Spon. ISBN 0419191607 . OCLC 36416368 .

Внешние ссылки

Расчет балки онлайн (Статически неопределимый)

[1] Мэтисон, Джеймс Адам Луи (1971). Гиперстатические конструкции: введение в теорию статически неопределимых конструкций (2-е изд.). Лондон: Баттервортс. ISBN 0408701749 . ОСЛК 257600 .

[:0-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Мегсон, Томас Генри Гордон (2014). «Анализ статически неопределимых конструкций». Структурный и стрессовый анализ (Третье изд.). Амстердам: Эльзевир. стр. 489–570. ISBN 9780080999364 . OCLC 873568410 .

[3] Карпинтери, Альберто (1997). Строительная механика: единый подход (1-е изд.). Лондон: E & FN Spon. ISBN 0419191607 . OCLC 36416368 .

[1]

[2]

[3]