Метод распределения момента

Не путать с перераспределением Moment .

Метод распределения моментов — это структурного анализа метод статически неопределимых балок и рам, разработанный Харди Кроссом . Он был опубликован в 1930 году в журнале ASCE . Этот метод учитывает только изгибные эффекты и игнорирует осевые и сдвиговые эффекты. С 1930-х годов, пока компьютеры не начали широко использоваться при проектировании и анализе конструкций, метод распределения моментов был наиболее широко применяемым методом.

Введение

В методе распределения момента каждое соединение анализируемой конструкции фиксируется так, чтобы создавались моменты фиксированного конца . Затем каждое неподвижное соединение последовательно освобождается, и моменты неподвижных концов (которые к моменту освобождения не находятся в равновесии) распределяются между соседними элементами до равновесия достижения . Метод распределения моментов в математическом плане можно представить как процесс решения системы одновременных уравнений посредством итерации .

Метод распределения момента относится к категории метода смещения структурного анализа.

Выполнение

Чтобы применить метод распределения моментов для анализа конструкции, необходимо учитывать следующие вещи.

Фиксированные конечные моменты

Фиксированные конечные моменты — это моменты, создаваемые на концах элемента внешними нагрузками. Расчет по пролету выполняется при условии, что каждая опора фиксирована, и с применением формул в соответствии с характером нагрузки, то есть точечной нагрузкой (средний пролет или неравная), udl, uvl или парой. .

Жесткость на изгиб

Жесткость на изгиб (EI/L) элемента представлена ​​как жесткость элемента на изгиб (произведение модуля упругости (E) и второго момента площади (I)) деленная на длину (L) элемента. . В методе распределения момента необходимы не конкретные значения, а соотношения изгибных жесткостей между всеми элементами.

Факторы распределения

Когда шарнир освобождается и начинает вращаться под действием неуравновешенного момента, силы сопротивления возникают на каждом элементе, соединенном вместе в суставе. Хотя общее сопротивление равно неуравновешенному моменту, величины сил сопротивления, развиваемых на каждом элементе, различаются в зависимости от изгибной жесткости элементов. Коэффициенты распределения можно определить как доли неуравновешенных моментов, переносимых каждым из членов. В математических терминах коэффициент распределения членов $k$ в рамке на стыке $j$ дается как:

$D_{jk}={\frac {\frac {E_{k}I_{k}}{L_{k}}}{\sum _{i=1}^{i=n}{\frac {E_{i}I_{i}}{L_{i}}}}}$

где n — количество членов, сформированных в стыке.

Факторы переноса

При отпускании шарнира возникает уравновешивающий момент, уравновешивающий неуравновешенный момент. Балансировочный момент изначально такой же, как и момент фиксированного конца. Этот балансирующий момент затем переносится на другой конец элемента. Отношение перенесенного момента на другом конце к моменту фиксированного конца начального конца является коэффициентом переноса.

Определение коэффициентов переноса

Пусть один конец (конец А) неподвижной балки освободят и приложат момент $M_{A}$ в то время как другой конец (конец B) остается фиксированным. Это заставит конец А повернуть на угол $\theta _{A}$. Как только величина $M_{B}$ находится на конце B, коэффициент переноса этого члена определяется как отношение $M_{B}$ над $M_{A}$:

$C_{AB}={\frac {M_{B}}{M_{A}}}$

В случае балки длиной L постоянного сечения, жесткость на изгиб которой равна $EI$,

$M_{A}=4{\frac {EI}{L}}\theta _{A}+2{\frac {EI}{L}}\theta _{B}=4{\frac {EI}{L}}\theta _{A}$

$M_{B}=2{\frac {EI}{L}}\theta _{A}+4{\frac {EI}{L}}\theta _{B}=2{\frac {EI}{L}}\theta _{A}$

следовательно, коэффициент переноса

$C_{AB}={\frac {M_{B}}{M_{A}}}={\frac {1}{2}}$

Соглашение о подписании

После того как соглашение о знаках выбрано, его необходимо сохранить для всей структуры. Традиционное инженерное соглашение о знаках не используется в расчетах метода распределения момента, хотя результаты могут быть выражены обычным способом. В случае BMD левый боковой момент направлен по часовой стрелке, а другой — против часовой стрелки, поэтому изгиб положительный и называется провисанием.

Каркасная конструкция

Каркасную конструкцию с боковым перекосом или без него можно проанализировать с помощью метода распределения момента.

Пример

Пример

Анализу подлежит статически неопределимая балка, показанная на рисунке.

Балка рассматривается как три отдельных элемента: AB, BC и CD, соединенных фиксированными концевыми (моментными) соединениями в точках B и C.

• Члены AB, BC, CD имеют одинаковый диапазон. $L=10\ m$.
• Жесткость при изгибе равна EI, 2EI, EI соответственно.
• Сосредоточенная нагрузка величины $P=10\ kN$ действует на расстоянии $a=3\ m$ от поддержки А.
• Равномерная нагрузка по интенсивности $q=1\ kN/m$ действует на БК.
• Компакт-диск элемента нагружен в середине концентрированной нагрузкой величиной $P=10\ kN$.

В следующих расчетах моменты по часовой стрелке положительны.

Фиксированные конечные моменты

См. Также: Фиксированный конечный момент.

$M_{AB}^{f}=-{\frac {Pb^{2}a}{L^{2}}}=-{\frac {10\times 7^{2}\times 3}{10^{2}}}=-14.700\ kN\cdot m$

$M_{BA}^{f}={\frac {Pa^{2}b}{L^{2}}}={\frac {10\times 3^{2}\times 7}{10^{2}}}=+6.300\ kN\cdot m$

$M_{BC}^{f}=-{\frac {qL^{2}}{12}}=-{\frac {1\times 10^{2}}{12}}=-8.333\ kN\cdot m$

$M_{CB}^{f}={\frac {qL^{2}}{12}}={\frac {1\times 10^{2}}{12}}=+8.333\ kN\cdot m$

$M_{CD}^{f}=-{\frac {PL}{8}}=-{\frac {10\times 10}{8}}=-12.500\ kN\cdot m$

$M_{DC}^{f}={\frac {PL}{8}}={\frac {10\times 10}{8}}=+12.500\ kN\cdot m$

Изгибная жесткость и коэффициенты распределения

Жесткость на изгиб элементов AB, BC и CD равна ${\frac {3EI}{L}}$, ${\frac {4\times 2EI}{L}}$ и ${\frac {4EI}{L}}$, соответственно . Поэтому выразив результаты в повторяющейся десятичной системе счисления:

$D_{BA}={\frac {\frac {3EI}{L}}{{\frac {3EI}{L}}+{\frac {4\times 2EI}{L}}}}={\frac {\frac {3}{10}}{{\frac {3}{10}}+{\frac {8}{10}}}}={\frac {3}{11}}=0.(27)$

$D_{BC}={\frac {\frac {4\times 2EI}{L}}{{\frac {3EI}{L}}+{\frac {4\times 2EI}{L}}}}={\frac {\frac {8}{10}}{{\frac {3}{10}}+{\frac {8}{10}}}}={\frac {8}{11}}=0.(72)$

$D_{CB}={\frac {\frac {4\times 2EI}{L}}{{\frac {4\times 2EI}{L}}+{\frac {4EI}{L}}}}={\frac {\frac {8}{10}}{{\frac {8}{10}}+{\frac {4}{10}}}}={\frac {8}{12}}=0.(66)$

$D_{CD}={\frac {\frac {4EI}{L}}{{\frac {4\times 2EI}{L}}+{\frac {4EI}{L}}}}={\frac {\frac {4}{10}}{{\frac {8}{10}}+{\frac {4}{10}}}}={\frac {4}{12}}=0.(33)$

Коэффициенты распределения соединений A и D равны $D_{AB}=1$ и $D_{DC}=0$.

Факторы переноса

Коэффициенты переноса: ${\frac {1}{2}}$, за исключением коэффициента переноса из D (фиксированная поддержка) в C, который равен нулю.

Распределение моментов

	Соединение	А		Соединение	Б		Соединение	С		Соединение	Д
Распредел. факторы	0	1		0.2727	0.7273		0.6667	0.3333		0	0
Фиксированные конечные моменты		-14.700		+6.300	-8.333		+8.333	-12.500		+12.500
Шаг 1		+14.700	→	+7.350
Шаг 2				-1.450	-3.867	→	-1.934
Шаг 3					+2.034	←	+4.067	+2.034	→	+1.017
Шаг 4				-0.555	-1.479	→	-0.739
Шаг 5					+0.246	←	+0.493	+0.246	→	+0.123
Шаг 6				-0.067	-0.179	→	-0.090
Шаг 7					+0.030	←	+0.060	+0.030	→	+0.015
Шаг 8				-0.008	-0.022	→	-0.011
Шаг 9					+0.004	←	+0.007	+0.004	→	+0.002
Шаг 10				-0.001	-0.003
Сумма моментов		0		+11.569	-11.569		+10.186	-10.186		+13.657

Цифры серого цвета — это сбалансированные моменты; стрелки ( → / ← ) обозначают перенос момента с одного конца на другой конец элемента.* Шаг 1: Когда соединение A освобождается, уравновешивающий момент по величине равен фиксированному конечному моменту. $M_{AB}^{f}=14.700\mathrm {\,kN\,m}$ развивается и переносится от соединения A к соединению B.* Шаг 2: Неуравновешенный момент в соединении B теперь представляет собой сумму фиксированных концевых моментов. $M_{BA}^{f}$, $M_{BC}^{f}$ и переходящий момент от соединения А. Этот неуравновешенный момент распределяется на элементы BA и BC в соответствии с коэффициентами распределения $D_{BA}=0.2727$ и $D_{BC}=0.7273$. Шаг 2 заканчивается переносом уравновешенного момента. $M_{BC}=3.867\mathrm {\,kN\,m}$ к шарниру C. Шарнир A представляет собой роликовую опору, которая не имеет ограничений вращения, поэтому перенос момента от шарнира B к шарниру A равен нулю.* Шаг 3: Неуравновешенный момент в шарнире C теперь представляет собой сумму фиксированных концевых моментов. $M_{CB}^{f}$, $M_{CD}^{f}$ и момент переноса от соединения B. Как и на предыдущем этапе, этот неуравновешенный момент распределяется на каждый элемент, а затем переносится на соединение D и обратно на соединение B. Соединение D является фиксированной опорой, и перенесенные моменты на это соединение будут не распределяться и не переноситься на соединение C.* Шаг 4: Шарнир B все еще имеет уравновешенный момент, который был перенесен из соединения C на шаге 3. Соединение B снова освобождается, чтобы вызвать распределение момента и достичь равновесия.* Шаги 5 - 10: Соединения освобождаются и снова фиксируются до тех пор, пока каждое соединение не будет иметь неуравновешенные моменты нулевой величины или пренебрежимо малого размера с требуемой точностью. Арифметическое суммирование всех моментов в каждом соответствующем столбце дает окончательные значения моментов.

Результат

• Моменты в соединениях, определяемые методом распределения моментов

$M_{A}=0\ kN\cdot m$

$M_{B}=-11.569\ kN\cdot m$

$M_{C}=-10.186\ kN\cdot m$

$M_{D}=-13.657\ kN\cdot m$

Здесь используется общепринятое инженерное соглашение о знаках, т.е. положительные моменты вызывают удлинение в нижней части балки.

В целях сравнения ниже приведены результаты, полученные с использованием матричного метода . Обратите внимание, что в приведенном выше анализе итерационный процесс проводился с точностью >0,01. Тот факт, что результаты матричного анализа и результаты анализа распределения моментов совпадают с точностью до 0,001, является простым совпадением.

• Моменты в соединениях, определенные матричным методом

$M_{A}=0\ kN\cdot m$

$M_{B}=-11.569\ kN\cdot m$

$M_{C}=-10.186\ kN\cdot m$

$M_{D}=-13.657\ kN\cdot m$

Обратите внимание, что метод распределения моментов определяет только моменты в соединениях. Разработка полных диаграмм изгибающих моментов требует дополнительных расчетов с использованием определенных шарнирных моментов и равновесия внутреннего сечения.

Результат методом смещений

Поскольку метод Харди Кросса дает лишь приблизительные результаты с погрешностью, обратно пропорциональной количеству итераций, важно чтобы иметь представление о том, насколько точным может быть этот метод. Имея это в виду, вот результат, полученный с помощью точного метода: метода смещения

При этом уравнение метода перемещений принимает следующий вид:

$\left[K\right]\left\{d\right\}=\left\{-f\right\}$

Для конструкции, описанной в этом примере, матрица жесткости имеет следующий вид:

$\left[K\right]={\begin{bmatrix}3{\frac {EI}{L}}+4{\frac {2EI}{L}}&2{\frac {2EI}{L}}\\2{\frac {2EI}{L}}&4{\frac {2EI}{L}}+4{\frac {EI}{L}}\end{bmatrix}}$

Эквивалентный вектор узловой силы:

$\left\{f\right\}^{T}=\left\{-P{\frac {ab(L+a)}{2L^{2}}}+q{\frac {L^{2}}{12}},-q{\frac {L^{2}}{12}}+P{\frac {L}{8}}\right\}$

Заменив представленные выше значения в уравнении и решив его для $\left\{d\right\}$ приводит к следующему результату:

$\left\{d\right\}^{T}=\left\{6.9368;-5.7845\right\}$

Следовательно, моменты, оцениваемые в узле B, следующие:

$M_{BA}=3{\frac {EI}{L}}d_{1}-P{\frac {ab(L+a)}{2L^{2}}}=-11.569$

$M_{BC}=-4{\frac {2EI}{L}}d_{1}-2{\frac {2EI}{L}}d_{2}-q{\frac {L^{2}}{12}}=-11.569$

Моменты, оцениваемые в узле C, следующие:

$M_{CB}=2{\frac {2EI}{L}}d_{1}+4{\frac {2EI}{L}}d_{2}-q{\frac {L^{2}}{12}}=-10.186$

$M_{CD}=-4{\frac {EI}{L}}d_{2}-P{\frac {L}{8}}=-10.186$

См. также

• Метод конечных элементов
• Метод отклонения уклона

Ссылки

• Блашковяк, Станислав; Збигнев Кончковский (1966). Итерационные методы структурного анализа . Пергамон Пресс, Национальное научное издательство.
• Норрис, Чарльз Хед; Джон Бенсон Уилбур; Сенол Утку (1976). Элементарный структурный анализ (3-е изд.). МакГроу-Хилл. стр. 327–345 . ISBN  0-07-047256-4 .
• МакКормак, Джек С.; Нельсон, Джеймс К. младший (1997). Структурный анализ: классический и матричный подход (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. стр. 488–538 . ISBN  0-673-99753-7 .
• Ян, Чан Хён (10 января 2001 г.). Структурный анализ (на корейском языке) (4-е изд.). Сеул: Издательство Cheong Moon Gak. стр. 391–422. ISBN  89-7088-709-1 . Архивировано из оригинала 8 октября 2007 г. Проверено 31 августа 2007 г.
• Волох, Кентукки (2002). «Об основах метода Харди Кросса». Международный журнал твердых тел и структур . 39 (16). Международный журнал твердых тел и структур, том 39, выпуск 16, август 2002 г., страницы 4197–4200: 4197–4200. дои : 10.1016/S0020-7683(02)00345-1 .