Jump to content

Лемма о покрытии Виталия

В математике лемма о покрытии Витали представляет собой комбинаторный и геометрический результат, обычно используемый в теории меры евклидовых пространств . Эта лемма представляет собой промежуточный шаг, представляющий самостоятельный интерес, в доказательстве теоремы Витали о накрытии . Теорема о покрытии принадлежит итальянскому математику Джузеппе Витали . [1] Теорема утверждает, что можно покрыть с точностью до пренебрежимо Лебега множества заданное подмножество E из R д несвязным семейством, выделенным из Витали накрытия E .

Виталий, покрывающий лемму [ править ]

Визуализация леммы в .
Вверху: коллекция мячей; зеленые шарики — это непересекающаяся подколлекция. Внизу: подколлекция с трехкратным радиусом охватывает все шары.

Есть две основные версии леммы: конечная версия и бесконечная версия. Обе леммы могут быть доказаны в общей ситуации метрического пространства , обычно эти результаты применяются к частному случаю евклидова пространства. . В обеих теоремах мы будем использовать следующие обозначения: если это мяч и , мы напишем для мяча .

Конечная версия [ править ]

Теорема (лемма о конечном покрытии). Позволять — любой конечный набор шаров, содержащийся в произвольном метрическом пространстве. Тогда существует подколлекция из этих шаров, которые не пересекаются и удовлетворяют Доказательство. Не ограничивая общности, мы предполагаем, что набор шаров не пуст; т. е. n > 0. Пусть быть шаром наибольшего радиуса. Индуктивно предположим, что были выбраны. Если есть какой-то мяч это не пересекается с , позволять быть таким шаром максимального радиуса (произвольно разрывая связи), в противном случае мы полагаем m := k и прекращаем индуктивное определение.

Теперь установите . Осталось показать, что для каждого . Это ясно, если . В противном случае обязательно существует какое-то такой, что пересекает . Выбираем минимально возможное и обратите внимание, что радиус по крайней мере так же велик, как и . следует , что неравенства треугольника Тогда из , по мере необходимости. Это завершает доказательство конечной версии.

Бесконечная версия [ править ]

Теорема (лемма о бесконечном покрытии). Позволять — произвольный набор шаров в сепарабельном метрическом пространстве такой, что где обозначает радиус шара B . Тогда существует счетное подмножество такие, что шарики попарно не пересекаются и удовлетворяют И более того, каждый пересекает некоторые с .

Доказательство: рассмотрим разбиение F на поднаборы F n , n ≥ 0, определяемые формулой

То есть, состоит из шаров B, радиус которых равен (2 п −1 Р , 2 п Р ]. Последовательность Gn . , при которой Gn Fn , определяется индуктивно следующим образом Сначала положим H 0 = F 0 и пусть G 0 — максимальное непересекающееся подмножество H 0 (такое подмножество существует по лемме Цорна ). Полагая, что , G0 ..., Gn пусть выбраны,

и пусть G n +1 — максимальное непересекающееся подмножество в H n +1 . Подколлекция

множества F удовлетворяет требованиям теоремы: G — непересекающаяся совокупность и, следовательно, счетна, поскольку данное метрическое пространство сепарабельно. Более того, каждый шар B F пересекает шар C G такой, что B ⊂ 5 C .
Действительно, если нам дать некоторые , должен существовать такой n , что B принадлежит F n . Либо B не принадлежит H n , что означает n > 0 и означает, что B пересекает шар из объединения G 0 , ..., G n −1 , или B H n и в силу максимальности G n , B пересекает шар в G n . случае B пересекает шар C принадлежащий объединению G0 , ,..., Gn . В любом Такой шар C должен иметь радиус больше 2 п −1 Р. ​Поскольку радиус B меньше или равен 2 п R, на основании неравенства треугольника мы можем заключить, что B ⊂ 5 C, как и утверждается. Из этого следует сразу, завершая доказательство. [2]

Примечания

  • В бесконечной версии исходный набор шаров может быть счетным или несчетным . В сепарабельном метрическом пространстве любой попарно непересекающийся набор шаров должен быть счетным. В несепарабельном пространстве тот же аргумент показывает, что существует попарно непересекающееся подсемейство, но это семейство не обязательно должно быть счетным.
  • Результат может оказаться неверным, если радиусы не ограничены: рассмотрим семейство всех шаров с центром в точке 0 в R. д ; любое непересекающееся подсемейство состоит только из одного шара B , а 5 B не содержит всех шаров этого семейства.
  • Константа 5 не является оптимальной. Если масштаб c п , c > 1, используется вместо 2 п для определения F n окончательное значение равно 1 + 2 c вместо 5. Любая константа больше 3 дает правильное утверждение леммы, но не 3.
  • Используя более тонкий анализ, когда исходный набор F является покрытием Витали подмножества E из R д , можно показать, что подколлекция G , определенная в приведенном выше доказательстве, покрывает E с точностью до множества, пренебрегаемого Лебегом. [3]

Приложения и способ использования [ править ]

Применение леммы Витали заключается в доказательстве максимального неравенства Харди – Литтлвуда . Как и в этом доказательстве, лемма Витали часто используется, например, когда мы рассматриваем d -мерную меру Лебега : , множества E R д , который, как мы знаем, содержится в объединении некоторого набора шаров , каждый из которых имеет меру, которую нам легче вычислить, или имеет особое свойство, которое хотелось бы использовать. Следовательно, если мы вычислим меру этого объединения, мы получим верхнюю границу меры E . Однако трудно вычислить меру объединения всех этих шаров, если они перекрываются. По лемме Витали мы можем выбрать подколлекцию который не пересекается и такой, что . Поэтому,

Теперь, поскольку увеличение радиуса d -мерного шара в пять раз увеличивает его объем в 5 раз д , мы это знаем

и таким образом

Теорема покрытии о Витали

В теореме о покрытии цель состоит в том, чтобы покрыть с точностью до «незначительного множества» заданное множество E R. д непересекающейся подколлекцией, извлеченной из покрытия Витали для E : класс Витали или покрытие Витали ибо E — это набор множеств такой, что для каждого x E и δ > 0 существует множество U в наборе такой, что U и диаметр U отличен x от нуля и меньше δ .

В классической постановке Виталия [1] пренебрежимо малое множество - это пренебрежимо малое множество Лебега , но меры, отличные от меры Лебега, и пространства, отличные от R д также рассматривались, как показано в соответствующем разделе ниже.

Полезно следующее наблюдение: если является накрытием Витали для E , и если E содержится в открытом множестве Ω ⊆ R д , то подколлекция множеств U в содержащиеся в Ω, также является накрытием Витали для E .

Витали о покрытии меры Теорема Лебега

Следующая теорема о покрытии для меры Лебега λ d принадлежит Лебегу (1910) . Коллекция измеримых подмножеств R д является регулярной семьей (в смысле Лебега ), если существует константа C такая, что

для каждого набора V в коллекции .
Семейство кубиков является примером правильного семейства. как и семья прямоугольников в R 2 такое, что отношение сторон остается между m −1 и m для некоторого фиксированного m задана произвольная норма ≥ 1. Если на R д , еще одним примером является семейство шаров для метрики, связанной с нормой. Напротив, семейство всех прямоугольников в R 2 является не регулярным.

Теорема . Пусть E R д — измеримое множество с конечной мерой Лебега, и пусть — регулярное семейство замкнутых подмножеств R д это прикрытие Витали для E . Тогда существует конечная или счетно бесконечная непересекающаяся подколлекция такой, что

Оригинальный результат Витали (1908) представляет собой частный случай этой теоремы, в котором d = 1 и представляет собой совокупность интервалов, являющуюся накрытием Витали измеримого подмножества E вещественной прямой, имеющей конечную меру.
Приведенная выше теорема остается верной даже без предположения, что E имеет конечную меру. Это получается путем применения результата о покрытии в случае конечной меры для каждого целого числа n ≥ 0 к части E , содержащейся в открытом кольце Ω n точек x такой, что n < | х | < п +1. [4]

Несколько родственная теорема о покрытии — это теорема о покрытии Безиковича . Каждой точке a подмножества A R д евклидов шар B ( a , ra и ) с центром a положительным радиусом . ra , задан Затем, как и в лемме Витали о покрытии, выбирается поднабор этих шаров, чтобы покрыть A определенным образом. Основные различия между теоремой о накрытии Безиковича и леммой о накрытии Витали заключаются в том, что, с одной стороны, требование Витали о дизъюнктности смягчено до того факта, что число N x выбранных шаров, содержащих произвольную точку x R д ограничен константой Bd , зависящей только от размерности d ; с другой стороны, выбранные шары покрывают множество A всех данных центров. [5]

Витали о покрытии Хаусдорфа меры Теорема

Аналогичная цель может возникнуть при рассмотрении меры Хаусдорфа вместо меры Лебега. В этом случае применима следующая теорема. [6]

Теорема . Пусть H с обозначим s -мерную меру Хаусдорфа, пусть E R д быть Н с - измеримое множество и класс Виталиязамкнутых множеств для E . Тогда существует (конечный или счетный) непересекающийся поднабор. такой, что либо или

Более того, если E имеет конечную s -мерную меру Хаусдорфа, то для любого ε > 0 мы можем выбрать этот поднабор { U j } такой, что

Из этой теоремы следует приведенный выше результат Лебега. Действительно, когда s = d , мера Хаусдорфа H с на R д совпадает с кратной d -мерной мере Лебега. Если непересекающаяся коллекция регулярен и содержится в измеримой области B с конечной мерой Лебега, то

что исключает вторую возможность в первом утверждении предыдущей теоремы. Отсюда следует, что E покрывается с точностью до пренебрежимо для Лебега множества выбранным непересекающимся поднабором.

От леммы о покрытии к покрытии теореме о

Лемму о накрытии можно использовать как промежуточный шаг в доказательстве следующей основной формы теоремы о накрытии Витали.

Теорема . Для каждого подмножества E из R д и для каждого покрытия Витали E набором F замкнутых шаров существует непересекающийся подколледж G , который покрывает E с точностью до множества, пренебрегаемого Лебегом.

Доказательство: Без ограничения общности можно считать, что все шары в F невырождены и имеют радиус меньше или равный 1. По бесконечной форме леммы о накрытии существует счетное непересекающееся подмножество. из F такой, что каждый шар B F пересекает шар C G, для которого B ⊂ 5 C . Пусть r задано > 0, и пусть Z обозначает множество точек z E , которые не содержатся ни в одном шаре из G и принадлежат открытому шару B ( r ) радиуса r с центром в 0. Достаточно показать что Z пренебрежимо мал по Лебегу для каждого заданного r .

Позволять обозначаем поднабор тех шаров в G, которые пересекают B ( r ). Обратите внимание, что может быть конечным или счетным. Пусть z Z фиксировано. Для каждого N z не принадлежит замкнутому множеству определению З. по Но по свойству накрытия Витали можно найти шар B F , содержащий z содержащийся в B ( r ) и не пересекающийся с K. , По свойству G шар B пересекает некоторый шар и содержится в . Но поскольку K и B не пересекаются, мы должны иметь i > N. Итак, для некоторого i > N, и поэтому

Это дает для каждого N неравенство

Но поскольку шары содержатся в B(r+2) и эти шары не пересекаются, мы видим

Следовательно, член в правой части приведенного выше неравенства сходится к 0, когда N стремится к бесконечности, что показывает, что Z при необходимости пренебрежимо мал. [7]

Бесконечномерные пространства [ править ]

Теорема Витали о накрытии недействительна в бесконечномерных условиях. Первый результат в этом направлении дал Дэвид Прейсс в 1979 году: [8] существует гауссова мера γ на (бесконечномерном) сепарабельном гильбертовом пространстве H, так что теорема о накрытии Витали неверна для ( H , Borel( H ), γ ). Этот результат был усилен в 2003 году Ярославом Тишером: теорема о покрытии Витали фактически неверна для любой бесконечномерной гауссовой меры в любом (бесконечномерном) сепарабельном гильбертовом пространстве. [9]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б ( Виталий 1908 ).
  2. ^ Приведенное доказательство основано на ( Evans & Gariepy 1992 , раздел 1.5.1).
  3. ^ См . раздел « От леммы о покрытии к теореме о покрытии » этой записи.
  4. ^ См. ( Эванс и Гариепи, 1992 ).
  5. ^ Виталий (1908) допустил незначительную ошибку.
  6. ^ ( Фальконер 1986 ).
  7. ^ Приведенное доказательство основано на ( Natanson 1955 ) с некоторыми обозначениями, взятыми из ( Evans & Gariepy 1992 ).
  8. ^ ( Прейсс 1979 ).
  9. ^ ( Тишер 2003 ).

Ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: b503b0c7fe9525f57791fabe9918a88a__1718785140
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/b5/8a/b503b0c7fe9525f57791fabe9918a88a.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Vitali covering lemma - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)