Метод отклонения уклона

Метод отклонения уклона — это структурного анализа метод балок и рам, предложенный в 1914 году Джорджем А. Мани. Метод отклонения откоса широко использовался более десяти лет, пока не был разработан метод распределения моментов . В книге «Теория и практика современных рамочных конструкций», написанной Дж. Б. Джонсоном, К. В. Брайаном и Ф. Э. Тернером, говорится, что этот метод был впервые разработан «профессором Отто Мором в Германии, а затем независимо разработан профессором Г. А. Мани». Согласно этой книге, профессор Отто Мор впервые представил этот метод в своей книге «Оценка ферм с жесткими узловыми соединениями» или «Die Berechnung der Fachwerke mit Starren Knotenverbindungen».

Введение

Формируя уравнения отклонения откоса и применяя условия суставного и сдвигового равновесия, рассчитывают углы поворота (или углы откоса). Подставив их обратно в уравнения отклонения откоса, можно легко определить моменты на концах стержней. Деформация элемента происходит под действием изгибающего момента.

Уравнения отклонения уклона

Уравнения отклонения откоса также можно записать с использованием коэффициента жесткости $K={\frac {I_{ab}}{L_{ab}}}$ и вращение аккорда $\psi ={\frac {\Delta }{L_{ab}}}$:

Вывод уравнений прогиба откосов

Когда простой брус длиной $L_{ab}$ и жесткость на изгиб $E_{ab}I_{ab}$ нагружен на каждом конце моментами по часовой стрелке $M_{ab}$ и $M_{ba}$, вращение концов стержня происходит в одном и том же направлении. Эти углы поворота можно рассчитать с помощью метода единичной силы или закона Дарси.

$\theta _{a}-{\frac {\Delta }{L_{ab}}}={\frac {L_{ab}}{3E_{ab}I_{ab}}}M_{ab}-{\frac {L_{ab}}{6E_{ab}I_{ab}}}M_{ba}$

$\theta _{b}-{\frac {\Delta }{L_{ab}}}=-{\frac {L_{ab}}{6E_{ab}I_{ab}}}M_{ab}+{\frac {L_{ab}}{3E_{ab}I_{ab}}}M_{ba}$

Переставляя эти уравнения, получаются уравнения отклонения откоса.

Условия равновесия

Совместное равновесие

Условия равновесия шарниров предполагают, что каждый шарнир, имеющий определенную степень свободы, не должен иметь неуравновешенных моментов, т.е. находиться в равновесии. Поэтому,

$\Sigma \left(M^{f}+M_{member}\right)=\Sigma M_{joint}$

Здесь, $M_{member}$ являются моментами окончания члена, $M^{f}$ — фиксированные конечные моменты , а $M_{joint}$ — внешние моменты, непосредственно приложенные к суставу.

Сдвиговое равновесие

При наличии поворотов хорд в раме необходимо учитывать дополнительные условия равновесия, а именно условия сдвигового равновесия.

Пример

Пример

Анализу подлежит статически неопределимая балка, показанная на рисунке.

• Члены AB, BC, CD имеют одинаковую длину. $L=10\ m$.
• Жесткость при изгибе равна EI, 2EI, EI соответственно.
• Сосредоточенная нагрузка величины $P=10\ kN$ действует на расстоянии $a=3\ m$ от поддержки А.
• Равномерная нагрузка по интенсивности $q=1\ kN/m$ действует на БК.
• Компакт-диск элемента нагружен в середине концентрированной нагрузкой величиной $P=10\ kN$.

В следующих расчетах моменты и вращения по часовой стрелке положительны.

Степени свободы

Углы поворота $\theta _{A}$, $\theta _{B}$, $\theta _{C}$, соединений A, B, C соответственно принимаются в качестве неизвестных. Повороты хорд по другим причинам, включая осадку опоры, отсутствуют.

Фиксированные конечные моменты

Фиксированные конечные моменты:

$M_{AB}^{f}=-{\frac {Pab^{2}}{L^{2}}}=-{\frac {10\times 3\times 7^{2}}{10^{2}}}=-14.7\mathrm {\,kN\,m}$

$M_{BA}^{f}={\frac {Pa^{2}b}{L^{2}}}={\frac {10\times 3^{2}\times 7}{10^{2}}}=6.3\mathrm {\,kN\,m}$

$M_{BC}^{f}=-{\frac {qL^{2}}{12}}=-{\frac {1\times 10^{2}}{12}}=-8.333\mathrm {\,kN\,m}$

$M_{CB}^{f}={\frac {qL^{2}}{12}}={\frac {1\times 10^{2}}{12}}=8.333\mathrm {\,kN\,m}$

$M_{CD}^{f}=-{\frac {PL}{8}}=-{\frac {10\times 10}{8}}=-12.5\mathrm {\,kN\,m}$

$M_{DC}^{f}={\frac {PL}{8}}={\frac {10\times 10}{8}}=12.5\mathrm {\,kN\,m}$

Уравнения отклонения уклона

Уравнения прогиба откоса строятся следующим образом:

$M_{AB}={\frac {EI}{L}}\left(4\theta _{A}+2\theta _{B}\right)={\frac {4EI\theta _{A}+2EI\theta _{B}}{L}}$

$M_{BA}={\frac {EI}{L}}\left(2\theta _{A}+4\theta _{B}\right)={\frac {2EI\theta _{A}+4EI\theta _{B}}{L}}$

$M_{BC}={\frac {2EI}{L}}\left(4\theta _{B}+2\theta _{C}\right)={\frac {8EI\theta _{B}+4EI\theta _{C}}{L}}$

$M_{CB}={\frac {2EI}{L}}\left(2\theta _{B}+4\theta _{C}\right)={\frac {4EI\theta _{B}+8EI\theta _{C}}{L}}$

$M_{CD}={\frac {EI}{L}}\left(4\theta _{C}\right)={\frac {4EI\theta _{C}}{L}}$

$M_{DC}={\frac {EI}{L}}\left(2\theta _{C}\right)={\frac {2EI\theta _{C}}{L}}$

Уравнения совместного равновесия

Соединения A, B, C должны обеспечивать условие равновесия. Поэтому

$\Sigma M_{A}=M_{AB}+M_{AB}^{f}=0.4EI\theta _{A}+0.2EI\theta _{B}-14.7=0$

$\Sigma M_{B}=M_{BA}+M_{BA}^{f}+M_{BC}+M_{BC}^{f}=0.2EI\theta _{A}+1.2EI\theta _{B}+0.4EI\theta _{C}-2.033=0$

$\Sigma M_{C}=M_{CB}+M_{CB}^{f}+M_{CD}+M_{CD}^{f}=0.4EI\theta _{B}+1.2EI\theta _{C}-4.167=0$

Углы поворота

Углы поворота рассчитываются по одновременным уравнениям, приведенным выше.

$\theta _{A}={\frac {40.219}{EI}}$

$\theta _{B}={\frac {-6.937}{EI}}$

$\theta _{C}={\frac {5.785}{EI}}$

Конечные моменты участника

Подстановка этих значений обратно в уравнения отклонения откоса дает конечные моменты стержня (в кНм):

$M_{AB}=0.4\times 40.219+0.2\times \left(-6.937\right)-14.7=0$

$M_{BA}=0.2\times 40.219+0.4\times \left(-6.937\right)+6.3=11.57$

$M_{BC}=0.8\times \left(-6.937\right)+0.4\times 5.785-8.333=-11.57$

$M_{CB}=0.4\times \left(-6.937\right)+0.8\times 5.785+8.333=10.19$

$M_{CD}=0.4\times -5.785-12.5=-10.19$

$M_{DC}=0.2\times -5.785+12.5=13.66$

См. также

• Теория пучка

Ссылки

• Норрис, Чарльз Хед; Джон Бенсон Уилбур; Сенол Утку (1976). Элементарный структурный анализ (3-е изд.). МакГроу-Хилл. стр. 313–326 . ISBN  0-07-047256-4 .
• МакКормак, Джек С.; Нельсон, Джеймс К. младший (1997). Структурный анализ: классический и матричный подход (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. стр. 430–451 . ISBN  0-673-99753-7 .
• Ян, Чан Хён (10 января 2001 г.). Структурный анализ (на корейском языке) (4-е изд.). Сеул: Издательство Cheong Moon Gak. стр. 357–389. ISBN  89-7088-709-1 . Архивировано из оригинала 8 октября 2007 г.