Теорема о покрытии Безиковича

В математическом анализе накрытие Безиковича , названное в честь Абрама Самойловича Безиковича , представляет собой открытое накрытие подмножества E евклидова пространства R. ^Н шарами такими , что каждая точка E является центром некоторого шара в покрытии.

Теорема о покрытии Безиковича утверждает, что существует константа c _N, зависящая только от размерности N и обладающая следующим свойством:

• Для любого покрытия Безиковича F ограниченного множества E существует c _N поднаборов шаров A ₁ = { B _{n 1} }, …, A _{c N} = { B _{n c N} }, содержащихся в F, таких, что каждый набор A _i состоит из непересекающиеся шары и

$E\subseteq \bigcup _{i=1}^{c_{N}}\bigcup _{B\in A_{i}}B.$

Обозначим через G подмножество F, всех шаров из c _N непересекающихся семейств A ₁ ,..., Ac _{N состоящее из} .Очевидно, верно и менее точное следующее утверждение: каждая точка x ∈ R ^Н принадлежит не более чем c _N различным шарам из поднабора G , и G остается покрытием для E (каждая точка y ∈ E принадлежит хотя бы одному шару из поднабора G ). Это свойство фактически дает эквивалентную форму теоремы (за исключением значения константы).

• Существует константа b _N, зависящая только от размерности N, обладающая следующим свойством: для любого покрытия Безиковича F ограниченного множества E существует подколлекция G из F такая, что G является покрытием множества E и каждая точка x ∈ E принадлежит не более чем b _N различным шарам из подпокрытия G .

Другими словами, функция S _G, равная сумме индикаторных функций шаров в G, больше 1 _E и ограничена на R ^Н константой b _N ,

$\mathbf {1} _{E}\leq S_{\mathbf {G} }:=\sum _{B\in \mathbf {G} }\mathbf {1} _{B}\leq b_{N}.$

Приложение к максимальным функциям и максимальным неравенствам

Пусть µ — борелевская неотрицательная мера на R ^Н , конечный на компактных подмножествах и пусть $f$ быть $\mu$-интегрируемая функция. Определим максимальную функцию $f^{*}$ установив для каждого $x$ (используя соглашение $\infty \times 0=0$)

$f^{*}(x)=\sup _{r>0}{\Bigl (}\mu (B(x,r))^{-1}\int _{B(x,r)}|f(y)|\,d\mu (y){\Bigr )}.$

Эта максимальная функция полунепрерывна снизу и, следовательно, измерима . Следующее максимальное неравенство выполняется для любого λ > 0:

$\lambda \,\mu {\bigl (}\{x:f^{*}(x)>\lambda \}{\bigr )}\leq b_{N}\,\int |f|\,d\mu .$

Доказательство.

Множество E _λ точек x таких, что $f^{*}(x)>\lambda$ очевидно, допускает накрытие Безиковича F _λ шарами B такое, что

$\int \mathbf {1} _{B}\,|f|\ d\mu =\int _{B}|f(y)|\,d\mu (y)>\lambda \,\mu (B).$

Для каждого ограниченного борелевского подмножества E ´ в E _λ можно найти подколлекцию G, выделенную из F _λ, которая покрывает E ´ и такую, что S _G ⩽ b _N , следовательно,

${\begin{aligned}\lambda \,\mu (E')&\leq \lambda \,\sum _{B\in \mathbf {G} }\mu (B)\\&\leq \sum _{B\in \mathbf {G} }\int \mathbf {1} _{B}\,|f|\,d\mu =\int S_{\mathbf {G} }\,|f|\,d\mu \leq b_{N}\,\int |f|\,d\mu ,\end{aligned}}$

откуда следует неравенство, указанное выше.

Говоря о мере Лебега на R ^Н более привычно использовать более простую (и старую) лемму о покрытии Витали , для вывода предыдущего максимального неравенства (с другой константой) .

См. также

• Лемма о покрытии Виталия

Ссылки

• Безикович, А.С. (1945), «Общая форма принципа покрытия и относительная дифференциация аддитивных функций I», Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 41 (02): 103–110, doi : 10.1017/S0305004100022453 .
  • «Общая форма принципа покрытия и относительная дифференциация аддитивных функций, II», Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 42 : 205–235, 1946, doi : 10.1017/s0305004100022660 .
• ДиБенедетто, Э (2002), Реальный анализ , Биркхойзер, ISBN  0-8176-4231-5 .
• Фюреди, З ; Леб, Пенсильвания (1994), «О лучшей константе для теоремы о покрытии Безиковича», Proceedings of the American Mathematical Society , 121 (4): 1063–1073, doi : 10.2307/2161215 , JSTOR   2161215 .