Максимальная функция

Максимальные функции появляются во многих формах в гармоническом анализе (область математики ). Одной из важнейших из них является максимальная функция Харди–Литтлвуда . Они играют важную роль в понимании, например, свойств дифференцируемости функций, сингулярных интегралов и уравнений в частных производных. Они часто обеспечивают более глубокий и упрощенный подход к пониманию проблем в этих областях, чем другие методы.

Харди Литтлвуда Максимальная функция –

В своей оригинальной статье Г.Х. Харди и Дж.Э. Литтлвуд объяснили свое максимальное неравенство на языке средних показателей по крикету . Учитывая функцию f, определенную на R ^ннецентрированная максимальная функция Харди–Литтлвуда Mf функции f определяется как

(Mf)(x)=\sup _{B\ni x}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f|

в каждом x в R ^н. Здесь верхняя грань берется по шарам B в R ^нкоторые содержат точки x и | Б | обозначает меру B n (в данном случае кратную радиусу шара, возведенному в степень ) . Можно также изучить центрированную максимальную функцию, где верхняя грань берется только над шарами B , имеющими центр x . На практике разница между ними невелика.

Основные свойства [ править ]

Следующие утверждения имеют решающее значение для полезности максимального оператора Харди–Литтлвуда. ^[1]

(а) Для f ∈ L ^п( Р ^н) (1 ⩽ p ⩽ ∞), Mf конечен почти всюду.
(б) Если f ∈ L ¹( Р ^н), то существует c такой, что для всех α > 0

|\{x\ :\ (Mf)(x)>\alpha \}|\leq {\frac {c}{\alpha }}\int _{\mathbf {R} ^{n}}|f|.

(в) Если f ∈ L ^п( Р ^н) (1 < p ≤ ∞), то Mf ∈ L ^п( Р ^н) и

\|Mf\|_{L^{p}}\leq A\|f\|_{L^{p}},

где A зависит только от p и c .

Свойства (б) называются оценкой слабого типа для Mf . Для интегрируемой функции ему соответствует элементарное неравенство Маркова ; однако Mf никогда не интегрируем, если только f = 0 почти всюду, так что доказательство слабой оценки (b) для Mf требует менее элементарного аргумента из геометрической теории меры, такого как лемма о накрытии Витали . Свойство (c) говорит о том, что оператор M ограничен на L ^п( Р ^н); это, очевидно, верно, когда p = ∞, поскольку мы не можем взять среднее значение ограниченной функции и получить значение, большее, чем наибольшее значение функции. Свойство (c) для всех других значений p можно затем вывести из этих двух фактов с помощью аргумента интерполяции .

Стоит отметить, что (в) не выполняется при p = 1. Это легко доказать, вычислив M χ, где χ — характеристическая функция единичного шара с центром в начале координат.

Приложения [ править ]

Максимальный оператор Харди-Литтлвуда появляется во многих местах, но некоторые из его наиболее заметных применений находятся в доказательствах теоремы дифференцирования Лебега и теоремы Фату , а также в теории сингулярных интегральных операторов .

Некасательные максимальные функции [ править ]

Некасательная максимальная функция принимает функцию F , определенную в верхней полуплоскости

\mathbf {R} _{+}^{n+1}:=\left\{(x,t)\ :\ x\in \mathbf {R} ^{n},t>0\right\}

и создает функцию F*, определенную на R ^н через выражение

F^{*}(x)=\sup _{|x-y|<t}|F(y,t)|.

Заметим, что при фиксированном x множество $\{(y,t)\ :\ |x-y|<t\}$ представляет собой конус в $\mathbf {R} _{+}^{n+1}$ с вершиной ( x ,0) и осью, перпендикулярной границе R ^н. Таким образом, некасательный максимальный оператор просто берет верхнюю грань функции F над конусом с вершиной на границе R ^н.

Приближения тождества [ править ]

Одна особенно важная форма функций F , в которой важно изучение некасательной максимальной функции, формируется из приближения к тождеству . То есть мы фиксируем интегрируемую гладкую функцию Φ на R ^н такой, что

\int _{\mathbf {R} ^{n}}\Phi =1

и установить

\Phi _{t}(x)=t^{-n}\Phi ({\tfrac {x}{t}})

при t > 0. Затем определим

F(x,t)=f\ast \Phi _{t}(x):=\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x-y)\Phi _{t}(y)\,dy.

Можно показать ^[1] что

\sup _{t>0}|f\ast \Phi _{t}(x)|\leq (Mf)(x)\int _{\mathbf {R} ^{n}}\Phi

и, следовательно, получить это $f\ast \Phi _{t}(x)$ сходится к f в L ^п( Р ^н) для всех 1 ⩽ p < ∞. Такой результат можно использовать, чтобы показать, что гармоническое расширение L ^п( Р ^н) функция к верхней полуплоскости сходится некасательно к этой функции. Более общие результаты можно получить, заменяя лапласиан эллиптическим оператором с помощью аналогичных методов.

Более того, при наличии соответствующих условий $\Phi$ , это можно получить

F^{*}(x)\leq C(Mf)(x)

.

Точная максимальная функция [ править ]

Для локально интегрируемой функции f на R ^н, точная максимальная функция $f^{\sharp }$ определяется как

f^{\sharp }(x)=\sup _{x\in B}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-f_{B}|\,dy

для каждого x в R ^н, где верхняя грань берется по всем шарам B и $f_{B}$ представляет собой интегральное среднее $f$ над мячом $B$ . ^[2]

Точную функцию можно использовать для получения точечного неравенства относительно сингулярных интегралов . Предположим, у нас есть оператор T , ограниченный в L ²( Р ^н), поэтому мы имеем

\|T(f)\|_{L^{2}}\leq C\|f\|_{L^{2}},

для всех гладких и компактных f . Предположим также, что мы можем реализовать T как свертку с ядром K в том смысле, что всякий раз, когда f и g гладкие и имеют непересекающуюся поддержку

\int g(x)T(f)(x)\,dx=\iint g(x)K(x-y)f(y)\,dy\,dx.

Наконец, мы предполагаем размер и условие гладкости ядра K :

|K(x-y)-K(x)|\leq C{\frac {|y|^{\gamma }}{|x|^{n+\gamma }}},

когда $|x|\geq 2|y|$ . Тогда для фиксированного r > 1 имеем

(T(f))^{\sharp }(x)\leq C(M(|f|^{r}))^{\frac {1}{r}}(x)

для всех x в R ^н. ^[1]

Максимальные функции в эргодической теории [ править ]

Позволять $(X,{\mathcal {B}},m)$ — вероятностное пространство, а T : X → X — сохраняющий меру эндоморфизм X . Максимальная функция f ∈ L ¹( X , м )

f^{*}(x):=\sup _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}\sum _{i}^{n-1}|f(T^{i}(x))|.

Максимальная функция f проверяет слабую оценку, аналогичную максимальному неравенству Харди – Литтлвуда :

m\left(\{x\in X\ :\ f^{*}(x)>\alpha \}\right)\leq {\frac {\|f\|_{1}}{\alpha }},

это переформулировка максимальной эргодической теоремы .

Максимальная функция Мартингейла [ править ]

Если $\{f_{n}\}$ является мартингалом , мы можем определить максимальную функцию мартингала следующим образом: $f^{*}(x)=\sup _{n}|f_{n}(x)|$ . Если $f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ существует, многие результаты, которые справедливы в классическом случае (например, ограниченность в $L^{p},1<p\leq \infty$ и слабые $L^{1}$ неравенство) справедливы по отношению к $f$ и $f^{*}$ . ^[3]

Ссылки [ править ]

Л. Графакос, Классический и современный анализ Фурье , Pearson Education, Inc., Нью-Джерси, 2004 г.
EM Stein, Гармонический анализ , Princeton University Press, 1993.
EM Stein, Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton University Press, 1971.
EM Stein, Темы гармонического анализа, связанные с теорией Литтлвуда-Пэли , Princeton University Press, 1970

Примечания [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Штейн, Элиас (1993). «Гармонический анализ». Издательство Принстонского университета.
^ Гракакос, Лукас (2004). «7». Классический и современный анализ Фурье . Нью-Джерси: Pearson Education, Inc.
^ Штейн, Элиас М. (2004). «Глава IV: Общая теория Литтлвуда-Пэли». Темы гармонического анализа, связанные с теорией Литтлвуда-Пэли . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.

[bible-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Штейн, Элиас (1993). «Гармонический анализ». Издательство Принстонского университета.

[grafakos-2] Гракакос, Лукас (2004). «7». Классический и современный анализ Фурье . Нью-Джерси: Pearson Education, Inc.

[3] Штейн, Элиас М. (2004). «Глава IV: Общая теория Литтлвуда-Пэли». Темы гармонического анализа, связанные с теорией Литтлвуда-Пэли . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.

[1]

[2]

[3]