Тауберова теорема Литтлвуда.

В математике тауберова теорема Литтлвуда является усилением теоремы Таубера, введенной Джоном Эденсором Литтлвудом ( 1911 ).

Заявление

Литтлвуд показал следующее: если a _n = O (1/ n ) и при x ↑ 1, мы имеем

\sum a_{n}x^{n}\to s,

затем

\sum a_{n}=s.

что гипотеза об n _{Позже Харди и Литтлвуд показали ,} одностороннего» условия a _n ≥ – C / n для некоторой постоянной C. может быть ослаблена до « Однако в некотором смысле условие оптимально: Литтлвуд показал, что если c _n — любая неограниченная последовательность, то существует ряд с | п _| ≤ | c _n |/ n , которое расходится, но суммируется по Абелю.

История

Литтлвуд (1953) описал свое открытие доказательства своей тауберовой теоремы. Исходная теорема Альфреда Таубера была аналогична теореме Литтлвуда, но с более сильной гипотезой, что a _n = o (1/ n ). Харди доказал аналогичную теорему для суммирования Чезаро с более слабой гипотезой a _n =O(1/ n ) и предположил Литтлвуду, что той же более слабой гипотезы может быть достаточно для теоремы Таубера. Несмотря на то, что гипотеза в теореме Литтлвуда кажется лишь немного слабее, чем гипотеза в теореме Таубера, доказательство Литтлвуда было намного сложнее, чем доказательство Таубера, хотя позже Йован Карамата нашел более простое доказательство.

Теорема Литтлвуда следует из более поздней тауберовой теоремы Харди-Литтлвуда , которая, в свою очередь, является частным случаем тауберовой теоремы Винера , которая сама по себе является частным случаем различных абстрактных тауберовых теорем о банаховых алгебрах .

Примеры

Ссылки

Кореваар, Джейкоб (2004), Тауберова теория. Век разработок , Основы математических наук, вып. 329, Springer-Verlag , номер домена : 10.1007/978-3-662-10225-1 , ISBN. 978-3-540-21058-0
Литтлвуд, Дж. Э. (1953), «Математическое образование», Сборник математиков , Лондон: Метуэн, MR 0872858.
Литтлвуд, Дж. Э. (1911), «Обращение теоремы Абеля о степенных рядах» (PDF) , Proceedings of the London Mathematical Society , 9 (1): 434–448, doi : 10.1112/plms/s2-9.1.434